1、专题4.3 角典例体系（39页）一、知识点1. 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。2.角的表示：用数字表示单独的角，如1，2，3等。用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等。用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如B，C等。用三个大写英文字母表示任一个角，如BAD，BAE，CAE等。注意：用三个大写英文字母表示角时，
2、一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。3.用一副三角板，可以画出15，30，45，60，75，90，105，120，135，150，1654.角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“”表示，1度记作“1”，n度记作“n”。把1的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1”。把1 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1”。 1=60，1=60”5.角的性质（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算。6.角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个
3、相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。7.余角和补角如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果+=90，那么与互余；反过来，如果与互余，那么+=90如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果+=180，那么与互补；反过来如果与互补，那么+=180同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。二、考点点拨与训练考点1：钟面上的角度计算典例：（2020福建宁化初一期末）上午时，钟表的时针与分针的夹角为（ ）ABCD【答案】B【解析】解：钟表中一圈有12个大格1个大格
4、的对应的角度为36012=30时，时针与分针间有2个大格此时钟表的时针与分针的夹角为302=60故选B方法或规律点拨此题考察的是求钟表的分针与时针的夹角问题，掌握钟表的特征和周角的定义是解决此题的关键巩固练习1（2020全国单元测试）设时钟的时针与分针所成角是，则正确的说法是（ ）A八点一刻时，是平角B十点五分时，是锐角C十一点十分时，是钝角D十二点一刻时，是直角【答案】B【解析】解：A 分针一分钟走6度,时针是0.5度，8:15时,时针离12点的角度是:308+150.5=247.5度.分针行了156=90度.故二针的夹角是:247.5-90=157.5度，所以八点一刻时，是钝角；B同理，
5、十点五分时，是锐角；C 十一点十分时，是锐角；D 十二点一刻时，是锐角；故选B2（2020内蒙古额尔古纳期末）在上午八点半钟的时候，时针和分针所夹的角度是（ ）A85B75C65D55【答案】B【解析】解：如图，上午八点半钟时，时针和分针中间相差2.5个大格钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30，上午八点半钟的时候，时钟的时针和分针所夹的角度是2.530=75故选：B 3（2021湖南长沙明达中学月考）若钟表分针走30分钟，则钟表的时针转 （ ）ABCD【答案】B【解析】因为整个钟面12小时，时针每小时转，且30分钟等于小时，所以若钟表分针走30分钟，钟表的时针转的角度是，故选：B4（
6、2020浙江青田初一期末）上午，时钟上分针与时针之间的夹角为（ ）ABCD【答案】B【解析】解：9：30时针与分针相距3.5份，每份的度数是30，在时刻9：30，时钟上时针和分针之间的夹角（小于平角的角）为3.530=105故选：B5（2020福建宁化期中）某校七年级在下午5：00开展“阳光体育”活动，下午5：00时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于_度【答案】150【解析】因为分钟一分钟走6，所以下午5：00时刻，时钟上分针与时针所夹的角为；故答案为1506（2020浙江松阳期末）上午8：25时，时钟的时针和分针的夹角(小于平角的角)度数是_【答案】102.5【解析】分钟每分钟转动36060=
