1、第五章 相交线与平行线5.4 平行线的性质及平移（基础巩固）【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行” (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质 要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段
2、的长度就是两条平行线的距离(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等要点三、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）命题的表达形式：“如果，那么.”，也可写成：“若，则.”（3）真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续
3、推理的依据.3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.要点诠释：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可要点四、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段
4、、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.要点诠释：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”定、找、移、连 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
5、 (4)连：按原图形顺次连接对应点【典型例题】类型一、平行线的性质例1如图，直线，1=70，2=30，则A的度数是（）A30 B35C40D50【思路点拨】根据平行线的性质得出3的度数，然后根据三角形外角的性质即可求得A的度数【答案】C【解析】解：直线，1=70，3=1=70，2+A=3，A=32=7030=40【总结升华】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键举一反三：【变式】如图，已知，且1=48，则2 ，3 ，4 .【答案】48，132，48类型二、两平行线间的距离例2如图所示，直线l1l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若ABC的面积为S1
6、，ABD的面积为S2，则( ) AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不确定【答案】B【解析】因为l1l2，所以C、D两点到l2的距离相等同时ABC和ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等【点评】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合类型三、命题例3判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的? 还是错误的? 画直线AB；两条直线相交，有几个交点；若ab，bc，则ac；直角都相等；相等的角都是直角；如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角【答案】不是命题；是命题；是正确的命题；是错误的命题【解析】因为不是对某一事情作出判断的句子，所以不是命题；在四个命题中，是真命题，是假命题【点评】
7、命题必须对某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判断，如问句、陈述句就不是命题，值得注意的是错误的命题也是命题举一反三：【变式】把下列命题改写成“如果，那么”的形式 （1）两直线平行，同位角相等；（2）对顶角相等；（3）同角的余角相等.【答案】 解：（1）如果两直线平行，那么同位角相等.（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.（3）如果有两个角是同一个角的余角，那么它们相等. 类型四、平移例4如图所示，平移ABC，使点A移动到点A，画出平移后的ABC【思路点拨】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离，连接AA后这个问题便获得解决根据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在一条直线上
8、)且相等，容易画出所求的线段【答案与解析】 解：如图所示，（1）连接AA，过点B作AA的平行线，在上截取BBAA，则点B就是点B的对应点（2）用同样的方法做出点C的对应点C，连接AB、BC、CA，就得到平移后的三角形ABC【点评】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离连接AA，这个问题就解决了，然后分别把B、C按AA的方向平移AA的长度，便可得到其对应点B、C，这就是确定了关键点平移后的位置，依次连接AB，BC，CA便得到平移后的三角形ABC例5如图所示，将ABC沿直线AB向右平移后到达BDE的位置，若CAB50，ABC100，则CBE的度数为_【答案】30【解析】根据平移的特征可知：EB
