1、第八章 二元一次方程（组）8.2 二元一次方程（组）的解法代入法（能力提升）【要点梳理】知识点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个
2、未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的(2)代入消元法的技巧是：当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组例1用代入法解方程组： 【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现中x的系数较小，所以先把方程中x用y表示出来，代入，这样会使计算比较简便【答案与解析】解：由得 将代入 ，解得将代入，得x3所以原方程组的解为【
3、总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”举一反三：【变式】m 取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解. 【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数； （2）m=-3，-2，0，.例2.对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：解：把代入得，x+21=3，解得x=1把x=1代入得，y=0所以方程组的解为 请用同样的方
4、法解方程组：【思路点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可【答案与解析】解：由得，2xy=2，把代入得，1+2y=9，解得：y=4，把y=4代入得，x=3，则方程组的解为【总结升华】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算举一反三：【变式1】解方程组【答案】解： 将代入：， 得 y=4，将y=4代入：2x12=2 得 x=7，原方程组的解是.（2）解：由，设x=4，y=3 代入：443=5 412=5 8=5 ，原方程组的解为.类型二、方程组解的应用例3.如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（）A1B2C3D4【思路点拨】求出方程组的解得到x与y的
5、值，代入已知方程即可求出m的值【答案】B【解析】解：，由得y=3-x 将代入得：6x=12，解得：x=2，将x=2代入得：10y=9，解得：y=1，将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，解得：m=2【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值例4.已知和方程组的解相同，求的值【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y-6和3x-5y16的解由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x、y的值再将x、y的值代入ax-by-4，bx+ay-8中建立关于a、b的方程组即可求出a、b的值【答案与解析】解：依题意联立方程组+得5
6、x10，解得x2把x2代入得：22+5y-6，解得y-2，所以，又联立方程组，则有，解得 所以(2a+b)2011-1【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.举一反三：【变式】小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值【答案】解：把代入cx3y=2，得c+3=2，解得：c=5，把与分别代入ax+by=2，得，解得：，则a+b+c=2+5=35=2【巩固练习】一、选择题1解方程组的最好方法是（ ）.A由得再代入 B由得再代入C由得再代入 D
7、由得再代入2. 若二元一次方程式组的解为x=a，y=b，则a+b等于（）A B C D3关于x，y的方程，k比b大1，且当时，则k，b的值分别是（ ）. A， B2，1 C-2，1 D-1，04已知和都是方程yax+b的解，则（ ）.A B C D5如果二元一次方程组的解是二元一次方程3x-5y-300的一个解，那么a的值是（ ）. A3 B2 C7 D66一艘缉毒艇去距90海里的地方执行任务，去时顺水用了3小时，任务完成后按原路返回，逆水用了3.6小时，求缉毒艇在静水中的速度及水流速度设在静水中的速度为x海里/时，水流速度为y海里/时，则下列方程组中正确的是（ ）.A BC D二、填空题7已
8、知，用含的式子表示，其结果是_8若方程组的解为，则点P（a，b）在第象限9方程组的解是 10若与是同类项，则x _，y _11已知方程组的解也是方程 的解，则a _，b _ 12.关于的二元一次方程组中，与方程组的解中的相等，则的值为 .三、解答题13用代入法解方程组： （1） （2） 14研究下列方程组的解的个数：（1）； （2）； （3）. 你发现了什么规律？15若方程组的解是，求（a+b）2（ab）（a+b）16.甲、乙两位同学一起解方程组，甲正确地解得，乙仅因抄错了题中的c，解得，求原方程组中a、b、c的值【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C； 2.【答案】A【解析】把x=a，y=
9、b代入方程组得：，将b=a代入5a-b=5,解得：，a+b=.3. 【答案】A； 【解析】将时，代入得，再由k比b大1得 ，联立解得，.4. 【答案】B； 【解析】将和分别代入方程yax+b得二元一次方程组：，解得.5. 【答案】B； 【解析】由方程组可得，代入方程，即可求得.6. 【答案】D.二、填空题7. 【答案】；8.【答案】四.【解析】将x=2，y=1代入方程组得：，解得：a=2，b=3，则P（2，3）在第四象限9.【答案】； 【解析】解：解方程组，由得：x=22y ，将代入，得：2（22y）+y=4，解得：y=0，将y=0代入，得：x=2，故方程组的解为，故答案为：10【答案】2，
10、-1； 【解析】由同类项的定义得方程组，解之便得答案.11.【答案】3， 1；【解析】由题意得：，解得，代入 ，得关于a、b的方程组，解得12. 【答案】；【解析】解：解关于的方程组得，当时，；当时，.三、解答题13.【解析】解：（1）将代入得，得，将代入得，所以原方程组的解是 . （2）把3x+2y看作整体，直接将代入得，解得，将代入得，所以原方程组的解是14.【解析】解：（1）无解； （2）唯一一组解； （3）无数组解. 规律：当两个一次方程对应项系数不成比例时，方程组有唯一一组解，如（2）； 当两个一次方程对应项系数成比例时，方程组有无数组解，如（3）； 当两个一次方程对应项系数成比例，但比值不等于两个常数项对应的比时，方程组无解，如（1）.15.【答案】解：将代入得，解得：（a+b）2（a+b）（ab）=2b（a+b），当a=，b=时，原式=2b（a+b）=2=616.【解析】解：把代入到原方程组中，得可求得c=5，乙仅因抄错了c而求得，但它仍是方程ax+by=2的解，所以把代入到ax+by=2中得2a6b=2，即a3b=1把a3b=1与ab=2组成一个二元一次方程组，解得故a=，b=，c=5