1、专题05模型方法课之三垂直模型压轴题专练（解析版）学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题1如图，在等腰直角中，的直角顶点D与的中点重合，两边分别交，于点E，F，有以下结论：；上述结论错误的是（ ）ABCD【答案】C【分析】证明CDEBDF，即可得出CE=BF，故正确；根据CDEBDF，得出SDCE=SBDF，即可得出答案，故正确；由可知DE=DF，推出DEF是等腰直角三角形，得出SDEF=DEDF，根据当DE最短时，SDEF最小，当DE最长时，SDEF最大，然后分类讨论即可2SDEF4，故错误；由得BF=CE，根据在RtECF中，EC2+CF2=EF2和在RtDEF中，DE2+DF2=E
2、F2，根据DE=DF，即可得出BF2+CF2=2DF2，故正确，即可得出答案【详解】AC=BC，D是AB的中点，CDAB，CDB=90，EDF=90，CDE+CDF=BDF+CDF，CDE=BDF，D是RtABC斜边AB上的中点，AC=BC，CD=BD=AD=，ACD=B=45，在CDE和BDF中CDEBDF（AAS），DE=DF，CE=BF，故正确；CDEBCF，SDCE=SBDF，S四边形CDFE= SCDF+SBDF=SBDC=SABC，故正确；由可知DE=DF，EDF=90，DEF是等腰直角三角形，SDEF=DEDF，则当DE最短时，SDEF最小，当DE最长时，SDEF最大，当DEAC
3、时，DE最小，此时DEBC，DE是AB中点，DE是ABC的中位线，DE=BC=2，SDEF的最小值为22=2，当E与A重合，F与C重合时，DE最大，此时DE=AD=AB，AB=，则DE=，SDEF的最小值为=4，2SDEF4，故错误；由得BF=CE，在RtECF中，EC2+CF2=EF2，又在RtDEF中，DE2+DF2=EF2，DE=DF，EC2+CF2=2DF2，BF2+CF2=2DF2，故正确；故选：C【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，题目综合性很强，掌握这些知识点是解题关键2在正方形中，直线经过对角线，的交点，过，两点分别
4、作直线的垂线，交直线于点，若，则长为（ ）A2B3C2或6D3或7【答案】D【分析】依据已知条件求出，根据证，推出，即可得到的长【详解】解：如图，当直线与线段不相交时，又正方形中，；如图，当直线与线段相交时，又正方形中，；故选D【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质的运用，判定两个三角形全等的一般方法有：、本题要注意思考全面，直线与线段有两种情况（相交、不相交），不能遗漏3如图，正方形中，分别为，上的点，交于点，交于点，为的中点，交于点，连接下列结论：；，正确的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】D【分析】可证得，所以，由此得证由题意正方形中，在上面所证，得，结合正方形性质易证
5、（AAS）得到即得证过点作垂直于，交于点，可证得 得是等腰直角三角形，由，由得，所以【详解】解：，又，即，故结论正确；四边形是正方形，由题意正方形中，在上面所证，（AAS），即结论正确；过点作垂直于，交与点，在与中，故（ASA），,，故结论正确；，故结论正确；综上所述，正确故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的证明以及等腰直角三角形性质，充分利用线段和角证明三角形全等，转化线段和角的关系是解题关键，比较综合，有一定难度 二、填空题4如图，已知ABC中，ABC=45，AD与BE为ABC的高，交点为F，CD=4，则线DF=_【答案】4【分析】求出AD=BD，求出ADC=ADB=90，
6、CAD=FBD，根据ASA证BDFADC，根据全等三角形的性质推出DF=DC即可【详解】解：ADBC，BEAC，ADC=ADB=BEA=90，CAD+AFE=90，BFD+DBF=90，AFE=DFB，CAD=FBD，ADB=90，ABC=45，BAD=ABD=45，AD=BD，在BDF和ADC中， BDFADC（ASA），DF=DC=4，故答案为：4【点睛】本题考查了垂直定义，余角的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键5如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则
7、的最小值是_【答案】【分析】如图所示，根据题意构造出AED和GFE全等，分析出点F的轨迹，然后根据D、F、C三点共线时求出最小值即可【详解】解：连接BF，过点F作FGAB交AB延长线于点G，将ED绕点E顺时针旋转90到EF，EFDE，且EFDE，EDAFEG，在AED和GFE中，AEDGFE（AAS），FGAE，又，又，是等腰直角三角形，BF是CBC的角平分线，即F点在CBC的角平分线上运动，过点C作BF的对称点，则 C点在AB的延长线上，是等腰直角三角形，当D、F、C三点共线时，DF+CF最小，在中，AD4，DF+CF的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求
8、最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键6如图，正方形中，为边上一点，且，将绕点逆时针旋转得到，连接、，则线段的长度是_【答案】【分析】作于点H，如图，利用正方形的性质得， ，再根据旋转的性质得， ，接着证明 ，得到 ，所以 ，则 ，然后利用勾股定理计算FC的长【详解】如图，作于点H，四边形ABCD为正方形，AE绕点E顺时针旋转得到EF， ，在和中，即，在中，故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了正方形的性质7如图，在四边形中，是上一点，_【答案】【分析】通过等腰直角三角形
9、构建一线三等角模型求解即可【详解】 解：如图所示，分别过A、D作于E，于F, , 在与中 ， 在中， 同理可得： 故答案为： 【点睛】本题考察特殊的直角三角形，灵活运用一线三等角模型及特殊直角三角形三边关系是解题的关键 三、解答题8如图1，在ABC中，ACB90，ACBC，过C在ABC外作直线MN，AMMN于点M，BNMN于点N（1）求证：MNAMBN；（2）如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AMMN于点M，BNMN于点N（AMBN），（1）中的结论是否仍然成立？说明理由【答案】(1)见解析；(2)不成立，理由见解析【分析】(1)根据垂直的定义得到AMC=CNB=90，则MAC+ACM
