1、第六章 实数6.4 实数章末复习（基础巩固）【要点梳理】要点一：平方根和立方根 类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分： 实数按与0的大小关系分： 实数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数（2）无理数分成三类：开方开不尽的数，如，等；有特殊意义的数，如； 有特定结构的数，如0.1
2、010010001（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即|0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
3、.4.实数的运算：数的相反数是；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、有关方根的问题
4、例1、下列命题：负数没有立方根；一个实数的算术平方根一定是正数；一个正数或负数的立方根与这个数同号；如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（）A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B；【解析】负数有立方根；0的算术平方根是0；立方根是本身的数有0，1.【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键.举一反三：【变式】下列运算正确的是（ ） A B C D【答案】C； 例2、若，则 若，则【答案】1.01；7.16；【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动
5、1位，变成1.01，注意符号；0.3670的小数点向右移动3位变成367，它的立方根的小数点向右移动1位，变成7.16【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一个数的小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位.类型二、与实数有关的问题例3、把下列各数填入相应的集合：1、3.14、（1）有理数集合 ；（2）无理数集合 ；（3）正实数集合 ；（4）负实数集合 【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里.【答案与解析】（1）有理数集合1、3.14、 ；（2）无理数集合 、 ；（3）正实数集合 、 ；（4）负实数集合 1、3.14、 【总结
6、升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式.举一反三：【变式】在实数0、中，无理数的个数有（）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B；例4、计算（1）（2）（3）【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算.【答案与解析】解：（1） （2） （3）.【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根.举一反三：【变式】计算(1) (2) 【答案】解：(1) (2) .例5、已知：（a+6）2+=0，则2b24ba的值为【答案】12【解析】解：（a+6）2+=0，a+6=0，b22b3=0，解
7、得，a=6，b22b=3，可得2b24b=6，则2b24ba=6（6）=12，故答案为：12【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0举一反三：【变式1】实数、在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 .【答案】解：0,0()2.【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ；【答案】；类型三、实数综合应用例6、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字）？【答案与解析】解：因为原正方形鱼池
8、的面积为150平方米，根据面积公式，它的边长为 （米）由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.2476）米，所以扩建后鱼池的面积为333.0（平方米）答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求举一反三：【变式】一个底为正方形的水池的容积是486，池深1.5，求这个水池的底边长【答案】解：设水池的底边长为，由题意得答：这个水池的底边长为18.【巩固练习】一.选择题1. 下列说法正确的是（ ）A数轴上任一点表示唯一的有理数B数轴上任一点表示唯一的无理数C
9、两个无理数之和一定是无理数D数轴上任意两点之间都有无数个点2. 的算术平方根是（）A2 B2 C D3已知、是实数，下列命题结论正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则4. ，则的值是（ ）A. B. C. D. 5. 若式子有意义,则的取值范围是 ( ).A. B. C. D. 以上答案都不对. 6. 下列说法中错误的是（ ）A.中的可以是正数、负数或零. B.中的不可能是负数. C. 数的平方根有两个. D.数的立方根有一个.7. 数轴上A，B两点表示实数，则下列选择正确的是（ ）A. B. C. D.8. 估算的值在 （ ）A. 5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和
10、9之间二.填空题9. 若的整数部分是，则其小数部分用表示为 10当 时，有意义.11. .12. 若是225的算术平方根，则的立方根是 .13. 的平方根是 . 14.64的立方根与的平方根之和是 15. 比较大小： ， ， 16. 数轴上离原点距离是的点表示的数是 .三.解答题17. 一个正数的平方根是与，则是多少？18. 已知x2的平方根是2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根19. 已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用1表示的
11、小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：已知：10，其中是整数，且,求的相反数.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】数轴上任一点都表示唯一的实数.2. 【答案】C3. 【答案】B；【解析】B答案表明，故.4. 【答案】B； 【解析】.5. 【答案】A；6. 【答案】C；【解析】数不确定正负，负数没有平方根.7. 【答案】C；8. 【答案】B； 【解析】，.二.填空题9. 【答案】；10.【答案】为任意实数 ； 【解析】任何实数都有立方根.11.【答案】； 【解析】.12.【答案】3；
12、【解析】1215, 27,.13.【答案】 ；【解析】 7，7的平方根是. 14.【答案】2或6【解析】64的立方根是4，=4，4的平方根是2，4+2=2，4+（2）=6，64的立方根与的平方根之和是2或615.【答案】；16.【答案】； 【解析】数轴上离原点距离是的点有两个，分别在原点的左右两边.三.解答题17.【解析】解：一个正数的平方根是与，与互为相反数，即0，解得.18.【解析】解：x2的平方根是2，2x+y+7的立方根是3，x2=22，2x+y+7=27，解得x=6，y=8，x2+y2=62+82=100，x2+y2的平方根是1019.【解析】解：020.【解析】解：111012 11，1011 .