1、 第5 9卷2 0 2 3年第5期 西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)V o l.5 9 2 0 2 3 N o.5 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)D O I:1 0.1 6 7 8 3/j.c n k i.n w n u z.2 0 2 3.0 5.0 0 7收稿日期:2 0 2 3 0 2 1 6;修改稿收到日期:2 0 2 3 0 7 2 0基金项目:国家自然科学基金资助项目(1 2 1 6 1 0 4 9);甘肃省自
2、然科学基金资助项目(2 1 J R 1 R A 2 2 9)作者简介:张豫冈(1 9 7 8),男,河南洛阳人,副教授,硕士.主要研究方向为同调代数.E m a i l:z h a n g y g 7 8 1 0 2 71 6 3.c o mG o r e n s t e i n 正则环上 G o r e n s t e i n 投射覆盖的存在性张豫冈1,曹天涯2(1.兰州工业学院 基础学科部,甘肃 兰州 7 3 0 0 5 0;2.西北师范大学 计算机科学与工程学院,甘肃 兰州 7 3 0 0 7 0)摘要:设R是G o r e n s t e i n 正则环,给出了所有R-模具有 G o
3、r e n s t e i n 投射覆盖的充要条件.作为应用,给出交换 G o r e n s t e i n 遗传环是 G o r e n s t e i n A r t i n代数的新的同调刻画.关键词:G o r e n s t e i n正则环;G o r e n s t e i n 投射覆盖;完全环;G o r e n s t e i n 投射模;G o r e n s t e i n 遗传环中图分类号:O 1 5 3.3 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 1-9 8 8(2 0 2 3)0 5-0 0 3 5-0 4T h e e x i s t e n c e o f G o
4、 r e n s t e i n p r o j e c t i v e c o v e r s o v e rG o r e n s t e i n r e g u l a r r i n g sZ HANG Y u-g a n g1,C AO T i a n-y a2(1.D e p a r t m e n t o f B a s i c S u b j e c t s,L a n z h o u I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y,L a n z h o u 7 3 0 0 5 0,G a n s u,C h i n a;2.C o l l
5、 e g e o f C o m p u t e r S c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g,N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y,L a n z h o u 7 3 0 0 7 0,G a n s u,C h i n a)A b s t r a c t:L e t R b e a G o r e n s t e i n r e g u l a r r i n g,s o m e s u f f i c i e n t a n d n e c e s s a r y c o n d i t
6、 i o n s t h a t a l l R-m o d u l e s h a v e a G o r e n s t e i n p r o j e c t i v e c o v e r a r e g i v e n.A s a p p l i c a t i o n s,a h o m o l o g i c a l c h a r a c t e r i z a t i o n t h a t a c o mm u t a t i v e G o r e n s t e i n h e r e d i t a r y r i n g i s a G o r e n s t e
7、i n A r t i n a l g e b r a i s g i v e n.K e y w o r d s:G o r e n s t e i n r e g u l a r r i n g;G o r e n s t e i n p r o j e c t i v e c o v e r;p e r f e c t r i n g;G o r e n s t e i n p r o j e c t i v e m o d u l e;G o r e n s t e i n h e r e d i t a r y r i n g0 引言本文环R均表示具有单位元的结合环,所有的模均是某个
8、环R上的左R-(酉)模.覆盖与包络(也称逼近)理论的研究源于模的内射包络及投射覆盖的概念,目前已成为(相对)同调代数领域的基本课题之一.众所周知,在经典的同调代数中,著名的“平坦覆盖猜想”成立,即任意环上所有模都具有平坦覆盖.同时,任意环上所有模都具有内射包络.由W a k a m u t s u引理可知,任意环上所有模具有特殊的平坦预覆盖和特殊的内射预包络.另一方面,所有模都具有特殊的投射预覆盖,所有模具有投射覆盖当且仅当基环R是左完全环.受H o l m 研究思路的启发,国内外许多学者研究了G o r e n s t e i n投射(预)覆盖、G o r e n s t e i n内射(预
