1、一长方体和正方体一、长方体的认识1.认识长方体的面、棱、顶点。(1)从不同的角度观察同一个长方体。把长方体放在桌面上,无论从哪个角度观察,最多只能同时观察到长方体的三个面。(2)长方体的棱和顶点。长方体两个面相交的线叫作长方体的棱,三条棱相交的点叫作长方体的顶点。2.长方体的特征。长方体是由 6 个长方形(也可能有 2 个相对的面是正方形)围成的立体图形,它有 6 个面、12 条棱和 8 个顶点。在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。3.长方体长、宽、高的含义。长方体相交于同一顶点的三条棱的长度,分别叫作它的长、宽、高。4.长方体的长、宽、高不是固定不变的,它与长方体的摆放方式有
2、关。长方体相交于同一顶点的三条棱中,通常把水平方向的两条棱分别叫作它的长和宽,把竖直方向的一条棱叫作它的高。二、正方体的认识1.正方体也叫立方体。它是由 6 个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形,12条棱的长度都相等,有 8 个顶点。2.正方体的长、宽、高相等,都叫正方体的棱长。3.长方体和正方体的特征的异同。相同点:都有 6 个面、12 条棱、8 个顶点,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。不同点:长方体的 6 个面都是长方形(也可能有 2个相对的面是正方形);一般情况下,棱有3组,每组4条棱长度相等。正方体的 6 个面是完全相同的正方形;每条棱的长度都相等。三、正
3、方体、长方体的展开图1.把一个正方体沿一条棱剪开,如下图所示。正方体的展开图是由 6 个完全相同的正方形组成的,可以通过观察、折叠找到 3 组相对的面。2.沿长方体的棱把长方体剪开,展开图中有 3 组相对的面,相对的面完全相同,相对的面完全隔开。易错点:误认为一个长方体中最多有 4 条相等的棱。这是错误的,一定要注意长方体的 6 个面不一定都是长方形,也可能有 2 个相对的面是正方形。当长方体有 2 个相对的面是正方形时,就有 8 条棱长度相等。直观图中的实线表示从某个角度能够看到的棱,虚线表示看不到的棱。长方体 12 条棱的长度和叫作长方体的棱长总和。长方体的棱长总和=(长+宽+高)4。易错
4、点:误认为有 6 个面、12条棱、8 个顶点的立体图形不是长方体就是正方体。这是不正确的,一定要注意有 6 个面、12 条棱、8个顶点并不代表它就是长方体或正方体,要看它是否具备长方体或正方体的所有特征,如下图,这个立体图形既不是长方体,也不是正方体。正方体的棱长总和:棱长12。正方体具有长方体的一切特征,正方体是特殊的长方体。同一个立体图形,沿不同的棱剪开,得到的展开图不同。技巧:正方体有 6 个相同的面,可以关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第1页3.沿着正方体(或长方体)的棱将它剪开,可以把正方体(或长方体)展开成一个平面图形,这个平面图形就是正方体(或长方体)的展开图。在展开
5、图中,正方体的 6 个面完全相同(长方体相对的面完全相同),相对的面完全隔开。四、长方体和正方体表面积的意义及计算方法1.表面积的意义:长方体(或正方体)6个面的总面积,叫作它的表面积。2.长方体和正方体表面积的计算方法。(1)长方体的表面积=长宽2+长高2+宽高2=(长宽+长高+宽高)2。如果用S表示长方体的表面积,用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高,那么长方体表面积的计算公式是S=2ab+2ah+2bh或S=(ab+ah+bh)2。(2)正方体的表面积=棱长棱长6。如果用S表示正方体的表面积,用a表示棱长,那么正方体表面积的计算公式是S=6a2。五、运用长方体和正方体表面积的计算方法解
6、决实际问题1.求长方体和正方体物体的表面积时,最关键的是要根据实际情况确定好求几个面的面积和。2.在实际生活中,并不是所有长方体形状的物体都有 6 个面,如长方体的鱼缸只有 5 个面,通风管只有 4 个面。因此,在计算时要根据实际情况解题。六、体积和容积的意义1.物体所占空间的大小叫作物体的体积。2.能盛装其他物体的都可以称为容器,不能盛装其他物体的都不是容器。3.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。4.有容积的物体一定有体积,但有体积的物体不一定有容积。七、体积单位通过观察、折叠找到 3 组相对的面。长方体有 3 组相对的面,可以通过看是否完全隔开,完全隔开的一组面就是相对的两个面。当所求
