1、2023 年第 7 期48计算机应用信息技术与信息化MSMA 自感知执行器数学模型与控制算法研究鲁 军1 李万义1 张源鑫1 刘金宝1LU Jun LI Wanyi ZHANG Yuanxin LIU Jinbao 摘要 磁控形状记忆合金（magnetron shape memory alloy,MSMA）控形状记忆合金自感知执行器是以其可逆特性为基础的功能集成器件，可实现自检与自控的功能。本文对自感知执行器的数学模型进行推导，并研究周期性振动作用下的消振控制算法。利用等效磁路法并借鉴现有研究成果，从气隙处以及永磁体处对MSMA 自感知执行器总磁阻进行推导，为数学模型的建立奠定理论基础。利用前
2、馈控制在被控对象未发生改变前就发生作用及位置反馈控制高稳定性、高鲁棒性的特点，提出前馈-位置反馈控制算法。通过改变激振力幅值与频率验证应用前馈-位置反馈控制算法后系统消振的有效性。研究结果表明：外部振动的幅值与位移均大幅衰减，实现了振动的主动控制。关键词 MSMA；自感知执行器；数学模型；前馈-位置反馈 doi：10.3969/j.issn.1672-9528.2023.07.0121.沈阳理工大学自动化与电气工程学院 辽宁沈阳 1101590 引言从生物医疗工程到航天机器人的不同领域，随着对微型化、便携化且位移小、快速响应以及精确运动的机电设备的需求不断增加，智能材料的使用越来越广泛1-2。
3、磁控形状记忆合金由于其优良的性能，在高新技术应用方面引起了越来越多研究者的兴趣3。迄今为止，这种合金的最高可逆应变高达 12%4-5。当前，在自感知执行器中应用最多的材料是压电陶瓷材料。然而，压电陶瓷固有的脆性、疲劳、去极化以及行程小等问题限制了自感知执行器应用的范围6-9。作为一种新型智能材料，MSMA 因其优良的特性被认为是一种理想的应用于自感知执行器的智能材料10。由于目前 MSMA 自感知执行器的研究材料匮乏甚至在消振领域的应用研究更少，所以对其数学模型的推导以及消振控制算法的研究对未来科学有很高的研究价值。本文对自感知执行器传感与执行机理进行分析并建立电压-位移数学模型；对数学模型中
4、的等效磁阻关系式进行推导，增加模型准确性；提出前馈-位置反馈控制算法，实现MSMA 自感知执行器的消振。1 MSMA 自感知执行器数学模型利用等效磁路分析法以及现有文献研究成果，本文对MSMA 自感知执行器的等效磁阻进行推导，磁阻计算的准确度高可使 MSMA 自感知执行器的数学模型更加准确，便于自感知执行器对外部振动进行抑制。使用等效磁路的形式来模拟电磁问题需要几个条件。如系统的尺寸和工作频率必须都很小，以便可以忽略麦克斯韦定律中的位移电流。铁心的相对磁导率也应足够高，以限制铁心内的磁通在可控的范围内。当前现有研究者们设计的 MSMA 自感知执行器已经满足了这些条件无需重新设计。本实验研究的系
5、统等效磁路图如图 1 所示。图中磁路中的磁动势 F 为励磁线圈匝数与励磁电流（测量值）大小的乘积，其工作时相当于电路的电源。t是 MSMA 自感知执行器等效磁路中的总磁通，1及 2分别为等效磁路中两条支路中的磁通，根据磁路欧姆定律可知t=1+2。依据磁欧姆定律，等效磁路中的磁通 为磁路的磁动势 F 与铁心磁路的磁阻的比值。图 1 等效磁路图由于两条支路中的永磁体尺寸相同，所以其对应的磁阻 R1与 R2大小相同，进而使通过两条支路的磁通相同即1=2。铁心的磁阻 Rcore为铁心的长度除以铁心的相对磁导率、真空中的磁导率、铁心的横截面面积三者的乘积。同样的永磁体处的磁阻 Rm为 lm为永磁体的厚度
6、除以永磁体的相 2023 年第 7 期49计算机应用信息技术与信息化对磁导率、真空中的磁导率、永磁体的导磁面积三者的乘积，根据上述表达可以轻松计算出等效磁路中永磁体、铁心位置的等效磁阻。MSMA 元件放置在铁心的气隙处。在气隙部分，有三条磁通通过的路径，每条路径在磁路中有着与其对应的磁阻。第一条路径穿过 MSMA 元件以及 MSMA 与铁心面之间的空气间隙；第二条路径穿过铁心面之间的气隙(剩余气隙)；第三条路径是空气边缘。第三条路径中磁通经过空气边缘，根据 Lee 和 Romalis 的研究，空气边缘磁阻 Rfringing为 MSMA 元件横截面的长度和其在真空中的磁导率的乘积乘以一个常数然
