1、第1 2卷 第2期2023年6月数学建模及其应用M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g a n d I t s A p p l i c a t i o n sV o l.1 2 N o.2J u n.2 0 2 3教学与竞赛“小批量物料的生产安排”问题解析薛 毅(北京工业大学 理学部,北京 1 0 0 1 2 4)摘 要:给出2 0 2 2年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛E题“小批量物料的生产安排”的求解方法,并针对学生在参赛论文中出现的问题作了简要的说明与点评.关键词:时间序列;物料需求预测;主生产计划;安全库存;服务水平中图分类号:O 2 1 1
2、.6,F 2 5 3.4,F 2 7 0.7,F 2 7 3 文献标志码:A 文章编号:2 0 9 5-3 0 7 0(2 0 2 3)0 2-0 0 9 9-1 0 D O I:1 0.1 9 9 4 3/j.2 0 9 5-3 0 7 0.j mm i a.2 0 2 3.0 2.1 0收稿日期:2 0 2 3-0 1-1 8通讯作者:薛毅,E-m a i l:x u e y i b j u t.e d u.c n引用格式:薛毅.“小批量物料的生产安排”问题解析J.数学建模及其应用,2 0 2 3,1 2(2):9 9-1 0 8.XU E Y.P r o b l e m a n a l
3、y s i s f o r p r o d u c t i o n a r r a n g e m e n t s o f s m a l l-b a t c h m a t e r i a l s(i n C h i n e s e)J.M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g a n d I t s A p p l i c a t i o n s,2 0 2 3,1 2(2):9 9-1 0 8.1 题目简述某电子产品制造企业面临以下问题:在多品种小批量的物料生产中,事先无法知道物料的实际需求量.企业希望运用数学方法,分析已有的历史数据,建立数学模型,
4、帮助企业合理地安排物料生产.问题1 需求预测与预测评价请对附件1中的历史数据进行分析,选择6种应当重点关注的物料(可从物料需求出现的频数、数量、趋势和销售单价等方面考虑),建立物料需求的周预测模型,并利用历史数据对预测模型进行评价.问题2 服务水平与安全库存如果按照物料需求量的预测值来安排生产,可能产生较大的库存,或者出现较多的缺货,给企业带来经济和信誉方面的损失.企业希望从需求量的预测值、需求特征、库存量和缺货量等方面综合考虑,以便更合理地安排生产.请提供一种制定生产计划的方法,从第1 0 1周开始,在每周初,制定本周的物料生产计划,安排生产,直至第1 7 7周为止,使得平均服务水平不低于8
5、 5%.这里假设:本周计划生产的物料,只能在下周及以后使用.为便于统一计算结果,进一步假设第1 0 0周末的库存量和缺货量均为零,第1 0 0周的生产计划数恰好等于第1 0 1周的实际需求数.请在问题1选定的6种物料中选择1种物料,将其第1 0 11 1 0 周的生产计划数、实际需求量、库存量、缺货量和服务水平按表1的形式填写.表1 X X物料第1 0 11 1 0周的生产计划、实际需求、库存、缺货及服务水平周生产计划数/件实际需求量/件库存量/件缺货量/件服务水平1 0 11 1 099教学与竞赛“小批量物料的生产安排”问题解析2 0 2 3年6月 请将问题1中选定的6种物料的综合结果(第