9、DCAB50而ABC100 所以CBE180-EBD-ABC180-50-10030【点评】图形在平移的过程有“一变两不变”、“一变”是位置的变化，“两不变”是形状和大小不变本例中由ABC经过平移得到BED则有ACBE，ABBD，BCDE，AEBD，CE，ABCBDE举一反三：【变式】如图，ABC沿着由点B到点E的方向，平移到DEF，已知BC=5EC=3，那么平移的距离为（）A2B3 C5 D7【答案】A根据平移的性质，易得平移的距离=BE=53=2.故选A类型五、平行的性质与判定综合应用例6、如图所示，ABEF，那么BAC+ACE+CEF( ) A180 B270 C360 D540【答案】
10、C 【解析】过点C作CDAB， CDAB， BAC+ACD=180(两直线平行，同旁内角互补)又 EFAB EFCD DCE+CEF=180(两直线平行，同旁内角互补)又ACEACD+DCEBAC+ACE+CEFBAC+ACD+DCE+CEF=180+180=360【点评】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到BAC +ACE+ CEF360举一反三：【变式】如图所示，如果BAC+ACE+CEF360，则AB与EF的位置关系 【答案】平行【巩固练习】一、选择题1下列说法：两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；垂直于同一
11、条直线的两条直线平行，其中是平行线的性质的是 ( ) A B和 C D和2如图所示，ABCD，若2是1的2倍，则2等于 ( ) A60 B90 C120 D1503下列图形中，由ABCD，能得到12的是( )4如图，在ABC中，ACB=90，ACD=40，CDAB，则B的度数为（）A40B50C60D705.如图所示，已知AD与BC相交于点O，CDOEAB如果B40，D30，则AOC的大小为( ) A60 B70 C80 D1206.如图所示，直线l1/l2，140，275，则3等于( ) A55 B30 C65 D707.命题“等角的余角相等”中的余角是 ( ) A结论的一部分 B题设的一部
12、分 C既不属于结论也不属于题设 D同属于题设和结论部分8.如图所示的图形中的小三角形可以由ABC平移得到的有 ( ) A3个 B4个 C5个 D6个二、填空题9.如图，ABCD，BCADACBC于点C，CEAB于点E，那么AB、CD间的距离是_的长，BC、AD间的距离是_的长10. 如图所示，ABC经过平移得到ABC，图中_与_大小形状不变，线段AB与AB的位置关系是_，线段CC与BB的位置关系是_11. 如图，将ABC平移到ABC的位置（点B在AC边上），若B=55，C=100，则ABA的度数为 12如图，在四边形ABCD中，若A+B180，则C+D_13将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一
13、张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则1+2_14如图所示，ABCD，且BAP60-a，APC45+a，PCD30-a，则a_三.解答题15. 如图，直线ABCD，BC平分ABD，1=65，求2的度数16. 如图，abc，160，236，AP平分BAC，求PAQ的度数17给出下列语句，先判断是否为命题，如果是命题请指明其题设和结论 (1)同旁内角互补，两直线平行； (2)直角都相等； (3)画直线AB； (4)凡内错角都相等18. 如图，将四边形ABCD平移到四边形EFGH的位置，根据平移后对应点所连的线段平行且相等，写出图中平行的线段和相等的线段【答案与解析】一.选择题1.
14、 【答案】A； 【解析】两直线平行角的关系.2. 【答案】C； 【解析】2+1180，又221，所以2120.3. 【答案】； 【解析】2与1的对顶角是同位角的关系.4. 【答案】B 【解析】由CDAB，ACD=40，得到A=ACD=40，在ABC中，ACB=90，所以B=90A=50.5. 【答案】B 【解析】注意到CDOEAB，由“两直线平行，同位角相等”可知AOED30，EOCB40故AOCEOC+AOE40+30706. 【答案】C； 【解析】3180407565.7.【答案】B；8.【答案】C 【解析】图中小三角形BDE，CEF，DGH，EHI，FIJ都可以由ABC平移得到二、填空题
15、9.【答案】线段CE，线段AC；10.【答案】ABC， ABC，平行，平行；【解析】平移的性质11.【答案】25.【解析】由B=55，C=100，推出A=180BC=25，由平移得到ABAB，由平行性质可得ABA=A=25.12【答案】180； 【解析】由已知可得：ADBC，由平行的性质可得：D+C180.13.【答案】90；14.【答案】15； 【解析】由图可知：APCBAP+PCD，即有45+a60-a+30-a，解得：a15.三、解答题15.【解析】解：ABCD，ABC=1=65，ABD+BDC=180，BC平分ABD，ABD=2ABC=130，BDC=180ABD=50，2=BDC=5016.【解析】解：abc，BAQ160，CAQ236，BAC60+3696， 又AP平分BAC，BAP9648， PAQBAQ-BAP60-481217.【解析】解： (3)不是命题，(1)、(2)、(4)是命题，题设和结论见下表18.【解析】解：平行的线段：AECGDH，AEBFDH，相等的线段：AEBFCGDH