1、专题3.1 从算式到方程典例体系一、知识点1.一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a0)注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。如，它不是一元一次方程。2.一元一次方程的解方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。3.等式的性质：（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。二、考点点拨与训练考点1：一元一次方程定义及应用典例：2020陕西西安西北工业大学附属中学期末）下面的等式中，是一元一次方程的为（ ）A3x2
2、y0B3x10C2xDx216【答案】B【解析】解：A、该方程中含有两个未知数，所以它不是一元一次方程，故本选项错误；B、符合一元一次方程的定义，故本选项正确；C、该方程未知数在分母上，所以它不是一元一次方程，故本选项错误；D、该方程的未知数的最高次数是2，所以它不是一元一次方程，故本选项错误；故选B方法或规律点拨本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程.巩固练习1（2020广西平桂期中）下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）ABCD【答案】B【解析】A选项错误，不是等式；B选项正确；C选项错误，有两个未知数，不是一元；D选项错误，次数是二次故选：B2（
3、2020全国单元测试）下列方程中，是一元一次方程的为（ ）ABCD【答案】D【解析】A、含有两个未知数，即不是一元一次方程，故本选项错误；B、方程的次数是2次，即不是一元一次方程，故本选项错误；C、方程的次数是2次，即不是一元一次方程，故本选项错误；D、是一元一次方程，故本选项正确故选：D3（2020全国课时练习）已知是关于的一元一次方程，则（ ）A-1B0C1D【答案】C【解析】由题意得，解得.故选：C4（2020全国课时练习）下列方程为一元一次方程的是（ ）ABCD【答案】D【解析】A、有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项错误；B、分母有未知数，不是一元一次方程，故此选项错误；C、未知
4、数的最高次数为2，不是一元一次方程，故此选项错误；D、是一元一次方程，故此选项正确；故选：D5（2020全国课时练习）下列叙述正确的有（ ）是一元一次方程；是一元一次方程；是一元一次方程；不是一元一次方程A1个B2个C3个D4个【答案】A【解析】不含未知数，不是一元一次方程，错误；是一元一次方程，正确；中的不是整式，不是一元一次方程，错误；是一元一次方程，错误；综上，叙述正确的有1个，故选：A6（2020全国课时练习）若方程与方程分别是关于x、y的一元一次方程，则（ ）A2B0C2或0D3【答案】C【解析】解：方程与方程分别是关于x、y的一元一次方程解得：当m=-1，n=1时，mn=0当m=1
5、，n=1时，mn=22或0故选C7（2019北京市昌平区第四中学期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（ ）A1B1C-1D0或1【答案】C【解析】方程是关于的一元一次方程，解得：故选：C8（2020全国单元测试）已知方程是关于的一元一次方程，则应满足的条件是_【答案】【解析】方程化为，；故答案是9（2020全国单元测试）如果方程是关于的一元一次方程，那么_【答案】2【解析】方程是关于的一元一次方程，n-1=1，解得：n=2，故答案为：210（2020全国单元测试）方程是一元一次方程，则_【答案】-2【解析】解：方程是一元一次方程，所以；解得：m=-2故答案为：-211（2020山西襄汾
6、期末）若关于的方程是一元一次方程，则的值是_【答案】-1【解析】关于的方程是一元一次方程，且，即：，故答案为：.考点2：列一元一次方程典例：（2020德惠市第三中学初一月考）已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少设宽为x，列方程为_【答案】2x+（x+5）=50【解析】设宽为x，则长为x+5，2x+（x+5）=50，故答案为： 2x+（x+5）=50方法或规律点拨考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，表示出长和宽，根据周长列出方程巩固练习1（2020全国课时练习）已知某数为x，比它的大1的数的相反数是5，则可列出方程（ ）ABCD【答案】B【解析】比某数的大
