1、专题02 数轴上的三种动点问题 数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。那么，本专题对其中常考的三种题型（求时间、求距离或者对应点、定值问题）做出详细分析与梳理。【知识点梳理】 1.数轴上两点间的距离数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|ab|； 2.数轴上点移动规律数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为ab.类型一、求值（速度、时间、距离）例1如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a，b满足0
2、；(1)点A表示的数为 ；点B表示的数为 ；(2)若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC2BC，则C点表示的数 ；(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 （忽略球的大小，可看作一点） 以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），请分别表示出甲，乙两小球到原点的距离 （用t表示）【答案】(1)-2；6；(2)或14(3)甲球与原点的距离为：t+2；当时，乙球到原点的距离为；当时，乙球到原点的距离为【解析】(1)解：|a+2|+|b6|=
3、0，a+2=0，b6=0，解得，a=2，b=6，点A表示的数为2，点B表示的数为6故答案为：2；6(2)设数轴上点C表示的数为c，AC=2BC，|ca|=2|cb|，即|c+2|=2|c6|，AC=2BCBC，点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上，当C点在线段AB上时，则有2c6，得c+2=2(6c)，解得：c=；当C点在线段AB的延长线上时，则有c6，得c+2=2(c6)，解得c=14，故当AC=2BC时，c=或c=14；故答案为：或14(3)甲球运动的路程为：1t=t，OA=2，甲球与原点的距离为：t+2；乙球到原点的距离分两种情况：当03时，乙球从原点O
4、处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t6(t3)例2如图，数轴上两个动点A，B起始位置所表示的数分别为，4，A，B两点各自以一定的速度在数轴上运动，已知A点的运动速度为2个单位/秒(1)若A，B两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B点的运动速度(2)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8个单位长度？(3)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有，求C点的运动速度【答案】(1)1个单位/秒；(2)4秒和20秒；(3)个单位/秒【解析】(1)解：B点的运
5、动速度为：=1个单位/秒(2)OA+OB=8+4=128，且A点运动速度大于B点的速度，分两种情况，当点B在点A的右侧时，运动时间为=4秒当点A在点B的右侧时，运动时间为=20秒，综合得，4秒和20秒时，两点相距都是8个单位长度；(3)设点C的运动速度为x个单位/秒，运动时间为t，根据题意得知8+（2-x）t=4+（x-1）t2，整理，得2-x=2x-2，解得x=，故C点的运动速度为个单位/秒【变式训练1】如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以
6、2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速设运动的时间为t秒问：(1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？(2)求P、Q两点相遇时，t的值和相遇点M所对应的数【答案】(1)动点P从点A运动至点C需要19秒；(2)P、Q两点相遇时，t的值为秒，相遇点M所对应的数是【解析】(1)解：由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC，AO段时间为5，OB段时间为=10，BC段时间为=4，动点P从点A运动至C点需
7、要时间为5+10+4=19（秒），答：动点P从点A运动至点C需要19秒；(2)解：点Q经过8秒后从点B运动到OB段，而点P经过5秒后从点A运动到OB段，经过3秒后还在OB段，P、Q两点在OB段相遇，设点Q经过8秒后从点B运动到OB段，再经进y秒与点P在OB段相遇，依题意得：3+y+2y=10，解得：y=，P、Q两点相遇时经过的时间为8+=（秒），此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是为3+=；答：P、Q两点相遇时，t的值为秒，相遇点M所对应的数是【变式训练2】如图，已知、是数轴上三点，点表示的数为4，(1)点表示的数是_，点表示的数是_(2)动点、分别从、同时出发，点以每秒2个单位长度的速度
