1、专题03运算方法之因式分解综合压轴题专练（原卷版）学校:_姓名：_班级：_考号：_一、填空题1ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c119，则ABC的周长为_2多项式的最小值为_3若实数a，b满足，则代数式的值为_4如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商4411=4，所以根据以上定义，回答下列问题：（1
2、）计算：_（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)，且，则“跟斗数”b=_（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n=100，则_5如图是 A 型卡片（边长a的正方形）、B 型卡片（长为 a、宽为 b的长方形）、C 型卡片（边长为 b的正方形）现有 4张 A卡片，11张 B卡片，7张 C卡片，选用它们无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是_（只填序号）可拼成边长为的正方形；可拼成边长为的正方形；可拼成长、宽分别为、的长方形；用所有卡片可拼成一个大长方形二、解答题6代数中的很多等式可以用几何图形直观表示，这种思想叫“数形结合”思想如：现有正方形卡片A类、B类和长方形
3、C类卡片若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，可以先计算，所以需要A、B、C类卡片2张、2张、5张，如图2所示（1）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要A、B、C类卡片各多少张？并画出示意图（2）由图3可得等式：_；（3）利用（2）中所得结论，解决下面问题，已知，的值；（4）小明利用2张A类卡片、3张B类卡片和5张长方形C类卡片去拼成一个更大的长方形，那么该长方形的较长的一边长为_（用含a、b的代数式表示）7若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b定义：若数Ka2b2ab，则称数K为“尼尔数”
4、例如：若P所表示的数为3，则a2，b4，那么K22422412；若P所表示的数为12，则a11，b13，那么K1321121311147，所以12，147是“尼尔数”（1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；（2）已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”8若一个四位自然数满足个位数字与百位数字相同，十位数字与千位数字相同，我们称这个四位自然数为“双子数”将“双子数”的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双子数，记为“双子数”的“双11数”例，则（1）计算3636的“双11数”_（2）已知两个“双子数”、，其中，（
5、其中，且、都为整数），若的“双11数”能被17整除，且、的“双11数”满足，令，求的值9对于一个四位数n，将这个四位数n千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数，将交换后的数与原数求和后再除以101，所得的商称为原数的“一心一意数”，记作F（n），如n5678，对调数字后得7856，所以F（n）134（1）直接写出F（2021） ；（2）求证：对于任意一个四位数n，F（n）均为整数；（3）若s380010ab，t1000b100a13（1a5，5b9，a、b均为整数），当3F（t）F（s）的值能被8整除时，求满足条件的s的所有值10已知若干张正方形
6、和长方形硬纸片如图1所示（1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式；（2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果；（3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？11材料一：一个整数的各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除；材料二：已知一个各位数字都不为零的四位数，百位和十位上的数字之和是千位和个位上的数字之和的两倍，则称这个四位数为“双倍数”将这个“双倍
7、数”的各位数字颠倒过来就变成新的“双倍数”，记例如，所以2461不是“双倍数”：，所以2685是“双倍数”， ，（1）判断2997，6483是否为“双倍数”，并说明理由；（2）若，均为“双倍数”，的千位数字是5，个位数字大于2，的百位数字是7，且能被9整除，是完全平方数，求的最大值12对于一个三位正整数（各位数字均不为0），若满足十位数字是个位数字与百位数字之和，则称该三位正整数为“夹心数”将“夹心数”的百位、个位数字交换位置，得到另一个“夹心数”，记，例如：，（1）计算_；_（2）对“夹心数”，令，当时，求的值（3）若“夹心数”满足与均为完全平方数，求的值13对任意一个三位数，如果满足各个数
8、位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“特异数”，将的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数的和与的商记为例如，是“特异数”，不断将的百位数字调到个位可得，（1）求，；（2）已知，（，为整数），若、均为“特异数”，且可被整除，求的最大值14阅读理解：在教材中，我们有学习到，又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即例如，比较整式和的大小关系，因为，所以请类比以上的解题过程，解决下列问题：（初步尝试）比较大小：_；_（知识应用）比较整式和的大小关系，并请说明理由（拓展提升）比较整式和的大小关系，并请说明理由15教科书中这样写道：“
9、我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题例如：分解因式求代数式的最小值，当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：_（2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值（3）若，求出a，b的值16下面是某同学对多项式因式分解的过程解：设，则原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）解
10、答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（ ）A提取公因式 B平方差公式 C两数和的完全平方公式 D两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解17定义：若一个整数能表示成a2b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如：因为133222，所以13是“完美数”；再如：因为a22ab2b2（ab）2b2，所以a22ab2b2也是“完美数”（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；（2）判断53 （请填写“是”或“否”）为“完
11、美数”；（3）已知Mx24xk（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；（4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”18一个三位或者三位以上的整数，从左到右依次分割成三个数，记最左边的数为a，最右边的数为b，中间的数记为m，若满足ma2+b2，我们就称该整数为“空谷”数例如：对于整数28222+228，282是一个“空谷”数，又例如：对于整数121451，122+12145121451也是一个“空谷”数满足m2ab，我们就称该整数为“幽兰”数；例如：对于整数481，2418，481是一个“幽兰”数，又例如：对于整数13417，211734，
12、13417是一个“幽兰”数（1）若一个三位整数十位数字为9，且为“空谷”数，则该三位数为 ；若一个四位整数为“幽兰”数，且中间的数为40，则该四位数为 ；（2）若是一个“空谷”数，是一个“幽兰”数，求a2b2的值（3）若一个整数既是“空谷”数，又是“幽兰”数，我们就称该整数为“空谷幽兰”数请写出所有的四位“空谷幽兰”数19材料一：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时例如：，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，因为，所以9和7为32的最佳平方差分解，材料二：若一个四
13、位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”，例如4334，5665均为“南麓数”根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试说明10不是雪松数；（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t20若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，3674是“交替数”，对于四位数2353，2353不是“交替数”（1）最小的“交替数”是_，最大的“交替数”是_（2）判断2376是否是“交替数”，并说明理由；（3）若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是12，且十位数字与个位数的和能被6整除请求出所有满足条件的“交替数”21很久以前，有一位老人临终前，准备将自己所养的7头牛全部分给两个儿子饲养，大儿先得一半，小儿再得剩余的四分之三，两儿正踌躇不决时，热心的邻居从自家牵了一头牛参与分配，给大儿分了四头牛，小儿分了三头牛，余下的一头牛邻居又牵回家了，皆大欢喜，聪明的邻居合理地解决了这个问题初中数学里也有这种“转化”的思考方法例如：先阅读下列多项式的因式分解：按照这种方法分别把多项式分解因式：（1）；（2）