9、)包 络 和G o r e n s t e i n平 坦(预)覆 盖 的 存 在性1-7.值得一提的是,a r o c h等5证明了任意环上所有模都具有G o r e n s t e i n内射包络,并且任意环是G F-闭 的;因 为 任 意 环 上 所 有 模 都 具 有G o r e n s t e i n平坦覆盖2,进而由W a k a m u t s u引理可知,任意环上所有模具有特殊的G o r e n s t e i n内射预包络和特殊的G o r e n s t e i n 平坦预覆盖.但是,任意环上所有模是否具有特殊的 G o r e n s t e i n 投射预 覆 盖(进
10、 而 怎 样 的 环 满 足 其 上 所 有 模 具 有 G o r e n s t e i n 投射覆盖)仍然未知.2 0 1 4年,E n o c h s 等8将B e l i g i a n n i s9称为左 53西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第5 9卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.5 9 G o r e n s t e i n环的环重新命名为左G o r e n s t e i n正则环.由文献1
11、 0 定理4.1可知,左G o r e n s t e i n正则环即具有有限左G o r e n s t e i n整体维数的环.作为具有有限左整体维数的环和I w a n a g a-G o r e n s t e i n环的共同推广,左G o r e n s t e i n正则环上G o r e n s t e i n模类具有良好性质.由文献1 1 引理5.1(1)可知,左G o r e n s t e i n正 则 环 上 所 有 模 具 有 特 殊 的G o r e n s t e i n投射预覆盖.因此,自然地可以考虑如下问题:问题A 怎样的左G o r e n s t e i n
12、正则环满足所有模具有G o r e n s t e i n投射覆盖?本文定理1给出了上述问题的彻底回答.定理1 设R是左G o r e n s t e i n正则环,则如下结论等价:(1)所有左R-模具有G o r e n s t e i n投射覆盖.(2)R是左完全环.A u s l a n d e r最 后 定 理 说 明,在 任 意 I w a n a g a-G o r e n s t e i n环上每个有限生成模具有 G o r e n s t e i n投射覆盖.但是,由定理1可知,非完全的I w a n a g a-G o r e n s t e i n环不能保证所有模具有G o
13、 r e n s t e i n投射覆盖.作 为 定 理1的 另 一 应 用,我 们 给 出 交 换G o r e n s t e i n遗 传 环 是G o r e n s t e i n A r t i n代 数 的 G o r e n s t e i n同调刻画.1 预备知识用R-M o d 表示所有R-模的类,其中由所有投射、内射、平坦及F P-内射R-模构成的(子)类分别用P,I,F及F I表示,p dR(M),i dR(M),f dR(M)和F P-i dR(M)分别表示R-模M的投射、内射、平坦和F P-内射维数.设X,Y是R-模的类.称二元组(X,Y)是余挠对,如果Y=X且X=
14、Y,这里X=MR-M o d:E x t1R(X,M)=0,XX,对偶地可定义Y.称余挠对(X,Y)是遗传的,如果对任意的XX,YY及m1,都有E x tmR(X,Y)=0.称余挠对(X,Y)是完备的,如果(X,Y)具有足够的投射对象和足够的内射对象,即对任意的MR-M o d,都存在R-模的两个短正合序列0YXM0,0MY X 0,其中X,X X且Y,Y Y.R-模M的X-预覆盖是指一个同态:XM,使得XX并且对任意的X X,序列H o mR(X,X)H o mR(X,M)0是正合的.称R-模M的X-预覆盖:XA是X-覆盖,如果满足 f=的自同态f:XX都是同构.称A的X-(预)覆盖:XA是
15、特殊的,如果是满同态,并且K e rX.称模类X是(预)覆盖类(或特殊的预覆盖类),如果A中的每个对象都具有X-(预)覆盖(或特殊的X-预覆盖).称余挠对(X,Y)是完全的,如果X是覆盖类且Y是包络类,这里包络类是覆盖类的对偶.称R-模M是G o r e n s t e i n投射的,如果存在一个由投射R-模构成的H o m(-,P)-正合的正合序列P1P0P0P1,使得M I m(P0P0).对偶可定义G o r e n s t e i n内射模.用G P表示由所有G o r e n s t e i n投射R-模构成的类.分别称G P-(预)覆盖及特殊的G P-预覆盖为G o r e n s
16、 t e i n投射(预)覆盖及特殊的G o r e n s t e i n投射预覆盖.近来,汪军鹏1 2,1 3研究了奇点范畴和相对于D i n g模 的 稳 定 范 畴 之 间 的 关 系,并 刻 画 了G o r e n s t e i n正则环.用1.G-g l.d i m(R)表示环R的 左G o r e n s t e i n整 体 维 数,即 所 有R-模 的G o r e n s t e i n投 射 维 数 的 上 确 界 和 所 有R-模 的G o r e n s t e i n内射射维数的上确界这两个相等的值;维数s i l p(R)和s p l i(R)定义如下:s p l i(R)=s u pp dR(M):M是内射R-模,s i l p(R)=s u pi dR(M):M是投射R-模.定义11 2 称环R是左G o r e n s t e i n正则的,如果R满足如下等价条件之一:(1)s i l p(R)且s p l i(R);(2)1.G-g l.d i m(R);(3)存在一个非负整数n使得1.G-g l.d i m(R)n.定义2 称环R是右G o