1、“指、对同构法”在不等式问题中的应用山东省博兴县第三中学王丽慧摘要:指数式与对数式综合的不等式问题是导数压轴题的常见题型,同构法是处理这类问题的常用方法“指、对同构法”的应用主要有“变指”“变对”两种变形技巧,将函数模型统一后,再结合切线放缩处理关键词:指数;对数;同构指数式与对数式综合的不等式恒成立或不等式证明问题,是各类模拟考试及高考的常见题型解答此类问题的常用策略是利用指数式与对数式的变换关系,构造相同的函数模型,并利用函数的性质求解下面针对这一方法的应用引例说明题目呈现例已知函数f(x)xex()若x,求证f(x);()若x 时,恒有f(x)(a)x l nx,求实数a的范围本题第()
2、问较为基础,直接利用导数求函数的最值即可第()问由不等式恒成立求参数的范围,题目所给的不等式既含有指数式,又含有对数式,可利用“同构法”处理下面详细阐述同构法的变形与应用技巧解法综述在此类问题中常涉及如下几种函数模型:yxex,yexx,yxex,yxex,yxl nx,yl nxx,yxl nx,yx l nx这些函数的性质直接利用导数即可判断,在此不再赘述同构法的应用有两种变换方式:一种是化指数式,如xexel nxexel nxx;exxexel nxex l nx;xexel nxexel nxx;另一种是化对数式,如xl nxl nexl nxl n(xex);xl nxl nex
3、l nx l nexx;切线放缩法主要有两个切线模型,即exx(x时取等号)和x l nx(x时取等号)这两个不等式也可利用导数法直接证明,过程略问题解答当x时,不等式f(x)(a)x l nx恒成立,即xex(a)x l nx恒成立分离参数,得axex(x l nx)x令g(x)xex(x l nx)x,则问题转化为求函数g(x)的最小值下面采用两种同构变形方式处理“化指”当x时,因为xexel nxexe l nxx,所以函数g(x)e l nxx(x l nx)x由切线不等式exx,得e l nxx l nxx,当 l nxx时等号成立令h(x)l nxx,则h(x)x,所以h(x)在区
4、间(,)内单调递增又h(e)e,h(),所 以 存 在x(e,),使 得 l nxx所以g(x)e l nxx(x l nx)xx l nx(x l nx)x即函数g(x)的最小值为所以满足条件的a的范围是(,)“化对”因为x l nex,l nx l nx,所以x l nxl nexl nxl n(xex),所 以 函 数g(x)xexl n(xex)x由切线不等式xl nx(x时取等号),得l n(xex)xex,当xex时等号成立设h(x)xex,则h(x)ex(xx),复习备考解法探究 年 月上半月所以h(x)在区间(,)内单调递增又heeeeee,h()e,所以存在xe,使得xex所
5、 以g(x)xexl n(xex)xxexxexx,即函数g(x)的最小值为所以满足条件的a的范围是(,)小试牛刀例对 于 任 意x,不 等 式aexl nxl na恒成立,则实数a的最小值为解法:“化指”将不等式aex l nx l na变形,得aexl nx l na因为aexel n(a)exel na x l n,所以ex l na l nl nx l na,进一步构造得ex l na l nx l na l n l nx l na(xl na l n)化简得ex l na l nx l na l n l n(x)x因为xel n(x),所以ex l na l nx l na l ne
6、l n(x)l n(x)设g(x)exx,则式为g(x l na l n)gl n(x)又g(x)exx在(,)内单调递增,所以x l na l n l n(x),即l na l nxx令h(x)l nxx,则h(x)xxx当x(,)时,h(x),h(x)单调递增;当x(,)时,h(x),h(x)单 调 递 减故h(x)m a xh()l n l n e所以l na l n e,得a e故a的最小值为 e解法:“化对”将不等式aex l nx l na变形,得aexl nx l na,即aex l nxa,再得xexxal nxa,xexel nxal nxa 设g(x)xex,所以不等式等价
7、于g(x)gl nxa又g(x)xex在(,)内单调递增,所以x l nxa,即x l nx l na,故l na l nxx设h(x)l nxx,则h(x)xxx当x(,)时,h(x),h(x)单调递增;当x,时,h(x),h(x)单调递减故h(x)m a xh l n l n e所以l na l n e,得a e故a的最小值为 e考题链接例已知函数f(x)aex l nx l na()当ae时,求曲线yf(x)在点(,f()处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;()若f(x),求a的取值范围本题是 年新高考山东卷导数压轴题,所给关系式中既有指数式,也有对数式,可利用同构法处理下面仅对第()
8、问进行解答解法:“化指”将不等式aex l nx l na变形,得aexl nx l na,即el naexel nax l nx l na进一步变形得el nax(l nax)l nxl na(l nax),即el nax(l nax)l nxx,即el nax(l nax)el nx l nx设g(x)exx,则不等式等价于g(l nax)g(l nx)又g(x)为增函数,所以l nax l nx,即l nxx l na令h(x)l nxx,则h(x)xxx由h(x),得x当x(,)时,h(x),h(x)单调递增;当x(,)时,h(x),h(x)单调递减故h(x)m a xh()所以l na,解得a故a,)解法:“化对”将不等式aex l nx l na变形,得aexl nexa,进一步变形得exexexal nexa,即xexel nexal nexa 设g(x)xex,则g(x)在(,)内单增,不等式等价于g(x)gl nexa,即xl nexa,即x l nx l na,亦即l na l nx(x)由切线不等式x l nx,得l nx(x)所以l na,解得a故a,)总之,有关指数式与对数式的不等式问题,虽然综合性强,但只要我们掌握相应的处理策略及变形技巧,即可化难为易 Z 年 月上半月 解法探究复习备考