6、1 0 11 7 7 周的平均值)按表2的形式填写.表2 6种物料的综合结果表物料编码平均生产计划数/(件/周)平均实际需求量/(件/周)平均库存量/(件/周)平均缺货量/(件/周)平均服务水平问题3 库存资金与服务水平考虑到物料的价格,物料的库存需要占用资金.为了在库存量与服务水平之间达到某种平衡,如何调整现有的周生产计划,并说明理由.请根据新的周生产计划,对问题1选定的6种物料重新计算,将综合结果(第1 0 11 7 7周的平均值)按表2的形式填写.问题4 生产周期大于1周的情况如果本周计划生产的物料只能在两周及以后使用,请重新考虑问题2和问题3.能否将你们的方法推广到一般情况,即如果本周
7、计划生产的物料只能在k(2)周及以后使用,应如何制定生产计划.2 数据分析与数据预处理对于数据类的题目,需要作基本的数据分析,对于某些数据,需要根据题目要求作数据预处理.附件中共有2 2 4 5 3条记录,2 8 4个物料编码,日期从2 0 1 9年1月2日至2 0 2 2年5月2 1日,共计1 2 3 6天,涵盖1 7 7个自然周.在2 8 4种物料中,出现频数小于1 0次的有1 0 9个,大于等于1 0小于1 0 0的有1 1 7个,大于等于1 0 0小于2 0 0的有2 8个,大于等于2 0 0小于3 0 0的有7个,大于等于3 0 0小于4 0 0的有9个,大于等于4 0 0的有1 4
8、个.因此,真正需要分析的物料或许并不多.分情况讨论应当重点关注的物料.1)出现频数较高的物料 在2 8 4种物料中,6 0 0 4 0 2 0 5 0 3号物料出现的频数几乎是最高的,共1 2 2 4次,可以考虑重点关注此物料.进一步分析该物料的价格(单价),在3年多的时间内,平均价格2 2 0.4 0元,所占的资金并不大,从这一点来看,也可以不作为重点关注的物料.2)单价较高的物料从另一个角度考虑问题,考虑平均单价最高的物料(6 0 0 4 0 2 0 7 0 9),平均单价1 6 6 4 8.1 0元,单价的变化范围也不大.因此,从单价方面考虑,可以作为重点关注的物料.但从物料出现频数考虑
9、,3年多的时间内仅出现5 2次.本质上讲,无法预测.因此,该物料不能作为重点关注的物料.将附件数据第一次出现的时间(2 0 1 9年1月2日)所在的周设定为第1周,以后的每周从周一开始至周日结束.在制定本周的生产计划时,可以使用任何历史数据、需求特征以及预测数据,但不能使用本周及本周以后的实际需求数据.服务水平=1-缺货量/实际需求量.库存量和缺货量分别指物料在周末的库存量和缺货量.3)单日需求量较高的物料6 0 0 4 0 1 0 2 5 2号物料的单日需求量最高,可达到6 0 0件.但在3年多的时间内,仅出现4 5次,所以也无法预测.4)占用资金较高的物料 从前面的分析可以看到,仅从出现频
10、数、单价、单日需求量单方面考虑问题,其结果均不够理想,应当综合考虑问题.例如,考虑占用总资金较高的物料 6 0 0 4 0 2 0 9 0 0号物料,共出现4 4 4次.虽然第一次出现需求的时间是2 0 1 9年1 0月2 1日,但后期的需求呈上升趋势.另一方面,该物料的平均单价为6 3 3 1元,在全部物料中也算是比较高的.因此,从两方面来看,该物料应当需要重点关注.001第1 2卷 第2期数学建模及其应用V o l.1 2 N o.2 J u n.2 0 2 35)或许不需要分析的物料有些物料在3年多的时间内出现的频数并不算低,例如6 0 0 4 0 2 0 1 4 1号物料,共出现过2
11、8 4次,但它的需求数量在逐渐减少,从最初的2 0件,到后面的几件.需求的间隔时间也逐渐加大.这可能预示着该种物料的生命周期即将结束,因此,这一类物料并不一定需要重点关注.由于题目要求按周作预测,而附件中的需求量是按天给出的,为了便于计算与分析,将按天计算的数据累积成按周计算.3 需求预测与预测评价题目要求,选择6种应当重点关注的物料,对物料的需求量作出预测,并通过历史数据,对预测模型作出评价.3.1 选择需要重点关注的物料通过前面的分析,要选择什么样的物料作为重点关注的物料?是出现频数高,还是单价高,还是占用资金高?在库存管理中,有一种方法称为库存A B C分级管理方法2-3.所谓A B C