8、沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点的运动时间为（）秒用含的代数式表示：点表示的数为_，点表示是数为_；当时，点、之间的距离为_；当点在上运动时，用含的代数式表示点、之间的距离；当点、到点的距离相等时，直接写出的值【答案】(1)，6；(2)，；7；t的值为或10【解析】(1)解：A点在B点左边，B点表示4，AB=8，A点表示的数，4-8=-4；C点在B点右边，BC=2，C点表示的数为：4+2=6；(2)解：P点向右运动，P点表示的数为-4+2t；Q点向左运动，Q点表示的数为6-t；t=1时，P点-2，Q点5，两点距离=5-（-2）=7；Q点在右，P点在左，两点
9、距离=6-t-（-4+2t）=10-3t， 当P，Q相遇时，两点到C点距离相等，此时2t+t=10，解得：t=，当P点在C点右边，Q点在C点左边时，-4+2t-6=6-（6-t），解得：t=10，t的值为或10；【变式训练3】如图，点A、B为数轴上的点（点A在数轴的正半轴），N为AB的中点，且点N表示的数为2(1)点A表示的数为_，点B表示的数为_；(2)点M为数轴上一动点，点C是AM的中点，若，求点M表示的数，并画出点M的位置；(3)点P从点N出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，设运动时间为秒在运动
10、过程中，点P、Q之间的距离为3时，求运动时间t的值【答案】(1)6，2；(2)8或4；(3)1秒或7秒【解析】(1)解：，N为AB的中点，ANBNAB4点N表示的数为2，点A在点N的右侧，点B在点N的左侧点A表示的数为246，点B表示的数为242，即点A表示的数为6，点B表示的数为2，故答案为：6，2(2)解：当点M在点A的右侧时，如图1所示， C是AM的中点，CM1，AM2CM2，点M表示的数是628；当点M在点A的左侧时，如图2所示， C是AM的中点，CM1，AM2CM2，点M表示的数是624故点M表示的数是8或4；(3)解：当点P在点Q的右侧，即点P还没追上点Q时，如图3，由题意得t42
11、t3，解得t1，当点P在点Q的左侧，即点P追上点Q并超过点Q时，如图4所示，由题意得2tt43，解得t7，点P、Q之间的距离为3时，运动时间t1秒或7秒类型二、定值问题例1已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2nm3n2m2的次数请回答下列问题：(1)请直接写出a、b、c的值a ，b ，c (2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB
12、，点A与点C之间的距离表示为ACt秒钟过后，AC的长度为 （用含t的关系式表示）；请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值【答案】(1)-1，1，5；(2)4t6；不会变化，2【解析】(1)解：由题意得，单项式-xy2的系数a-1，最小的正整数b1，多项式2m2n-m3n2-m-2的次数c5；故答案为：-1，1，5(2)t秒后点A对应的数为a-t，点B对应的数为bt，点C对应的数为c3t，故AC|c3t-at|54t1|64t； 故答案为：64tBC53t-（1t）42t，AB1t-（-1-t）22t；BC-AB42t-2-2t2， 故BC-AB
13、的值不会随时间t的变化而改变其值为2【变式训练1】如图，已知数轴上点A表示的数为12，B是数轴上一点且动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒(1)写出数轴上点B表示的数_，点P表示的数_（用含t的代数式表示）；(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q；(3)若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长【答案】(1)8，125t；(2)点P运动10秒时追上点Q；(3)线段MN的长度不发生变
14、化，都等于10；理由见解析【解析】(1)解：点A表示的数为12，B在A点左边，AB=20，点B表示的数是12-20=-8，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t（t0）秒，点P表示的数是12-5t故答案为：-8，12-5t；(2)解：设点P运动x秒追上点Q，Q表示的数是-8-3t，根据题意得：12-5x=-8-3x，解得：x=10，点P运动10秒时追上点Q；(3)解：线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下：点A表示的数为12，点P表示的数是12-5t，M为AP的中点，M表示的数是，点B表示的数是-8，点P表示的数是12-5t，N为PB的中点，N表示的
15、数是，MN=（12-t）-（2-t）=10【变式训练2】如图，已知数轴上点A表示的数为9，B是数轴负方向上一点，且动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒(1)数轴上点B表示的数为_，点P表示的数为_；（用含t的代数式表示）(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问t为何值时，点P追上点Q？此时P点表示的数是多少？(3)若点M是线段的中点，点N是线段的中点点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度；【答案】(1)，；(2)16；(3)不发生变化，【解析】(1)解：数轴上