10、=90，又ACB=90，则ACM+NCB=90，于是根据等量代换得到MAC=NCB，根据“AAS”可证明ACMCBN，根据全等的性质得到AM=CN，CM=BN，则MN=MC+CN=AM+BN(2)根据已知条件能证得ACMCBN，利用全等的性质得到AM=CN，CM=BN，而MN=CN-CM=AM-BN【详解】解：(1)AMMN于点M，BNMN于点N，AMC=CNB=90，MAC+ACM=90，ACB=90，ACM+NCB=90，MAC=NCB，在ACM和CBN中，ACMCBN，AM=CN，CM=BN，MN=MC+CN=AM+BN(2)题(1)中的结论不成立，同题(1)证明可知：ACMCBN，AM
11、=CN，CM=BN，MN=CN-CM=AM-BN，【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质与判断，正确的掌握全等三角形的性质与判断是解题的关键9如图，于点E，于点F，其中（1）求证：； （2）若，求BE的长；（3）连接AB，取AB的中点为Q，连接QE，QF，判断的形状，并说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）13；（3）是等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差可得，由此即可得；（3）如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再
12、根据三角形全等的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据等腰直角三角形的判定即可得【详解】（1），在和中，；（2）由（1）已证：，；（3）是等腰直角三角形，理由如下：如图，连接CQ，是等腰直角三角形，点Q是斜边AB的中点，由（1）已证：，即，在和中，是等腰三角形，又，即，是等腰直角三角形【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键10如图，三角形中，于，若，（1）求证：；（2）延长交于点，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）求出AD
13、C=BDF=90，根据SAS证ADCBDF，根据全等三角形的性质推出FBD=CAD即可；（2）根据三角形的内角和定理求出FBD+BFD=90，推出AFE+EAF=90，在AFE中，根据三角形的内角和定理求出AEF即可【详解】证明：（1）ADBC，ADC=BDF=90，在ADC和BDF中，ADCBDF（SAS），FBD=CAD；（2）BDF=90，FBD+BFD=90，AFE=BFD，由（1）知：FBD=CAD，CAD+AFE=90，AEF=180-（CAD+AFE）=90，BEAC【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，关键是推出ADCBDF11问
14、题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，ACB90，ACBC，BEMN，ADMN，垂足分别为E、D图中哪条线段与AD相等？并说明理由问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由【答案】问题1，ADEC，证明见解析；问题2：DE+BEAD；问题3：DEAD+BE，证明见解析【分析】（1）由已知推出ADC=BEC=90，因为ACD+BCE=90，DAC+ACD=90，推出DAC=BCE，根据AAS即可得到ADCCEB，即可
15、得出AD=EC；（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（3）与（1）证法类似可证出ACD=EBC，能推出ADCCEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之间的等量关系【详解】解：（1）ADEC；证明：ADMN，BEMN，ADCBEC90，ACB90，ACD+BCE90，DAC+ACD90，DACBCE，ADCBEC，ACBC，ADCCEB，ADEC；（2）DE+BEAD；由（1）已证ADCCEB，ADEC，CD=EB，CE=ADCE=CD+DE=BE+DE=AD即DE+BEAD；（3）DEAD+BE证明：BEBC，ADCE，ADC90，BEC90，EBC+E
16、CB90，ACB90，ECB+ACD90，ACDCBE，ADCBEC，ACBC，ADCCEB，ADCE，CDBE，CD+CEDC，DEAD+BE【点睛】此题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强12如图，已知：中，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明如图；（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：；【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据已知条件容易证明BEAAFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道
17、BEAAFC仍然成立，则BE=AF，AE=CF，就可以求出EF=BE-CF【详解】解：（1），在和中，（2），在和中，【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题13（1）问题：如图，在四边形中，是上一点，求证：；（2）问题：如图，在三角形中，是上一点，且求的值【答案】（1）见解析；（2）1【分析】（1）先证明，从而得，进而即可得到结论；（2）过点做于点，易证，是等腰直角三角形，进而即可求解【详解】（1），在与中，；（2）过点做于点，在中， ，在与中，在中，【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三等角
