1、第五章 相交线与平行线5.5 相交线与平行线章末复习（基础巩固）【要点梳理】知识点一、相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角121与2有公共顶点1的两边与2的两边互为反向延长线对顶角相等即1=2邻补角有公共顶点3与4有一条边公共，另一边互为反向延长线.邻补角互补即3+4=180要点诠释：对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.如果与是对顶角，那么一定有=；反之如果=，那么与不一定是对顶角.如果与互为邻补角，则一定有+=180；反之如果+=180，则与
2、不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2.垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： ABCD，垂足为O.要点诠释：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)
3、.垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：POAB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.知识点二、平行线1平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行判定方法2：内错角相等，两直线平行判定方法3：同旁内角互补，两直线平行要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么
4、这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直3两条平行线间的距离如图3，直线ABCD，EFAB于E，EFCD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线之
5、间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.知识点三、命题及平移1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，
6、图形的这种移动叫做平移要点诠释：平移的性质：（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、相交线例1. a、b、c是平面上任意三条直线，交点可以有（）A1个或2个或3个B0个或1个或2个或3个C1个或2个D都不对【思路点拨】根据三条直线两两平行，三条直线交于一点，两条直线平行与第三条直线相交，三条直线两两相交不交于同一点，可得答案【答案】B【解析】解：三条直线两两平行，没有交点；三条直线交于一点，有一个交点；两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点；三条直线
7、两两相交不交于同一点，有三个交点，故选B.【总结升华】本题考查了相交线，分类讨论是解题关键：三条直线两两平行，三条直线交于一点，两条直线平行与第三条直线相交，三条直线两两相交不交于同一点，注意不要漏掉任何一种情况举一反三：【变式】如图所示，已知AOD=BOC，请在图中找出BOC的补角,邻补角及对顶角.【答案】解： 因为BOCAOC=180（平角定义）, 所以AOC是BOC的补角. 因为AODBOD=180（平角定义）, AOD=BOC（已知）, 所以BOCBOD=180.所以BOD是BOC的补角所以BOC的补角有两个：BOD和AOC.而BOC的邻补角只有一个AOC，且BOC没有对顶角.例2.
8、已知：如图，直线a、b、c两两相交，且123，2=86，求4的度数.【答案与解析】解：根据对顶角相等,1286.又123，8623，343,又3与4对顶角，所以3=443.【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（对顶角）是解题的关键性质是解答此类问题的关键.类型二、平行线的性质与判定例3.如图，已知ADE = B，1 =2，那么CDFG吗？并说明理由.【答案与解析】解：平行，理由如下：因为ADE=B，所以DEBC（同位角相等，两直线平行），所以1=BCD（两直线平行，内错角相等）.又因为1=2（已知），所以BCD=2.所以CDFG（同位角相等，两直线平行）.【总结升华】反复应
9、用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应先想到角相等或角互补.举一反三：【变式】如图，已知1+2=180，3=B，试判断AED与ACB的大小关系，并说明理由【答案】AED=ACB，理由如下：12180，又14180,24.ABEF（内错角相等，两直线平行）.53.又3=B,5B.DEBC（同位角相等，两直线平行）.AED=ACB(两直线平行,同位角相等).类型三、命题及平移例4.如图所示，请你填写一个适当的条件：_，使ADBC【思路点拨】欲证ADBC，结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件【答案】FADFBC，或AD
10、BCBD，或ABC+BAD180.【解析】 解：本题答案不唯一，如：利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件FADFBC；利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件ADBCBD；利用“同旁内角互补，两直线平行”，可添加条件ABC+BAD180【总结升华】这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论： ADBC，题设可根据平行线的判定方法，逐一寻找即可.举一反三：【变式】下列说法中正确的个数是（）（1）在同一平面内，a、b、c是直线，ab，bc，则ac（2）在同一平面内，a、b、c是直线，ab，bc，则ac（3）在同一平面内，a、b、c是直线，ab，ac，则bc（4）在同一平面内，a、b、c是直线
