1、第五章 相交线与平行线5.4 平行线的性质及平移（能力提升）【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行” (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质 要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段
2、的长度就是两条平行线的距离(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等要点三、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）命题的表达形式：“如果，那么.”，也可写成：“若，则.”（3）真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续
3、推理的依据.3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.要点诠释：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可要点四、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段
4、、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.要点诠释：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”定、找、移、连 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
5、 (4)连：按原图形顺次连接对应点【典型例题】类型一、平行线的性质例1、如图，ABCD，AE平分CAB交CD于点E，若C=50，则AED=（）A65B115C125D130【答案】B【解析】解：ABCD，C+CAB=180，C=50，CAB=18050=130，AE平分CAB，EAB=65，ABCD，AED=180EAB=18065=115【总结升华】题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质是解题的关键举一反三：【变式】如图所示，已知abc，1105，2140，则3的度数是( ) A75 B65 C55 D50 【答案】B 类型二、两平行线间的距离例2、下面两条平行线
6、之间的三个图形，图 的面积最大，图 的面积最小【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小. 【答案】图3，图2【解析】解：因为它们的高相等，三角形的底是8，82=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）2=4.5；54.54；所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底
7、之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.举一反三：【变式】下图是一个方形螺线已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是 厘米.【答案】35类型三、命题例3.判断下列语句是否是命题，如果是，请写出它的题设和结论(1)同位角相等；(2)对顶角相等；（3）画一条5厘米的线段.【答案与解析】解：（1）是命题，这个命题的题设是：如果两个角是同位角；结论是：这两个角相等，这个命题是一个错误的命题，即假命题（2）是命题，这个命题的题设是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等，这个命题是一个正确的命题，即真命题（3）不是命题，它不是判断一件事情的语句【总结升华】命题必须对某件事情作出“是什么”或“不是
8、什么”的判断，如疑问句、反问句等不是命题，值得注意的是错误的命题也是命题判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可举一反三：【变式】下列命题是假命题的是（）A锐角小于90 B平角等于两直角 C若ab，则a2b2 D若a2b2，则ab【答案】C类型四、平移例4.如图所示，、两图中，哪个图形中的一个三角形可以经过另一个三角形平移得到?【答案与解析】 解：图DE和AC平行，但不相等，DE和BC相等，但不平行，不符合平移的特征，无论怎样平移其中一个三角形也得不到另一个三角形图符合平移的特征，三角形PQR沿射线PM方向移动PM长即可得到三角形MNO所以，图中一个
9、三角形可以经过另一个三角形平移得到【总结升华】平移变换的实质是图形沿直线运动，它的形状、大小都不发生变化，否则就不是平移变换举一反三：【变式】如图，将ABC沿BC方向平移2cm得到DEF，若ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为 【答案】20cm解：ABC沿BC方向平移2cm得到DEF，CF=AD=2cm，AC=DF，ABC的周长为16cm，AB+BC+AC=16cm，四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+CF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm 例5、如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，
10、求种植花草部分的面积【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解【答案与解析】解：如图所示把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，显然，这个长方形的长是50-248(m)，宽是22-220(m)，于是种植花草部分的面积为4820960(m2)【总结升华】若分步计算则较繁琐但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解举一反三：【变式】如图，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分
11、作为耕地根据图中数据，可得耕地的面积为 ( ) A600m2 B551m2 C550m2 D500m2 【答案】B类型五、平行的性质与判定综合应用例6、如图所示，ABC的边BC与DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：BE；ABDE；BCEF请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填入 “试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来已知：如图所示，ABC的边BC与DEF的边DE交于点K，_，_，试说明_【答案与解析】 解：三个论断分别可以组成；三种不同情形的命题，选择其中任何一个即可 以为例，说明如下已知：如图所示，ABC的边BC与DEF的边DE交于点K