12、管理方法,是将物资按库存所占的资金比例进行分类,A类物资占总资金的6 0%8 0%,品种数占1 0%2 0%;B类物资占总资金的1 5%4 0%,品种数占2 0%3 0%;C类物资占总资金的5%1 5%,品种数占5 0%7 0%.也就是说,优先考虑资金占用较高的物资.根据库存A B C分级管理方法,结合前面已分析的物料出现的频数、总需求量和需求趋势等因素,挑选以下物料作为应当重点关注的物料,分别是6 0 0 4 0 1 0 2 5 6、6 0 0 4 0 2 0 5 0 4、6 0 0 4 0 2 0 9 0 0、6 0 0 4 0 2 0 9 0 5、6 0 0 4 0 2 0 9 1 8和
13、6 0 0 4 0 2 1 1 1 2号物料.表3列出了6种物料出现的频数、总需求量、占用的总金额、平均销售单价、销售单价的标准差和变异系数(=标准差/平均值1 0 0%).标准差和变异系数反映了物料单价的变化情况.表3 6种物料的需求和占用资金的情况表物料编号出现频数总需求量/件总金额/元平均单价/元标准差变异系数6 0 0 4 0 1 0 2 5 69 5 51 5 8 52 1 6 5 1 9 91 3 5 8.2 01 0 0.4 97.4 06 0 0 4 0 2 0 5 0 45 0 95 3 31 9 5 3 7 1 23 6 6 5.3 66.1 80.1 76 0 0 4 0
14、 2 0 9 0 04 4 47 1 74 5 4 0 0 7 16 3 3 1.4 91 0.2 00.1 66 0 0 4 0 2 0 9 0 53 4 44 7 52 1 7 0 8 3 34 5 8 6.0 03 2 0.8 07.0 06 0 0 4 0 2 0 9 1 86 2 02 2 1 35 0 4 5 4 0 82 2 8 9.6 51 1 1.1 54.8 56 0 0 4 0 2 1 1 1 21 8 82 9 92 0 6 5 3 4 36 9 4 3.5 75 6 6.2 48.1 53.2 预测模型预测模型有多种,这里介绍几种简单的预测模型,如简单平均法、移动平均
15、法、加权移动平均法、指数平滑法和移动线性回归法等.1)简单平均法简单平均法是将全部历史数据的平均值作为下一个时间点的预测值,即Ft+1=x-t=(x1+x2+xt)/t,t=1,2,.(1)2)移动平均法移动平均法是简单平均法的一种改进,它只选取近期k(1kS=Sf(x)dx,(6)其中,f(x)为正态分布的概率密度函数.由式(6)得到,只有在库存量达到S时才能满足第1种服务水平.令S=+K,其中:是实际需求总体的均值;为总体的标准差,称K 为安全库存,K为安全系数.由于正态分布的参数和是未知的,需要对它们进行估计.最简单的方法是用需求量预测值的均值估计,用预测值的标准差估计.2)第2种服务水
16、平下的安全库存仍假设实际需求量X服从正态分布XN(,2).计算GUK=K(u-K)(u)du=(K)-K+K(K),(7)其中:(u)是标准正态分布的概率密度函数;(u)是标准正态分布的概率分布函数.称GUK 为标准正态分布下的线性损失函数,或损失的数学期望.对于一般的正态分布,有EXS=S(x-S)f(x)dx=GUK,(8)其中,f(x)是正态分布的概率密度函数.称EXS 为正态分布下的线性损失函数,或损失的数学期望.令K=(S-)/,即S=+K.仍称K 为安全库存,K为安全系数.按照第2种服务水平的定义,有1-P2=EXSQ=QGUK,(9)其中,Q为实际的需求量.因此,GUK=Q(1-P2).(1 0)给定P2后,由非线性方程(K)-K+K(K)=Q(1-P2)(1 1)301教学与竞赛“小批量物料的生产安排”问题解析2 0 2 3年6月求解出安全系数K.在计算时,需要Q和进行估计,或直接估计Q/.4.3 生产计划的制定从题目来看,希望物料的生产计划数是“需求量的预测值”“需求特征”“库存量”和“缺货量”的函数,最简单的假设,它们之间是线性关系:生产计划数(投入量)=预测量-上