16、点A表示的数为8，且AB=14，点B表示的数为6，点P表示的数为，故答案为：，(2)解：设点P运动t秒时，在点C处追上点Q，如图，则，因为，所以解得所以点P运动5秒时，在点C处追上点Q当时，此时P点表示的数是(3)解：不发生变化理由是：因为M是线段的中点，N是线段的中点，所以分两种情况：当点P在点A、B两点之间运动时，如图所示，所以当点P运动到点B的左侧时，如图所示，所以综上所述，线段的长度不发生变化，其值为【变式训练3】点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足(1)如图1，求线段AB的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应
17、的数，若不存在，说明理由；(3)如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：的值不变；的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值【答案】(1)4；(2)存在，当点P表示的数为-1.5或3.5时，；理由见解析(3)结论正确，=2【解析】(1)解：|a+1|+（b-3）2=0，a+1=0，b-3=0，a=-1，b=3，AB=|-1-3|=4答：AB的长为4；(2)解：存在，x=-2，BC=5设点P在数轴上对应的数是m，|m+1|+|m-3|=5，令m+1=0，m-3=0，m=-1或m=3当m-1时，-m-1+3-m=
18、5，m=-1.5；当-1m3时，m+1+3-m=5，（舍去）；当m3时，m+1+m-3=5，m=3.5当点P表示的数为-1.5或3.5时，；(3)解：设P点所表示的数为n，PA=n+1，PB=n-3PA的中点为M，PM=PA=N为PB的四等分点且靠近于B点，BN=PB=，PM-2BN=-2=2（不变），PM+BN=+=（随点P的变化而变化），正确的结论为，且PM-2BN=2类型三、点之间的位置关系问题例1如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数
19、轴向右匀速运动设点P的运动时间为t秒(1)解决问题：当时，写出数轴上点B，P所表示的数；若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）【答案】(1)点B表示-4，点P表示5；1.8秒或3秒(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析【解析】(1)解：点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，点B表示的数是8-12=-4，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P表示的数是8-31=5设点P运动x秒时，与Q相
20、距3个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，AP+BQ=AB-3，3x+2x=9，解得：x=1.8，AP+BQ=AB+3，3x+2x=15，解得：x=3点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ=AQ+BP-PQ=（AQ+BP-PQ）-PQ=AB-PQ=（12-PQ），即2MN+PQ=12同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12例2.如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c9）20点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，
21、到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止(1)a ，b ；(2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC13，求x的值(3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值【答案】(1)3，1；(2)或1或或；(3)1，8【解析】(1)解：b是最大的负整数，即b=1，|a+3|+（c9）20，|a+3|=0，（c9）20，a=3，c=9，故答案为：3，1；(2)解：AB=2，BC=
22、10，AC=12，PA+PB+PC13，PA+PC=12，则PB=1，此时P点位置为2或0，根据P的运动轨迹得：由B到A时：x=13=，由A到B时：x=33=1，由B到C时：x=53=，由C到B时：x=233=；故x的值为:或1或或(3)解：当P点由B到A运动时P=3t1（0t），当P点由A到C运动时P=3（3t2）=3t5（t），当P点由C到B运动时P=9（3t14）=3t23（t8），当M点由A到C运动时M=4t3，当N点由C到A运动时N=5t9，PM相遇时3t4t=2，t=，MN相遇时4t5t=12，t=，PN相遇时3t5t=122，t=，0t，P在中间，则4t35t9=2（3t1）解得