12、，BE，ABDE，试说明BCEF 理由叙述：因为ABDE，所以BCKD 又因为BE，所以ECKD，所以BCEF【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结果，再判断其是否正确举一反三：【变式】已知，如图，1=2，3=65，则4 .【答案】115例7、如图，ABCD，点M，N分别为AB，CD上的点.（1）若点P1在两平行线内部，BMP145，DNP130，则MP1N ；（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想AMP1+P1 P2N与MP1 P2+P2ND的关系，并证明你的结论；（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，
13、P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的结论.【答案与解析】解：（1）75；（2）结论：AMP1+P1 P2NMP1 P2+P2ND证明：如图，分别过P1，P2作P1Q1AB，P2Q2AB.又 ABCD， AMP11，23，4P2ND. AMP1+P1 P2NAMP1+3+41+2+P2NDMP1 P2+P2ND.（3）BMP1+P1 P2P3+P3 NDMP1 P2+P2 P3N.【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决.举一反三：【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角A是120，第二次拐的角B是150，第三次拐的角是C，这时
14、的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则C是( ) A120 B130 C140 D150【答案】D；提示：如图，过点B作BEAM【提升练习】一、选择题1. 若1和2是同旁内角，若145，则2的度数是 ( ) A45 B135 C45或135 D不能确定2. 如图，在平行线之间放置一块直角三角板，三角板的顶点分别在直线上，则1+2的值为（）A90B85C80D603如图所示，已知直线ABCD，BE平分ABC，交CD于D，CDE150，则C的度数为( ) A150 B130 C120 D1004如图，OPQRST，则下列等式中正确的是( ) A1+2-390 B2+3-1180 C1-2+318
15、0 D1+2+31805. 如图，ABCDEF，BCAD，AC平分BAD，且交EF于点O，则与AOE相等的角有( ) A5个 B4个 C3个 D2个6如图，ABEFCD，ABC46，CEF154，则BCE等于（ ）A23B16C20D267. 如图所示，在一个由44个小正方形组成的正方形网格中，把线段EF向右平移3个单位，向下平移1个单位得到线段GH，则阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( ) A3:4 B5:8 C9:16 D1:2 8. 有下列语句中，真命题的个数是( ) 画直线AB垂直于CD；若|x|y|，则x2y2 两直线平行，同旁内角相等；直线a、b相交于点O；等角的余角相等 A
16、2个 B3个 C4个 D5个二、填空题9如图所示，直线直线与直线，分别相交于点、点，垂足为点，若，则 _，直线之间的距离_10.如图，ABCD，EF与AB、CD分别相较于点E、F，EPEF，与EFD的平分线FP相较于点P，且BEP=50，则EPF_度 11. 如图，直线l1l2，1=55，2=65，则3=12. 如图，ABCD，CB平分ABD若C=40，则D的度数为_.13.如图所示，在长方形ABCD中，AB10cm，BC6cm，将长方形ABCD沿着AB方向平移_cm，才能使平移后的长方形HEFG与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为24cm214.如图，已知EDAC，DFAB，有以下命题：A
17、EDF；1+2180；A+B+C180；13其中，正确的是_(填序号)三、解答题15如图，ABCD，EF分别交AB、CD与M、N，EMB=50，MG平分BMF，MG交CD于G，求MGC的度数16已知 如图(1)，CEAB，所以1A，2B， ACD1+2A+B这是一个有用的事实，请用这个结论，在图(2)的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求A+B+C+D的度数17对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：ab；bc；ab；ac；ac以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成真命题，试写出所有的真命题【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D； 【解析】本题没有给出两条直线平行的条件
18、，因此同旁内角的数量关系是不确定的.2. 【答案】A 【解析】过点C作CD，则1=ACD因 ，得CD，2=DCB.又ACDDCB=90，则1+2=90.3. 【答案】C； 【解析】解：如图， 330，1230，C1803030120.4. 【答案】B； 【解析】反向延长射线ST交PR于点M,则在MSR中，1802+1803+1180，即有2+3-1180.5. 【答案】A 【解析】与AOE相等的角有：DCA，ACB，COF，CAB，DAC 6. 【答案】C； 【解析】解：ABEFCD，ABC46，CEF154，BCDABC46，FECECD180，ECD180FEC26，BCEBCDECD46
19、26207. 【答案】B； 【解析】，所以8. 【答案】A； 【解析】为真命题二.填空题9. 【答案】32，线段AM的长；【解析】因为，所以ABM158又因为AM，所以2ABM90，所以290583210.【答案】70；【解析】ABCD，得EFD=180FEB；由EPEF， FP是EFD的角平分线，EFD=1805090=40，EFP=20，EPF=70.11.【答案】60； 【解析】解：如图所示：l1l2，2=65，6=65，1=55，1=4=55，在ABC中，6=65，4=55，3=1806555=60 12.【答案】100【解析】ABCD，C=40，ABC=40，CB平分ABD，ABD=
20、80，D=10013.【答案】6；【解析】重叠部分长方形的一边长为6cm，另一边长为：2464 cm，所以平移的距离为：AE1046 cm.14.【答案】； 【解析】由已知可证出：A13EDF，又EDF与1和3互补.三.解答题15.【解析】解：EMB=50，BMF=18050=130MG平分BMF，BMG=BMF=65ABCD，MGC=BMG=6516.【解析】解：如图，过点D作DEAB交BC于点E A+2180，B+3180(两直线平行，同旁内角互补) 又 31+C， A+B+C+1+2360， 即A+B+C+ADC36017.【解析】解：(1)如果ab，bc，那么ac；(2)如果ab，ac，那么bc；(3)如果bc，ac，那么ab；(4)如果bc，ab，那么ac；(5)如果bc，ac，那么ab；(6)如果ab，ac，那么bc