7、1的数表示为：，比某数的大1的数的相反数表示为：，因此可列方程为：故选：B2（2020全国初一课时练习）足球的表面一般是由若干黑色五边形和白色六边形围成的，一个足球的表面共有32个皮块.设白皮有x块，则黑皮有块，每块白皮有六条边，共有6x条边，因为每块白皮有三条边和黑皮连在一起，故黑皮共有3x条边.要求出白皮、黑皮的块数，列出的方程正确的是（）ABCD【答案】B【解析】解：根据黑皮的边数相等，可列方程为：.故选B.3（2020青海中考真题）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）ABCD【答案】A【解析】解：大量筒中的水的体积为：，小量筒中的水的体积为：，则可列方程为：.故选A.4（2020
8、全国单元测试）已知某数的相反数与2的差等于某数，如果设这个数为，那么可得方程为_【答案】【解析】解：设这个数为，由题意知：，故填：5（2020全国单元测试）如果正方形的边长增加，它的周长增加，那么可得方程为_【答案】【解析】正方形增加的周长=4增加的边长故答案为6（2020全国单元测试）长方形场地的面积是80平方米，它的长是宽的2倍多6米，若设长方形的宽是米，那么可以列出方程为_【答案】【解析】设长方形的宽是米，长是宽的2倍多6米，长是（2x+6）米，长方形的面积为80平方米，（2x+6）x=80，故答案为：（2x+6）x=807（2020全国课时练习）某数的与-1的差等于10，设某数为x，依
9、题意，可列方程为_【答案】【解析】由题意得：，故答案为：8（2020全国课时练习）根据题意，列出方程：x的与3y的和得7：_【答案】【解析】的表示为：，它与的和表示为：，则方程为：，故答案为：9（2020新疆高昌初一月考）某件商品的进货价是100元，售价是130元，则其利润率为 _%.【答案】30【解析】由题意知，利润率，故答案为：3010（2020新疆高昌初一月考）根据下列语句列出方程：（1）比a小4的数是7：_.（2）3与x差的一半等于x的4倍_.【答案】a-4=7或a-7=4(其相关变形均可) 0.5(3-x)=4x 【解析】（1）由题意知，可列方程：a-4=7；（2）由题意知，可列方程
10、：0.5(3-x)=4x；故答案为：a-4=7或a-7=4(其相关变形均可)；0.5(3-x)=4x考点3：方程的解典例：（2020全国单元测试）以1为方程的解的方程是（ ）ABCD【答案】A【解析】解：A当y=1时，所以左边=右边，故本选项符合题意；B当x=1时，所以左边右边，故本选项不符合题意；C当t=1时，所以左边右边，故本选项不符合题意；D当x=1时，所以左边右边，故本选项不符合题意故选A方法或规律点拨此题考查的是方程解的判断，掌握方程的解的定义是解决此题的关键巩固练习1（2020全国单元测试）下列方程中，其解为1的方程是（）A2y=1+yB3y=2Cx4=3D2x2=4【答案】A【解
11、析】解：A、方程2y=-1+y，移项合并得：y=-1，符合题意；B、方程3-y=2，解得：y=1，不合题意；C、方程x-4=3，移项合并得：x=7，不合题意；D、方程-2x-2=4，移项合并得：-2x=6，解得：x=-3，不合题意，故选A2（2020全国课时练习）解为的方程是（ ）ABCD【答案】D【解析】把代入各方程：A、左边，右边=0，左边右边，不合题意；B、左边，右边，左边右边，不合题意；C、左边，右边，左边右边，不合题意； D、左边，右边，左边右边，符合题意，故选：D3（2020全国课时练习）不是下列哪个方程的解（ ）ABCD【答案】D【解析】把代入，可得：，故A不符合题意；，故B不符
12、合题意；，故C不符合题意；，故D符合题意；故答案选D4（2019北京市昌平区第四中学期中）若x1关于x的方程2x+3a的解，则a的值为（）A5B3C1D1【答案】C【解析】由题意，将代入方程得：解得：故选：C.5（2020河南偃师期末）若x=-3是方程的解，则的值是（ ）A6B6C12D12【答案】B【解析】解：把x=-3代入方程得：2（-3-m）=6，解得：m=-6故选：B6（2020福建惠安期末）已知关于x的方程4xa3的解是x2，则a_【答案】5【解析】关于x的方程4xa3的解是x2，8a3，解得：a5故答案为：57（2020全国单元测试）_方程的解（填“是”或“不是”）【答案】是【解析
13、】解：把代入方程得：左边右边则是方程的解故答案是：是8（2020全国单元测试）对于方程，有理数1、2、-6三个数中，是方程解的数为_【答案】1，-6【解析】解：当x=1时，左边=右边，故1符合题意；当x=2时，左边右边，故2不符合题意；当x=-6时，左边=右边，故-6符合题意；故答案为：1，-69（2020全国课时练习）如果方程无解，则_【答案】3【解析】由题意得：，解得，故答案为：3考点4：等式的性质典例：（2020全国初一课时练习）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（）ABCD【答案】
