1、科学中考/KEXUE ZHONG KAO“一题一专题”中考专题复习策略探究以角处理策略45”为例李强李强一、试题呈现一、试题呈现如图1,已知抛物线y=y=+b e+c过点A（1,0）,C（0,3）,与x x轴交于另一点B（1）求抛物线的解析式；（2）如图2,过点C作CD交抛物线于点D,求 点D D坐标.（3）在（2）问的条件下，点P是抛物线上一点，且【分析2】45。角的出现常伴随着等腰直角三角形，因 而可通过作垂直构造等腰直角三角形，利用“K型图”解 决问题结合过一点（点D为例）作垂线的两种方式，引 出两种“K型图”解决45角的方法（如图5、图6）.ZDBP=45,求点P坐标.D D图 5 作
2、 DN_LBDDN_LBD 图 6 作 DMBPDMBP二、试题讲解二、试题讲解以下内容主要对第（3）小问进行分析与展示，突出 45角生长性的处理策略.1.原题切入，知识生长.【分析11 ZDBP=45,已知定点B B为角的顶点，角 的两条边分别为射线BDBD与射线,其中射线BDBD为定 边,利用角的动态定义得到射线EP可由射线ED绕点B 旋转45得到.结合旋转三要素:旋转中心（点B）、旋转角 度（45）、旋转方向（顺、逆时针），知Z.DBPZ.DBP存在两种情【方法11如图7,作DNDN丄丄ED,ED,过过点D D构“K型”，易 得厶NFD A DGB,NFD A DGB,所以 NF=DG=
3、l,FD=BG=3,0rNF=DG=l,FD=BG=3,0r 以点N坐标为（-1,-2），所以直线BNBN的表达式为r=丄_3壬一害，联立2 2 2，解得q=3（舍）5=y=jc22j：3y=jc22j：3*，所以点P P坐标为（一）【方法2】如图8,作DM丄过点M构“K型”，易 得厶BFM A MGDBFM A MGD，设 FM=GD=a,FM=GD=a,则 BF=MG=3BF=MG=3-a,所以 BF=GE=aBF=GE=a+1,即 3 a=a3 a=a+1,解 a=l,a=l,所以点 M坐标为（1,-1），所以直线BMBM的表达式为y=y=r=丄龙_3寻，联立f 2 2，解得d=舍）,=
4、*,所y=x2 2x3y=x2 2x338科学中考试题赏析【方法3】如图9,作PE丄过点P P构“K型”，设 点 P(q,q2 2q 3),易得 EFP仝PGE,所以 BF=BF=PG=3a,FP=GE=a2 PG=3a,FP=GE=a2+2q+3,则点 E(a2 E(a2+3q+3,/q6).因为点B、D、EB、D、E三点共线，所以点E在直线 y=3 j：9y=3 j：9上，代入解得aT=3(aT=3(舍)，血二一*，所以点P P【方法4】如图10,作PEBDPEBD,过点E E构“K型”,因 为点E、D、EE、D、E三点共线,所以点E在直线ED上，且夕=3-9,设点 E(a,3a 9),易
5、得 BGE A EFPBGE A EFP，所以 BG=EF=9-3 a,EG=PF=3 a,BG=EF=9-3 a,EG=PF=3 a,所以点 P(4q 9,2a 6),代入抛物线解得i=3(舍)，口2=等，所以点P P坐【评析】对比四种方法，不难发现，四种方法都能解 决45角存在性问题，而且方法都具有通适性.由过已知 定点D D作垂直直接得点坐标，过渡到过未知点P P做垂 直，然后设点坐标或设线段长，利用三点共线或线段相等 列方程，建立方法的内在联系，目的在于培养同学们解决 问题思维能力的再生长、计算能力的再生长及方法运用 的再生长.2.变式拓展，方法生长.【变式11在第(2)问的条件下，点
6、P P为第一象限内 抛物线上一点，连接线段PA交夕轴于点Q,连接EQ、EQ、DQ,DQ,当当ZBQD=45ZBQD=45时，求点P坐标.【分析11此题的重点在于给的45角顶点不再是已 知定点，但只要抓住ZBQD=ZBQD=4545及角一边上的定点D,D,就能快速找到作垂直构“K型图”解决45角的方法.【分析2此题的难点在于点P P与点Q Q都是未知点，但两点之间可以相互表示,抓住点A、Q、P三点共线，设 点P(点Q)表点Q(A F).【方法11因为点A、Q、P三点共线，设点 玖2,疋一 2a 3)，所以点Q(0,a3).如图11,作DE丄DQ,过点D D 构“K 型”，易得 QCDQCD仝仝A