7、6，时针每分钟转动3601260=0.5，8：25时针和分针的夹角（小于平角的角）度数为： (830+250.5)-256=102.5故答案为：102.57（2020全国单元测试）由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了_度，分针旋转了_度，此刻时针与分针的夹角是_度【答案】12.5 150 117.5 【解析】解：时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，又从2点30分到2点55分经过了25分钟，时钟的时针旋转了，时钟的分针旋转了2点55分时时针距离3还有，分针指向11，中间相差3个数字，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，此时分针与时针的夹角是故答案为12.5；150；117.58（2
8、020全国单元测试）时钟的分针从4点整的位置起，顺时针方向转_度时，分针才能第一次与时针重合【答案】【解析】解：由题意得：分针每分钟走，时针每分钟走，则，解得，即经过分钟后，分针与时针重合，分针转了度故答案为10（2020湖北黄石初一期末）如图，上午6：30时，时针和分针所夹锐角的度数是_【答案】15【解析】时针12小时转一圈，每分钟转动的角度为：3601260=0.5，时针1小时转动30，6：30时，分针指向刻度6，时针和分针所夹锐角的度数是30 =15故答案是：1511（2020全国单元测试）钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成的角？分别是几点几分？【答案】钟面上从2点到4点有4次时针与
9、分针夹成角，分别是2点整，2点分，3点分，3点分【解析】解：共有4次时针与分针所夹的角为根据时针与分针的速度可知分针比时针每分钟转动快第1次正好为2点整；第2次设为2点分时，时针与分针的夹角为，则，解得；第3次设为3点 分时，时针与分针的夹角为，则，解得；第4次设为3点分时，时针与分针的夹角为，则，解得综上，钟面上从2点到4点有4次时针与分针夹成角，分别是2点整，2点分，3点分，3点分考点2：方位角及其应用典例：（2020全国单元测试）如图所示，点表示城，点表示城（1）如果城在城的南偏西方向，请画出从城到城方向的射线；（2）如果城在城的北偏东方向，在城的南偏东方向，请确定城的位置（用点表示）要
10、求：不写画法，保留画图痕迹，写出结论【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）以城为观测中心，画出南偏西方向，就是从城到城方向的射线，如图所示，射线AB即为所求；（2）以城为中心，画出北偏东方向，以城为中心，画出南偏东方向，两个方向的交点处，就是城，如图所示，城即为所求方法或规律点拨此题考查的是根据方位角画图，掌握方位角的定义是解决此题的关键巩固练习1（2020四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图所示，射线OP表示的方向是（ ）A东偏北65B北偏东25C北偏西65D北偏东65【答案】D【解析】解：90-25=65，则射线OP表示的方向是北偏东65故选：D2（2019河北涿鹿期末）
11、如图，点A位于点O的A南偏东35方向上B北偏西65方向上C南偏东65方向上D南偏西65方向上【答案】B【解析】解：由图可得，点A位于点O的北偏西65的方向上故选B3（2020全国单元测试）射线位于北偏东方向，射线位于南偏东方向，则的度数是（ ）ABCD【答案】A【解析】故选A4（2020哈尔滨工业大学附属中学校初一开学考试）某人在点处看点在北偏东的方向上，看点在北偏西的方向上，则的度数为（ ）ABCD【答案】B【解析】解：由题意可作如图所示：故选B5（2020全国课时练习）如图所示，由点A测点B的方向是（ ）A南偏东38B南偏东52C北偏西38D北偏西52【答案】A【解析】根据图上的信息以及方
12、位角的定义，B点在A点南偏东故选：A6（2020全国课时练习）若点B在点A北偏东30处，点C在点A南偏东40处，那么的度数是（ ）A70B80C100D110【答案】D【解析】故答案选D7（2020山东单县初一期末）如图，是表示北偏东方向的一条射线，则的反向延长线表示的是（ ）A北偏西方向上的一条射线B北偏西方向上的一条射线C南偏西方向上的一条射线D南偏西方向上的一条射线【答案】D【解析】如图，根据对顶角相等可知2=55，再根据余角的性质可得1=35，的反向延长线表示的是：南偏西55方向上的一条射线或西偏南35方向上的一条射线故选：D8（2020全国单元测试）若从点看点的方向是南偏东，那么从点
13、看点的方向是_【答案】北偏西【解析】因为从点看点的方向是南偏东，所以从点看点的方向是北偏西；故答案为北偏西9（2020全国单元测试）、两个城市的位置如图所示，那么城在城的_方向【答案】北偏东【解析】解：由图可知：城在城的北偏东9060=故答案为：北偏东10（2020全国单元测试）根据图填空：点A在点O的_方向，点C在点O的_方向【答案】东偏北50 西南 【解析】在图中找到A点和C点位置，然后根据方向和偏角可得：点A在点O的东偏北50方向，点C在点O的西南方向故答案为：东偏北50；西南11（2020辽宁北镇期末）如图，直线与相交于点，且平分，若，则的度数为_【答案】20【解析】解：OAOB，AO