7、的长方体的表面积是6个面的面积时,先分别求出每组相对的面中一个面的面积,相加后再乘 2 较简便。举例:大厅里有 8 根高为 5 米的方柱需要涂油漆,方柱的横截面是边长为0.5米的正方形,若1千克油漆可以涂 5 平方米,则涂这 8 根方柱需要多少千克油漆?错解:(0.50.52+0.554)851=16.8(千克)答:涂这 8 根方柱需要 16.8 千克油漆。正解:0.554851=16(千克)答:涂这 8 根方柱需要 16 千克油漆。一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度,所以一个容器的体积一般大于它的容积。关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第2页1.棱
8、长是 1 厘米的正方体,体积是 1 立方厘米。2.棱长是 1 分米的正方体,体积是 1 立方分米。3.棱长是 1 米的正方体,体积是 1 立方米。4.常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米,用字母表示分别是cm 3、dm 3和m3。八、容积单位1.容积单位的使用方法。计量容积,一般就用体积单位。计量液体的体积,如水、油等,通常用升或毫升作单位。升和毫升,用字母表示分别为 L 和 mL,其中 1 L=1000 mL。2.容积单位的换算。1dm 3=1 L1cm 3=1 mL 高级单位向低级单位转换用乘法计算;低级单位向高级单位转换用除法计算。3.“容积”与“体积”的区别。(1)意义不同。体积
9、是指物体所占空间的大小,而容积是指容器所能容纳物体的体积。一个物体有体积,但它不一定有容积。(2)测量方法不同。求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算,而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高,然后计算。因此,对于同一个物体,一般来说,它的容积要比体积小。(3)单位名称不完全相同。体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。固体、气体的容积单位与体积单位相同,而液体的容积单位一般用升、毫升。九、长方体体积公式的推导1.以取 12 个 1 立方厘米的小正方体,摆出不同形状的长方体为例,如下图:每个小正方体的体积是 1 立方厘米,每个长方体是由 12 个小正方体摆成的,所以每个长
10、方体的体积都是12 立方厘米。并不是只有棱长是 1 cm、1dm、1 m 的正方体的体积才是 1cm3、1 dm3和 1 m3。易错点:误认为容积就是体积,这是不对的,一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积,却没有容积。较大容器盛装液体时用“升”作单位,较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。巧记:体积单位常用到,相邻进率是1000。高级单位化低级,要把此数乘1000。低级单位化高级,除以 1000把数算。转换过程要细心,掌握进率是关键。明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。1立方厘米的小正方体的边长是 1 厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成,它的长、宽、高就分别是几厘
11、米,它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第3页2.填写表格。长/cm宽/cm高/cm小正方体的个数体积/cm3长方体12111212长方体6211212长方体4311212长方体32212123.(1)在摆成的长方体中,每排小正方体的个数相当于长方体的长;排数相当于长方体的宽;层数相当于长方体的高。(2)长方体所含小正方体(体积单位)的个数正好等于长方体长、宽、高的乘积。4.长方体体积公式的字母表达式。如果用V表示长方体的体积,用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高,那么长方体的体积公式可以写成V=abh。长方体的体积=长宽高,字母公式为V