7、后取倒数，此时计算结果即为空气边缘磁阻的大小。第二条路径的磁阻可由 Rgap表示，由于铁心和 MSMA 元件横截面之间的差异，磁通量通过气隙路径，但不通过MSMA元件。其阻值大小为工作气隙横截面的长度和其在真空中的磁导率的乘积乘以一个常数然后取倒数，此时计算结果即为经过空气但不经过 MSMA 时磁阻的大小。第一条路径的磁阻由两个串联的磁阻组成。Rair表示的是 MSMA 元件与铁心之间气隙路径的磁阻，其阻值大小为工作气隙横截面的长度和其在真空中的磁导率的乘积乘以一个常数然后取倒数，此时计算结果即为经过工作气隙时磁阻的大小，并且在 MSMA 自感知执行器工作时，MSMA 的阻值大小其大小随气隙的
8、变化而变化。Rmsma是 MSMA 元件的磁阻，其式为 MSMA 元件的厚度除以 MSMA 元件的横截面积与 MSMA 元件的相对磁导率二者的乘积。上述磁阻在自感知执行器工作时均随 MSMA 元件变形而变化，磁路中磁通的变化主要受到 msma的影响。经推导msma为 1 加 MSMA 元件在 y 方向的磁化强度除以 MSMA 元件的磁场强度的值再乘以真空相对磁通密度。由等效磁路模型可以得出 MSMA 自感知执行器等效总磁阻 RZ为：()()()()()mfringinggapairmsmamgapairmsmafringinggapairmsmafringinggapairmsmagapair
9、msma222zR RRRRR RRRRRRRRRRRRRRR+=+（1）MSMA 自感知执行器在执行传感功能时，系统中的激振器会通过有着较强刚度且不导磁的顶杆向 MSMA 元件施加频率一定的正弦激振力。在受到激振力的作用后，MSMA 元件会发生形变缩短其长度，从而使其磁导率随之发生改变。最终，铁心磁路里磁通的大小会因此而发生变化，此时利用传感线圈将变化的磁通转化为感应电压信号。MSMA 自感知执行器的铁心中磁场是均匀分布的。根据法拉第电磁感应定律，可以得到铁心中磁感应强度 B 为真空中的磁导率、MSMA 相对磁导率、MSMA 元件所处气隙的磁场强度三者的乘积。根据电磁感应定律 MSMA 自感
10、知执行器传感线圈产生的感应电动势为：()ddddeN()/tNBS sin/t=（2）式中，N 是传感绕组的匝数，S 是气隙处铁心的横截面积，是铁心磁路里的磁通，是磁场与气隙处铁心横截面的夹角。因外加磁场与气隙处铁心横截面的夹角 始终为 90，所以sin 的值始终为 1。MSMA 自感知执行器在传感期间，MSMA 元件处的磁场变化较小，相对磁导率 msma变化也较小对模型实验影响不大。所以将上述所有公式进行联立推导，可以得到 MSMA自感知执行器此时的感应电压表达式 e 为：()msma0msma0/eNdHSdtHSN=（3）根据 MSMA 元件在磁场中的特性可知，在一定的磁场中，当 MSM
11、A 自感知执行器作为传感器或者执行器作用时，MSMA 元件会发生形变，其相对磁导率 msma与 MSMA 元件的变化量 L 关系成正比，他们的值存在一个倍数关系。通过实验能够测得该常数的区间范围。由安培环路定律可知：磁路磁动势大小等于 MSMA 所处工作气息宽度与 MSMA 所处工作气息磁场强度的乘积。MSMA 的长度又与气隙中的磁场强度近似成正比例关系即随着磁场强度的增大材料伸长长度增大，磁场强度减小材料伸长长度减小。MSMA 自感知执行器作为执行器使用时，在磁场作用下向外输出位移，其实际向外输出的位移为 MSMA元件材料此时的长度与 MSMA 元件材料初始长度的差值。经过推导可得 MSMA