7、 DFE,A DFE,所以 QC=DF=a,CDQC=DF=a,CD=EF=2,=EF=2,所以点E(2+a,l).因为点Q、B、EQ、B、E三点共 线，所以解得Q1=0(舍)，Q2=4,所以点【方法2】因为点A、Q、P三点共线，设点玖玖 2a3)2a3)，所以点Q(0,a-3).如图12,作DM丄BQ,过点 M 构“K 型”，易得Zk OFM仝MED 设 DE=FM=bDE=FM=b,则 ME=QF=ab,ME=QF=ab,所以点 M(2+b,a_b_3 Xb,a_b_3 X 因为 QF=QF=CE,所以2+b=ab9b=ab9即b=b=宁.宁.因为点Q、B、M三点 共线，所以士扌=|7證，
8、解得如=。(舍)42=4,所以点P P 坐标为(4,5).【方法3】因为点A、Q、P三点共线，设点玖玖 2a2a3)3)，所以点Q(O,a3).如图13,作_BN丄BQ,过点B B 构“K 型”，易得 QFB A BEN.QFB A BEN.所以 QF=BE=3fQF=BE=3f 则 BF=NE=a3,BF=NE=a3,所以点 N(6 a,3).因为点 Q、D、NQ、D、N 三点共线，且yD=yNyD=yN所以点D与点N重合，所以q=4,所以点P坐标为(4,5).注:方法二中点M与点B重合;方法三中点N与点 D重合.2023 06 39科学中考/KEXUEZHONG KAO【方法4】因为点A、
9、Q、P三点共线，设点P(%2q3)，所以点 Q(0,a-3).如图 14,作 BEQD,BEQD,过点 E E 构“K型”，易得ABFE仝Zk EGD设FE=GD=b,GD=b,则点E E(26,W,点 F(2b,0).因为 BF=EG,BF=EG,所以 3 b=b3 b=b+1,解得b=l9b=l9所以点E坐标为(1,-1),因为点Q、E、DQ、E、D 三点共线，所以2=刍，解得a=4,所以点P坐标为(4,5).【变式2】在第(2)问的条件下，点P P为第一象限内 抛物线上一点，连接线段PA交夕轴于点Q,连接QD、QD、PD,当ZQDP=45时，求P P点坐标.【分析11此题的重点在于给的4
10、5角顶点虽是已知 定点,但是角两边与比轴、？轴、抛物线的交点都是未知 点，因而通过未知点作垂直构“K型图”是不容易的.【分析21此题的难点在于点P P与点Q Q都是未知点，但两点之间可以相互表示,抓住点A、Q、P三点共线，设 点P(点Q)表点Q(点P).【方法1】因为点A、Q、P三点共线，设点PZ PZ 2a3)92a3)9所以点Q(0,a 3).如图15,作QM丄QD,过点 Q 构“K 型”，易得A MEQ A QCDA MEQ A QCD，所以 QC=ME=a,QC=ME=a,EQ=CD=2,0fEQ=CD=2,0f以点M(a,a 1),即点M与点P重合，所以 al=a2 2a 3,al=
11、a2 2a 3,解得=-(舍)，血=图15 图16【方法2】因为点A、QP三点共线，设点P(a9a2-P(a9a2-2a3)2a3)，所以点Q(0,a3).如图16,作QE丄DF,过点E E 构“K型”，易得AQFE仝AEGD设FE=GD=b,FE=GD=b,则点E E(2+b,a-b-3),b,a-b-3),点 G(2+6,-3).因为 QF=EG,所以 2+b=ab,b=ab,即匕=迸.匕=迸.因为点D、E、P三点共线，所以 弓爭=茫|，因为点P P与点D不重合，所以口工2,解得 =(舍)，血=3+,所以点 P P 坐标3+2，【方法3】因为点A、Q、P三点共线，设点P(%2a3)，所以点
12、Q(0,a-3).如图17,作PE丄PD,过点P P 构“K 型”，易得 EFP仝PGD,则 FP=GD=a2,FP=GD=a2,EF=PG=a22a,EF=PG=a22a,所以点 EC3 aa2,a2 a.EC3 aa2,a2 a.因为点 E、Q、DE、Q、D三点共线，所以fl；二一号，因为点P与点DD不重合，所以a H2,解得Q1=(舍)，Q2=【方法4】因为点A、Q、P三点共线，设点P(a,y 2a3),所以点Q(0,a-3).如图18,作PM丄DQ,过点 M构“K 型”，易得 PEM A MND.PEM A MND.设 ND=EM=b,ND=EM=b,则点 M(26,22 2a2ab b3)，所以 PE=MN=a2 PE=MN=a2 2a 2a 6又因为PE=GNPE=GN，所以a2-2a-b=a2a2-2a-b=a2+久即b=b=宀护+因为点M、Q、DM、Q、D三点共线，所以f二仁=号,因为点P与点D不重合，所以a a丰丰J J解得=L俨(舍),如=如=3+浮所以点P坐标为(3+yir+)40