14、B90，又AOE40，AOF18040140，又OC平分AOF，AOC1214070，BOD180907020故答案为：20考点3：角的运算典例：（2020巨野县育才实验学校初一月考）计算：（1）（2） 180-（3455+2133）【答案】（1）；（2）12332【解析】解：（1）；（2）原式=180-5588=17960-5628=12332；方法或规律点拨本题考查了度分秒的换算：度、分、秒是常用的角的度量单位1度=60分，即1=60，1分=60秒，即1=60巩固练习1（2020全国初一课时练习）计算：的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】故选：B2（2020全国单元测试）（1）已知，则_
15、；（2）已知，则_【答案】 【解析】解：（1）（2）故答案为：，3（2020全国单元测试）计算：_；_【答案】 【解析】解：故答案为：；4（2020湖南雨花初一期末）计算：4837+5335_【答案】【解析】4837+5335=10172=.5（2020全国初一课时练习）计算：901835_【答案】【解析】解：90-1835=7125故答案是：71256（2020内蒙古杭锦后旗初一期末）计算3052+4350=_【答案】7442【解析】解：3052+4350=73102=7442故答案为：74427（2020全国单元测试）（1）； （2）；（3）； （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
16、【解析】（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式考点4：与三角板有关的角度计算典例：（2020湖南天心长郡中学初一期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，AOC30，将一直角三角板（D30）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分BOC此时t的值为 ；（直接填空）此时OE是否平分AOC？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分DOE？请说明理由；（
17、3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分DOB？请画图并说明理由【答案】（1）3，是，理由见解析；（2）t5秒或69秒时，OC平分DOE；理由见解析；（3）经秒时，OC平分DOB画图说明理由见解析【解析】（1）AOC30，AOB180，BOCAOBAOC150，OD平分BOC，BODBOC75，t；故答案为3；是，理由如下：转动3秒，AOE15，COEAOCAOE15，COEAOE，即OE平分AOC（2）三角板旋转一周所需的时间为72（秒），射线OC绕O点旋转一周所需的时间为45（秒），设经过x秒时，OC平分DOE，由题意：8x5x4530，解得：x5，8x5x36030+45，解得：x1
18、2545，不合题意，射线OC绕O点旋转一周所需的时间为45（秒），45秒后停止运动，OE旋转345时，OC平分DOE，t69（秒），综上所述，t5秒或69秒时，OC平分DOE（3）如图3中，由题意可知，OD旋转到与OB重合时，需要90518（秒），OC旋转到与OB重合时，需要（18030）8（秒），所以OD比OC早与OB重合，设经过x秒时，OC平分DOB，由题意：8x（18030）（5x90），解得：x，所以经秒时，OC平分DOB方法或规律点拨本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，关键是根据线的运动得到角的等量关系，然后根据题意列出式子计算即可巩固练习1（2020全国单元测试）用两个三角板
19、（一个是，一个是）不可能画出的角度是（ ）ABCD【答案】B【解析】解：因为三角板的度数：30，60，90，45，45，90可以画出的角度是：15，30，45，60，75，90，105，120，135，150，180不可能画出的角度是115；故选：B2（2020山东莘县期末）如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合与点O，若DOC28，则AOB的度数为（）A62B152C118D无法确定【答案】B【解析】解：COBDOBDOC902862，AOBAOC+COB90+62152故选：B3（2020湖北荆州月考）如图，把一块含有45角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上如果1=20，那么