23、t=舍去；t，M在中间，则5t93t1=2（4t3）解得t=舍去；t，M在中间，则5t93t5=2（4t3）解得t=1；t，N在中间，则4t33t5=2（5t9）解得t=；t，P在中间，则4t35t9=2（3t5）解得t=；t8，P在中间，则4t35t9=2（3t23）解得t=8；故t的值为：1，8【变式训练1】如图，已知A、B、C是数轴上三点，点O为原点，点C表示的数为6，BC4， AB12(1)写出数轴上点A、B表示的数；(2)动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动点P的速度是每秒6个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，点M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CNCQ，设运动
24、时间为t（t0）秒求数轴上点M、N表示的数（用含t的式子表示）；当M、B、N三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求t的值【答案】(1)A点表示-10， B表示2，(2)点M表示的数为：-10+3t，点N表示的数为：6+t，t的值为：2秒或秒或20秒；【解析】(1)解：O为原点，C表示6，BC=4，B表示2，AB=12，A点表示-10；(2)解：点P从A点以每秒6个单位长度沿数轴向右匀速运动，P点表示的数为-10+6t，点M为AP的中点，点M表示的数为：（-10-10+6t）=-10+3t，点Q从C点以每秒3个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点表示的数为6+3t，点N为CQ，点N表
25、示的数为：6+（6+3t-6）=6+t，当M是B、N中点，B点在左侧时，BM=MN，即-10+3t-2=6+t-（-10+3t），解得：t=，当B是M、N中点，M点在左侧时，BM=BN，即2-（-10+3t）=6+t-2，解得：t=2，当N是B、M中点，B点在左侧时，BN=MN，即6+t-2=-10+3t-（6+t），解得：t=20，t的值为：2秒或秒或20秒；【变式训练2】已知，如图1：数轴上有A、B、C三点，点A表示的数为5， 点B表示的数为13， 点C表示的数为2，将一条长为9个单位长度的线段MN放在该数轴上（点M在点N的左边）(1)求线段AB中点表示的数；(2)如图2：若从点M与点A重
26、合开始，将线段MN以0.3个单位长度/秒的速度沿数轴向右移动，经过x秒后，点N恰为线段BC的中点，求x的值；(3)如图3：在（2）的基础上，若线段MN向右移动的同时，动点P从点C开始以0.6个单位长度/秒的速度也沿数轴向右移动，设移动的时间为t秒，当P、N、B三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，求t的值【答案】(1)4；(2)5；(3)或【解析】(1)解：线段AB中点表示的数为，线段AB中点表示的数为4；(2)解：点N表示的数为：-5+9=4线段BC中点表示的数为：根据题意，得4+0.3x=5.5，解得：x=5，点N恰为线段BC的中点重合时，x的值为5；(3)解：当点N恰为线段BP
27、的中点时，根据题意，得，方程无解，当点P恰为线段BN的中点时，根据题意，得，解得：t=，当点B恰为线段PN的中点时，根据题意，得，解得：t=，综上，当P、N、B三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，t的值为或【变式训练3】已知A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是的优点例如：如图1，A，B为数轴上两点，点A表示的数为1，点B表示的数为2，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的优点；表示数0的点D到点C的距离是1，到点B的距离是2，那么点D是的优点(1)在图1中，点C是的优点，也是（A，_）的优点；点D是的优点，也是（B，
28、_）的优点；(2)如图2，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为2，点B所表示的数为4设数所表示的点是的优点，求的值；(3)如图3，A，B为数轴两点，点A所表的数为20，点B所表示的数为40现有一只电子蚂蚁从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，设点的运动时间为t秒，在点运动过程中，是否存在P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点如果存在请求出t的值；如果不存在，说明理由【答案】(1)D，A；(2)10或2；(3)当或或时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点【解析】(1)解：A，B为数轴上两点，点A表示的数为1，点D表示的数为0，表示数1的点C到点A的距离是2，到点D的距离是1，那么点C是的优点；表示数0的点D到点B的距离是2，到点A的距离是1，那么点D是A的优点，故答案为：D；A；(2)解：由题意得，或，解得或；(3)解：由题意得运动t秒时点P表示的数为，当A是（B，P）的优点时，解得；当B为（A，P）的优点时，解得；当P为（A、B）的优点时，解得；当P为（B，A）的优点时，解得；综上所述，当或或时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点