12、=abh 。5.拓展提高。当长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍时,它的体积就扩大到原来的n3(nnn=n3)倍;当长方体的长、宽、高都缩小到原来的1?时,它的体积就缩小到原来的1?31?1?1?1?3。十、正方体体积公式的推导1.长方体的体积=长 宽 高正方体的体积=棱长棱长棱长2.正方体体积的字母公式。如果用V表示正方体的体积,用a表示正方体的棱长,那么正方体体积的字母公式可以写成V=a aa=a 3。3.拓展提高。举例:如果一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的 2 倍,那么它的体积就扩大到原来的 23倍,即8 倍;反之,如果一个长方体的长、宽、高都缩小到原来的12,那么它的体积就缩小到原
13、来的123,即18。aaa也可以写成“a3”,即aaa=a3,读作“a的立方”,表示 3 个a相乘。因此,正方体的体积公式一般写成V=a3。写a3时,“3”要写在a的右上角,且要略小一些。举例:如果一个正方体的棱长扩大到原来的 2 倍,那么它的体积就扩大到原来的 8 倍;反之,如果一个正方体的棱长缩小到原来的12,那么它的体积就缩小到原来的18。在有些实际问题中,也可以用“横截面的面积长”来计算体积。关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第4页当正方体的棱长扩大到原来的n倍时,它的体积就扩大到原来的n3倍;当正方体的棱长缩小到原来的1?时,它的体积就缩小到原来的1?3。十一、运用体积公式
14、解决实际问题如果长方体和正方体体积公式中的已知条件都具备,那么可直接利用公式计算体积。十二、长方体和正方体体积的通用公式1.长方体和正方体底面积的意义。长方体和正方体无论怎样放置,总有一个面与平面接触,通常把这个面叫作底面。长方体和正方体底面的面积,叫作它们的底面积。2.长方体和正方体底面积的计算方法。(1)长方体的底面积=长宽。(2)正方体的底面积=棱长棱长。3.长方体和正方体体积公式的推导。长方体的体积?长 宽 高底面积高正方体的体积?棱长 棱长 棱长底面积可看作高长方体(或正方体)的体积=底面积高长方体(或正方体)的体积=底面积高。如果用V表示体积,S表示底面积,h表示高,那么长方体(或
15、正方体)的体积公式可以写成V=Sh。十三、容积的计算方法1.长方体或正方体物体容积的计算方法与体积的计算方法相同,知道长、宽、高或棱长,即可根据体积公式求出物体的容积。2.体积和容积的区别与联系。(1)不同点。意义不同。.物体所占空间的大小叫作物体的体积。.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。测量方法不同。.求物体的体积是从物体的外部来测量长、宽、高或棱长。运用通用公式进行计算时,一定要注意单位的统一。如一个长方体的底面积是 8 平方厘米,高是 3分米,求体积。错解:83=24(立方厘米)正解:3 分米=30 厘米,830=240(立方厘米)计算体积从外面测量长、宽、高;计算容积从里面测量长
16、、宽、高。有的物体既有体积,也有容积,如箱子、油桶、瓶子等。有的物体有体积,却没有容积,如石头、木头这类实心的物体。既有体积又有容积的物体,它的体积一定大于它的容积。只有在容器厚度忽略不计的情况下,容积才可以看作与体积相等。巧记:容积、体积孪兄弟,只是度量不统一。容积心中装物体,体积只想占空间。容积尺寸从里测,体积尺寸从外量。记住二者不同处,计算才能少失误。关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第5页.求物体的容积是从容器的内部来测量长、宽、高或棱长。单位名称不完全相同。.体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。.容积一般用体积单位,但在计量液体(如药水、汽油等)的体积时,常用升或毫升作单位。(2)相同点。计算公式相同。长方体(或正方体)的体积(或容积)=底面积高。二分 数 乘 法一、分数与整数相乘的意义和计算方法1.整数乘法的意义。求几个相同加数的和的简便运算。2.(1)分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,都是求几个相同加数的和的简便运算。(2)分数与整数相乘的计算方法:用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。能约分的要先约分,再计算。二、求一个数的几分之几是多少1.求