20、2的度数是（）A30B25C20D15【答案】B【解析】根据题意可知1+2+45=90，2=90145=25，4（2020山西浑源初一期末）如图，将一个三角板60角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，1=2740，2的大小是( )A2740B5740C5820D6220【答案】B【解析】1=2740，CAE=60-2740=3220，2=90-3220= 5740.故选B.5（2020全国初一课时练习）如图，将两块三角尺AOB与COD的直角顶点O重合在一起，若AOD=4BOC，OE为BOC的平分线，则DOE的度数为（）A36B45C60D72【答案】D【解析】AOB=90,COD=90，AOB
21、+COD=180，AOB=AOC+BOC，COD=BOC+BOD，AOC+BOC+BOC+BOD=180，AOD+BOC=180，AOD=4BOC，4BOC+BOC=180，BOC=36，OE为BOC的平分线，COE=BOC=18，DOE=CODCOE=9018=72，故选D.6（2020广西平桂期末）如图，将一副三角板叠放一起，使直角的顶点重合于点O，则AOD +COB的度数为_度【答案】180【解析】AOD+COB=COD+AOC+COB =COD+AOB=90+90=180故答案是：1807（2020广东省汕头市潮阳区铜盂中学初三月考）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O
22、点，且AOB155，则COD_【答案】25【解析】AOD与BOC是一副直角三角板，AOD+COB180，AOC+2COD+BOD=AOB+COD=180AOB155，COD180AOB18015525故答案为258（2020全国单元测试） 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若AOD=127，则BOC=_【答案】53【解析】AOB=COD=90AOC+BOC+BOD+BOC=180即AOD+BOC=180AOD=127BOC=53，故答案为：539（2020全国单元测试）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则AOC+DOB_【答案】180【解析】AOC=AOB+BOC
23、，AOC+DOB=AOB+BOC+BOD，又BOC+BOD=COD，且AOB=COD=90，AOC+DOB=AOB+COD=90+90=18010（2019广东郁南初一期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起（1）判断ACE与BCD的大小关系，并说明理由；（2）若DCE=30，求ACB的度数；（3）猜想：ACB与DCE有怎样的数量关系，并说明理由【答案】（1）ACE=BCD；（2）150；（3）ACB+DCE=180，见解析【解析】解：（1）ACE=BCD，理由如下：ACE+DCE=90，BCD+DCE=90，ACE=BCD；（2）由余角的定义，得ACE=90DCE=9030=60，
24、由角的和差，得ACB=ACE+BCE=60+90=150；（3）ACB+DCE=180，理由如下：由角的和差，得ACB=BCE+ACE，ACB+DCE=BCE+（ACE+DCE）=BCE+ACE=18011（2020全国初二课时练习）将一副三角尺叠放在一起：（1）如图，若142，请计算出CAE的度数；（2）如图，若ACE2BCD，请求出ACD的度数【答案】（1）CAE18；（2）ACD120【解析】解：（1）BAC90，1+290，142，42+290，218，又DAE90，1+CAE2+190，CAE218；（2）ACE+BCE90，BCD+BCE60，ACEBCD30，又ACE2BCD，2
25、BCDBCD30，BCD30，ACDACB+BCD90+3012012（2019河北涿鹿期末）把一副三角板的直角顶点O重叠在一起（1）问题发现：如图，当OB平分COD时，AOD+BOC的度数是 ；（2）拓展探究：如图，当OB不平分COD时，AOD+BOC的度数是多少？（3）问题解决：当BOC的余角的4倍等于AOD时，求BOC的度数【答案】（1）180；（2）180；（3）60【解析】解：（1）OB平分COD，BOC=BOD=45AOC+BOC=45，AOC=45，AOD+BOC=AOC+COD+BOC=45+90+45=180故答案为180；（2）AOB=AOC+BOC=90，COD=BOD+BOC=90，AOD+BOC=AOC+BOC+BOD+BOC=90+90=180；（3）由（1）、（2）得，AOD+BOC=180，AOD=180BOCAOD=4（90BOC），180BOC=4（90BOC），BOC=6013（2020广东东莞初一期末）直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分BCD（1）在图1中，若BCE40，ACF ；（2）在图1中，若BC