12、 自感知执行器作为执行器使用时的输出的位移 L 关系式为：10/zLk NUR gL=（4）自感知执行器 MSMA 元件实际伸长距离与其相对磁导率的变化有着紧密的联系。MSMA 元件输出位移与其自身相对磁导率的大小关系成正比，对 MSMA 输出感应电压的公式进行推导能够得出最新的感应电压表达式为：20ekNSH L （5）将式（4）与式（5）进行联立推导，可得：()2100/Zekk NUR gLNHS=（6）式中：S、g、N 均为设计参数；k1、k2为固定值。在一定范围内 e 和 U 为正比例线性关系。即 e 随着 U 变化而变化。外部激振力使 MSMA 元件的长度发生改变即 L 发生变化，
13、进而传感线圈产生相对应的感应电动势 e，通过对励磁线圈电压 U 的实时控制，进而使 MSMA 元件的输出位移抵消外部激振力作用，从而实现自感知消振功能。2 前馈-位置反馈控制算法不变性原理是前馈控制产生的基础，理论上外部扰动对实验系统的影响可以完全被前馈控制系统消除。前馈控制的特点是系统受外界干扰后，系统被控对象未发生改变前馈控2023 年第 7 期50计算机应用信息技术与信息化制就已经产生作用，作用强度随扰动的改变而发生变化，从而降低外部扰动对被控对象的影响。前期研究表明：仅选取前馈控制，振动的消振效果并不理想。为弥补前馈控制的缺陷，采用前馈-位置反馈控制算法对系统进行控制。前馈-位置反馈控
14、制算法既保留前馈控制作用扰动对象及实时性的优点，又引入反馈控制可对多种干扰进行有效抑制，可以引用到本实验。前馈-位置反馈控制如图 2 所示。引入前馈控制算法，前馈部分的信号为 DSP 滤波处理后的输出信号，该信号分别作用于功放输出信号与传感线圈输出信号。反馈部分的信号为传感线圈输出信号作用于输入信号。图 2 前馈-位置反馈控制框图3 消振实验实验过程中，外部激振力的幅值与频率分别为 0.3 N 和50 Hz。在传感信号的正半周期，施加前馈-位置反馈控制算法。图 3 为控制算法应用前后激振力与顶杆位移变化的波形图表示控制算法工作前后振动抑制效果。由图可知，控制算法前施加于 MSMA 元件的激振力
15、为 0.3 N，其位移的幅值为2.69 m；应用控制算法后，施加于 MSMA 元件的激振力降低为 0.07 N，位移降低为 0.51 m，二者衰减率分别为 77%与 81%。激振力与位移波形幅值的降低验证了前馈-位置反馈控制算法用于消振的有效性。为了进一步验证控制算法的可行性避免实验的偶然性，对控制算法在变频情况下的控制效果进行实验探究，在外部激振力的幅值不变的情况下，改变输入信号频率为 70 Hz，施加控制算法前 MSMA 元件的激振力大小为 0.3 N，位移传感器测得位移幅值为 2.59 m；采用控制算法后，施加于MSMA 元件的激振力降低为 0.08N，位移降低为 0.74 m，二者衰减
16、率分别为 73%与 71%，振动抑制效果明显，说明变频情况下控制算法效果良好。为进一步实验控制算法在高频状态下的实验效果，继续保持外部激振力的幅值不变，将其频率提高到 90 Hz，控制算法工作前施加于 MSMA 元件的激振力为 0.3 N，位移的幅值为 2.55 m；应用控制算法后，施加于 MSMA 元件的激振力降低为 0.1 N，位移降低为 0.84 m，二者衰减率均为67%，振动抑制效果明显，说明在高频状态下控制算法效果依旧良好可以在高频工作条件下完成控制工作。由于 MSMA自感知执行器铁心从施加电压到建立稳定的磁场具有时滞性，并且随着频率的增加而增大，因此 MSMA 元件的输出力要滞后于外部激振力的作用时间，导致两者不能同步，使消振效果减弱。图 3 50Hz 激振力消振4 结论本文以 MSMA 自感知执行器等效磁路为基础，分别从气隙处以及永磁体处对其总磁阻进行推导，得到其关系式，磁阻的引入增加了模型准确度。从自感知执行器的传感与执行环节出发，推导出MSMA自感知执行器的电压-位移模型，通过实验以及仿真测试模型效果并通过实验结果验证了电压-位移模型的准确性和可行性。根据前期研究成果