1、第六章 实数6.1 平方根（能力提升）【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；
2、（3）0的平方根和算术平方根均为0要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念例1、已知2a1的平方根是3，3a+b9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a1与3a
3、+b9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案【答案与解析】解：根据题意，可得2a1=9，3a+b9=8；故a=5，b=2；又23，c=2，a+b+c=5+2+2=9，9的平方根为3【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用 举一反三：【变式】已知21与2是的两个不同的平方根，求的值.【答案】21与2是的平方根，所以21与2互为相反数.解：当21（2）0时，1，所以例2、为何值时，下列各式有意义？(1)； (2)； (3)； (4)【答案与解析】解：(1)因为，所以
4、当取任何值时，都有意义(2)由题意可知：，所以时，有意义(3)由题意可知：解得：所以时有意义(4)由题意可知：，解得且所以当且时，有意义【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义举一反三：【变式】已知，求的算术平方根【答案】解：根据题意，得则，所以2，的算术平方根为类型二、平方根的运算例3、求下列各式的值(1)；(2)【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)；(2)【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开
5、方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解类型三、利用平方根解方程例4、求下列各式中的.（1） （2）；（3）【答案与解析】解：（1） （2） 117 16或18. （3） 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的：（1）若，则_； （2），则_；（3）若则_； （4）若，则_【答案】（1）1.1；（2）13；（3）；（4）2.类型四、平方根的综合应用例5、已知、是实数，且，解关于的方程【答案与解析】解：、
6、是实数，3，把3，代入，得24，6【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出、的值，再解方程此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可举一反三：【变式】若，求的值【答案】解：由，得，即，当1，1时，当1，1时，例6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3 (0) ，则宽为2，依题意得 . . . 0， . 长方形纸片的长为. 5049, . , 即长方形纸片的长大于20. 由正
7、方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20, 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.举一反三：【变式】某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？【答案】解：设篮球场的宽为xm，那么长为m，由题意知，所以x2=225，因为x为正数，所以x=15，又因为=9001
8、000，所以按规定在这块空地上建一个篮球场【提升练习】一.选择题1下列说法中正确的有（ ） 只有正数才有平方根 是4的平方根 的平方根是 的算术平方根是 的平方根是 A1个 B2个 C3 个 D4个2若4，则估计的值所在的范围是（ ）A12 B. 23 C. 34 D. 45 3. 试题下列说法中正确的是（）A.4是8的算术平方根 B.16的平方根是4 C.是6的平方根 D.没有平方根 4. 能使3的平方根有意义的值是（ ）A. 0 B. 3 C. 0 D. 35.若=a，则a的值为（）A1 B1 C0或1 D16. 若，为实数，且|1|0，则的值是（）A.0 B.1 C.1 D.2011二.
9、填空题7. 若，则_.8. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3和5的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为 _.9. 下列各数：81，1.44，的平方根分别是_；算术平方根分别是_.10（1）的平方根是_；（2）的平方根是_，算术平方根是_；（3）的平方根是_，算术平方根是_；（4）的平方根是_，算术平方根是_11已知，求ab= 12. 若，则_.三.解答题13为何值时，下列各式有意义？ （2） （3） （4）14.已知：|x1|+（y2）2+=0，求x+y+z值的平方根15.如图，实数，对应数轴上的点A和B，化简【答案与解析】一选择题1. 【答案】A；【解析】只有是正确的.2. 【答案
10、】B； 【解析】，所以243 . 3. 【答案】C；【解析】A.4是16的算术平方根，故选项A错误；B.16的平方根是4，故选项B错误；C.是6的一个平方根，故选项C正确；D.当0时，也有平方根，故选项D错误4. 【答案】D；【解析】要使3的平方根有意义，30，即35. 【答案】C；【解析】解：=a，a0当a=0时，=a；当0a1时，a；当a=1时，=a；当a时，a；综上可知，若=a，则a的值为0或1故选C6. 【答案】C； 【解析】10，10，解得1；11.二.填空题7. 【答案】1.02； 【解析】被开方数向左移动四位，算术平方根的值向左移动两位.8. 【答案】 ；【解析】这个正方形的边长为.9. 【答案】9；1.2；3；9；1.2；3.10.【答案】（1）5；（2）5；5；(3），|；（4）（2）,| 2|； 【解析】.11.【答案】8；【解析】解：根据题意得，a+3=0，b5=0，解得a=3，b=5，所以，ab=35=8故答案为：812.【答案】； 【解析】，.三.解答题13.【解析】解：（1）20，解得0； （2）0，解得0； （3）解得为一切实数；（4）10，解得1.14.【解析】解：|x1|+（y2）2+=0，解得x=1，y=2，z=3，x+y+z=1+2+3=6，x+y+z的平方根为15.【解析】根据原式()() .