18、”模型，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键14在ABC中，AC=BC，直线MN经过点C，ADMN于点D，BEMN于点E，且AD=CE；（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：ACBC（2）判断AD、BE、DE这三条线段之间的数量关系，并说明理由（3）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不必证明【答案】（1）见解析；（2）DE=AD+BE；见解析；（3）AD=DE+BE【分析】（1）利用垂直的定义得ADC=CEB=90，再利用HL证明RtADCRtCEB，得到DAC=BCE，再根据余角的定义得到ACD
19、+BCE=ACB=90，可得结论；（2）根据RtADCRtCEB得到DC=BE，从而利用等量代换得到DE=AD+BE；（3）同理可证：RtADCRtCEB，利用等量代换可得AD=DE+BE【详解】解：（1）证明：ADMN，BEMN，ADC=CEB=90，在RtADC和RtCEB中，RtADCRtCEB（HL），DAC=BCE，ADC=90，即DAC+ACD=90，ACD+BCE=90，即ACB=90，ACBC；（2）DE=AD+BE，理由如下：RtADCRtCEB，DC=BE，AD=CE，DE=DC+CE=AD+BE；（3）AD=DE+BE，同理可证：RtADCRtCEB（HL），CD=BE，
20、AD=CE=DE+CD=DE+BE，即AD=DE+BE【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”；全等三角形的对应边、对应角相等15（1）（问题原型）如图，在等腰直角三角形中，过作，且，连结，过点作的边上的高，易证，从而得到的面积为_（2）（初步探究）如图，在中，过作，且，连结用含的代数式表示的面积并说明理由（3）（简单应用）如图，在等腰中，过作，且，连结，求的面积（用含的代数式表示）【答案】（1）32；（2）；答案见解析；（3）【分析】（1）【问题原型】根据AAS证明出ABCBDE，就有DE=BC=8进而由三角形的
21、面积公式得出结论（2）【初步探究】过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出ABCBDE，就有DE=BC=a进而由三角形的面积公式得出结论（3）【简单应用】过点A作AFBC与F，过点D作DEBC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出，由条件可以得出AFBBED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论【详解】解：（1）【问题原型】如图，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点EBED=ACB=90，线段AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD，AB=BD，ABD=90ABC+DBE=90A+ABC=90A=DBE在ABC和BDE中，ABCBDE（AAS）BC
22、=DE=8SBCD=32，（2）【初步探究】理由：过做上以垂足为，在ABC和BDE中，=a （3）【简单应用】过做于，过做于AFB=E=90，FAB+ABF=90ABD=90，ABF+DBE=90，FAB=EBD线段BD是由线段AB旋转得到的，AB=BD在AFB和BED中，AFBBED（AAS）， ，【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键16如图，已知和均是直角三角形，于点（1）求证：；（2）若点是的中点，求的长【答案】（1）见解析；（2）cm【分析】（1）根据即可证明结论；（2）结合（
23、1）可得cm，根据点是的中点，可得cm，根据勾股定理即可求出的长【详解】解：（1）证明：，在和中，；（2），cm，点是的中点，cm，cm，在中，根据勾股定理，得cm【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质17（提出问题）如图1，在直角中，BAC=90，点A正好落在直线l上，则1、2的关系为 （探究问题）如图2，在直角中，BAC=90，AB=AC，点A正好落在直线l上，分别作BDl于点D，CEl于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由（解决问题）如图3，在中，CAB、CBA均为锐角，点A、B正好落在直线l上，分别以A、B为
24、直角顶点，向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分别过点E、F作直线l的垂线，垂足为M、N试探究线段EM、AB、FN之间的数量关系，并说明理由；若AC=3，BC=4，五边形EMNFC面积的最大值为 【答案】提出问题：；探究问题：，理由见解析；解决问题：，理由见解析；【分析】提出问题：根据平角的定义、角的和差即可得；探究问题：先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据线段的和差即可得；解决问题：如图（见解析），同探究问题的方法可得，再根据线段的和差即可得；如图（见解析），同探究问题的方法可得，再根据三角形全等的性
25、质可得，然后利用三角形的面积公式将五边形EMNFC面积表示出来，由此即可得出答案【详解】提出问题：，故答案为：；探究问题：，理由如下：，由提出问题可知，在和中，即；解决问题：，理由如下：同探究问题的方法可证：，即；如图，过点C作于点D，同探究问题的方法可证：，和都是等腰直角三角形，且，五边形EMNFC面积为，则当面积取得最大值时，五边形EMNFC面积最大，设的BC边上的高为，则，在中，、均为锐角，当时，取得最大值，最大值为，面积的最大值为，则五边形EMNFC面积的最大值为，故答案为：【点睛】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键18综合与实践积累经验我们在第十二章全等三角形中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题例如：我们在解决：“如图1，在中，线段经过点，且于点，于点.求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，（1）请写出证明过