1、第五章 相交线与平行线5.1 相交线、垂线（基础巩固）【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角(4)邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.邻补角与对顶角对比： 角的名称特 征性 质相 同 点不 同 点对顶角两条直线相交形成的角； 有一个公共顶
2、点；没有公共边. 对顶角相等.都是两条直线相交而成的角；都有一个公共顶点；都是成对出现的. 有无公共边；两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 邻补角两条直线相交而成；有一个公共顶点；有一条公共边. 邻补角互补. 3.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角（2）性质：对顶角相等要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角(2)对顶角满足的条件：相等的两个角；有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.知识点二、垂线1垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一
3、条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足要点诠释：(1)记法：直线a与b垂直，记作：； 直线AB和CD垂直于点O，记作：ABCD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CDAB2垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)要点诠释： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上(2)过直线外一点作已知直线的
4、垂线，这点与垂足间的线段为垂线段3垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短简单说成：垂线段最短要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题4点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离要点诠释：（1）点到直线的
5、距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度【典型例题】类型一、邻补角与对顶角例1如图所示，M、N是直线AB上两点，12，问1与2，3与4是对顶角吗? 1与5，3与6是邻补角吗？【答案与解析】解：1和2，3和4都不是对顶角1与5，3与6也都不是邻补角【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （ ）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（ ）(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （ ）(4)如
6、果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （ ）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（ ）【答案】(1) （2） （3） （4） （5），反例：AOC为120，射线OB为AOC的角平分线，AOB与AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角. 例2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，165，求2、3、4的度数【答案与解析】解： 1是2的邻补角，165， 218065115又 1和3是对顶角，2与4是对顶角 3165， 42115【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出2后用 “对顶角相等”，求3和4举
7、一反三：【变式】如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分DOB，若BOC=110，则AON的度数为度【答案】145解：BOC=110，BOD=70，ON为BOD平分线，BON=DON=35，BOC=AOD=110，AON=AOD+DON=145.例3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；有公共顶点，角的两边互为反向延长线这6对角为1与2，1与3，1与4，2与3，2与4，
8、3与4，其中13，24，1+2180，3+4180，1+4180，2+3180在位置上1与3，2与4是对顶角，1与2，3与4，l与4，2与3是邻补角【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线例4下列语句中，正确的有 ( ) 一条直线的垂线只有一条；在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直； 两直线相交，则交点叫垂足； 互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角 A0个 B1个 C2个 D3个【答案】C【解析】正确的是：【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线外有一点P，则点P到直线的距离是( ).A点
9、P到直线的垂线的长度.B点P到直线的垂线段.C点P到直线的垂线段的长度.D点P到直线的垂线.【答案】C 例5.如图，已知点O在直线AB上，CODO于点O，若1=145，则3的度数为（）A35B45 C55 D65【答案】C【解析】解：1=145，2=180145=35，CODO，COD=90，3=902=9035=55.【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分BOF, OE CD于点O, AOC=40,则EOF=_.【答案】130例6.如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车
10、最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）AA点 BB点 CC点 DD点【思路点拨】根据垂线段最短可得答案【答案】A【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线上一点A画的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线外一点B画的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】 解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条【巩固练习】一、选择题1下列图形中，1与2不是对顶角的有（）A1个 B2个 C3个 D
11、0个2以下四个叙述中，正确的有( ) 相等的角是对顶角；互补的角是邻补角；两条直线相交，可构成2对对顶角；对顶角、邻补角都有一个共同特点：两个角有公共的顶点A4个 B3个 C2个 D1个3在同一平面内两条直线的位置关系可能是（）A相交或垂直B垂直或平行C平行或相交D平行或相交或重合4如图所示，点A到BD的距离是指( ) A线段AB的长度 B线段AD的长度 C线段AE D线段AE的长度5在平面上，过直线上一点可以画这条直线的垂线的条数为 ( )A1 B2 C3 D46.如图，ABCD于点O，直线EF经过点O，若126，则2的度数是（ ）A26 B64 C54 D以上答案都不对二、填空题7四条直线
12、两两相交，至多会有个交点8如图，直线a，b相交，160，则2_，3_，4_9如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，CDAB，若COE30，则AOE_，AOF_10如图，直线AB与CD的位置关系是_，记作_于点_，此时AOD_9011.如图，AOB90，则AB BO；若OA3 cm，OB2 cm，则A点到OB的距离是_cm，点B到OA的距离是_cm；O点到AB上各点连接的所有线段中_最短12如图：若AOB与BOC是一对邻补角，OD平分AOB，OE在BOC内部，并且BOE=COE，DOE=72则COE的度数是 三、解答题13.如图，OCAB于点O，OD平分BOC，求COD的度数14如图，OAO
13、B，OCOD，OE是OD的反向延长线(1) AOC等于BOD吗？请说明理由；(2)若BOD32，求AOE的度数15如图所示，小明家在A处，他要去在同一条路上的小丽家或小红家或小华家或小刚家问作业，则最少要走多少米可以问到作业? 【答案与解析】一、选择题1【答案】C； 【解析】解：根据对顶角的定义可知：图中只有第二个是对顶角，其它都不是故选C.2【答案】C 【解析】正确3. 【答案】C4. 【答案】D 5. 【答案】A 6. 【答案】B 【解析】BOE90164，又AOFBOE64二、填空题7.【答案】6【解析】如图，可看出四条直线两两相交，至多有6个交点8. 【答案】120， 60， 1209
14、. 【答案】60， 120 【解析】AOE90COE60，AOFAOD+DOF90EOC90+30=12010.【答案】垂直，ABCD， O，BOD， BOC，AOC【解析】垂直的定义11.【答案】， 3， 2， 垂线段【解析】点到直线的距离的定义12.【答案】72；【解析】解：设EOB=x，则EOC=2x，则BOD=（1803x），则BOE+BOD=DOE，即x+（1803x）=72，解得x=36，故EOC=2x=72故答案为：72三、解答题13.【解析】解：OCAB于点O，BOC=90，OD平分BOC，COD=4514.【解析】解： (1)AOCBOD理由： OAOB，OCOD(已知) AOB90，COD90即AOC+BOC90，BOD+BOC90， AOCBOD(同角的余角相等) (2) AOB90，BOD32， AOE180AOBBOD18090325815.【解析】解：小明到小红家问作业最近，所以小明至少要走15米