14、A【解析】设的质量为x，的质量为y，的质量为：a，假设A正确，则，x=1.5y，此时B，C，D选项中都是x=2y，故A选项错误，符合题意，故选A方法或规律点拨本题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键巩固练习9（2019北京市昌平区第四中学期中）下列等式变形正确的是（）A若3x5，则xB若，则2x+3（x1）1C若5x62x+8，则5x+2x8+6D若3（x+1）2x1，则3x+32x1【答案】D【解析】选项A. 若，则.错误.选项B. 若，则.错误.选项C. 若，则 .错误.选项 D. 若，则.正确.故选D.2（2020哈尔滨工业大学附属中学校开学考试）下列各式变形正确的
15、是（ ）A如果那么B如果那么C如果，那么D如果，那么【答案】D【解析】如果那么，故A错误；如果那么故B错误；如果，那么，故C错误；如果，那么，故D正确；故选D3（2019黑龙江道外初一期末）已知ab，下列等式不一定成立的是( )Aa+cb+cBcacbCacbcD【答案】D【解析】A、由ab知a+cb+c，此选项一定成立；B、由ab知cacb，此选项一定成立；C、由ab知acbc，此选项一定成立；D、由ab知当c0 时无意义，此选项不一定成立；故选D4、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立22（2020四川汶川初一期末）下列变形符合等式基本性质的是（ ）A如果那么B如果，那
16、么等于C如果那么D如果，那么【答案】D【解析】A、如果2xy7，那么y2x7，故A错误；B、k0时，两边都除以k无意义，故B错误；C、如果2x5，那么x，故C错误；D、两边都乘以3：，故D正确；故选择：D5（2020广东郁南初一期末）下列等式的变形中，正确的有（）由5 x=3，得x= ；由a=b，得a=b；由x3=0，得x=3；由m=n，得=1A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】若5x=3，则x= ，故本选项错误；若a=b，则-a=-b，故本选项正确；-x-3=0，则-x=3，故本选项正确；若m=n0时，则 =1，故本选项错误故选B.6（2019广东郁南初一期末）在下列变形中，正确的是(
17、 )A如果a=b，那么B如果=4，那么a=2C如果ab+c=0，那么a=b+cD如果a=b，那么a+c=bc【答案】A【解析】A、正确.B、a=8，故选项错误；C、a=b-c，故选项错误D、应同加同减，故选项错误； 故选A7（2020贵州印江初一期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）A如果，那么B如果，那么C如果，那么D如果，那么【答案】C【解析】解：A、如果，那么，故本选项变形错误，不符合题意；B、如果，那么，故本选项变形错误，不符合题意；C、如果，那么，故本选项变形正确，符合题意；D、如果，那么，故本选项变形错误，不符合题意故选：C8（2019海南琼海初一期末）如果那么下列等式不一定
18、成立的是ABCD【答案】D【解析】A. 等式x=y的两边同时加上a，该等式仍然成立；故本选项正确；B. 等式x=y的两边同时减去a，该等式仍然成立；故本选项正确；C. 等式x=y的两边同时乘以a，该等式仍然成立；故本选项正确；D. 当a=0时， 无意义；故本选项错误；故选D.9（2020吉林宽城初一期末）下列方程变形正确的是（ ）A由，得B由，得C由，得D由，得【答案】D【解析】解：A. 由，得，故不正确；B. 由，得，故不正确；C. 由，得，故不正确；D. 由，得，正确故选D10（2020杭州市十三中教育集团（总校）初三其他）若a=b+2，则下面式子一定成立的是（）Aab+2=0B3a=b1
19、C2a=2b+2D=1【答案】D【解析】，所以A选项不成立；，所以B选项不成立；，所以C选项不成立；，故D选项符合题意；故选：D11（2020河南方城初一期中）下面四个等式的变形中正确的是（ ）A由得B由得C由得D由得【答案】A【解析】A. 由两边同除以4得，正确； B. 由，移项合并得，故错误；C. 由两边同除以得，故错误； D. 由去括号得-4x+4=-2合并得，故错误故选A.12（2020四川省遂宁市第二中学校初一期中）下列各式变形正确的是（ ）A由得B由得 C由得D由得【答案】B【解析】A、得x=-2y，错误；B、正确；C、x=-3，错误；D、3x=7+5，错误，所以答案选择B项.13（2020湖北黄石期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）A如果ab，那么a2b3B如果ab，那么a2b3C如果，那么abD如果a23a，那么a3【答案】C【解析】解：A、等式的左边加2，右边加3，故A错误；B、等式的左边减2，右边减3，故B错误；C、等式的两边都乘c，故C正确；D、当a=0时，a3，故D错误；故选C14（2020全国初一课时练习）把方程变形为，其依据是（ ）A等式的性质1B等式的性质2C乘法结合律D乘法分配律【答案】B【解析】将原方程两边都乘2，得，这是依据等式的性质2故选B