11、，ab，bc，则acA1B2C3D4【答案】C例5.如图(1)，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线段AB平移后的线段CD 【思路点拨】连接AC或BC便得平移的方向和距离【答案与解析】解：如图(2)，线段CD有两种情况：(1)当点A平移到点C时，则点D在点C的下方，因此下边线段CD即为所求；(2)当点B平移到点C时，则点D在点C的上方，上边线段CD即为所求【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的本题中未指明哪一端点(A还是B)移动到点C，故应有两种情况：即点A平移到点C或点B平移到点C举一反三：【变式】下列说法错误的是（ ）A平移不改变图形的形状和大小B平移中图形上每个点移动的距离可以不
12、同C经过平移，图形的对应线段、对应角分别相等D经过平移，图形对应点的连线段相等【答案】B类型四、实际应用例6.如图，107国道上有一个出口M，想在附近公路旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？【答案与解析】解：如图，过点M作MN，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN施工.【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.【巩固练习】一、选择题1下列图中,1和2是对顶角的有( )个.A1个 B2个 C3个 D4个2下列说法正确的是（）A两点之间的距离是两点间的线段B同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行C与同一条直线垂直的两条直线也垂直D同一平面内，过一点有且只有一
13、条直线与已知直线垂直3给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；（3）相等的两个角是对顶角；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离.其中正确的有( ) A0个 B1个 C2个 D3个41和2是直线AB和CD被直线EF所截得到的同位角，那么1和2的大小关系是( )A12 B12 C12 D无法确定5如图所示中，不能通过基本图形平移得到的是( )6一个人从A点出发向北偏东60方向走到B点，再从B点出发向南偏西15方向走到C点，那么ABC等于( )A75 B105 C45 D1357下列说法中，正
14、确的是( ) A过点P画线段AB的垂线. BP是直线AB外一点，Q是直线AB上一点，连接PQ，使PQAB. C过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. D过一点有且只有一条直线平行于已知直线.8如果在同一平面内有两个图形甲和乙，通过平移，总可以完全重合在一起(不论甲和乙的初始位置如何)，则甲和乙是( ) A两个点 B两个半径相等的圆 C两个点或两个半径相等的圆 D两个能够完全重合的多边形二、填空题9如图所示，ABCD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若150，则EGB_10平行用符号 表示，直线AB与CD平行，可以记作为 11每天小明上学时，需要先由家向东走150米到公共汽车站点，然后再乘车向
15、西900米到学校，每天小明由家到学校移动的方向是_，移动的距离是_12. (广东湛江)如图所示，请写出能判断CEAB的一个条件，这个条件是；：_ ：_ ：_13如图，已知ABCD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EPEF，与EFD的平分线FP相交于点P，且BEP=50，则EPF=_度. 14同一平面内的三条直线a，b，c，若ab，bc，则a_c若ab，bc，则a_c若ab，bc，则a_c北北甲乙15. 如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西 16如图所示，ACBC于点C，CDAB于点
16、D，DEBC于点E，能表示点到直线（或线段）的距离的线段有 条三、解答题17把图中的互相平行的线写出来，互相垂直的线写出来：18如图所示，已知12，AC平分DAB，你能推断哪两条线段平行?说明理由19.如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是2米，其它部分都是草地求草地的面积 20如图所示，点P是ABC内一点 (1)画图：过点P画BC的垂线，垂足为D；过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F (2)EPF等于B吗?为什么?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A； 【解析】只有第三个图中的1与2是对顶角.2. 【答
17、案】D3. 【答案】B； 【解析】（1）只有两条直线平行时，同位角相等，错误；（2）正确；（3）不符合对顶角的定义，错误；（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故错误.故选：B.4. 【答案】D； 【解析】因为不知道直线AB和CD是否平行，平行时同位角相等，不平行时同位角不相等，所以无法确定同位角是否相等，故选D5. 【答案】D 【解析】易见A、B、C都可以通过基本图形平移得到，只有D不能6. 【答案】C； 【解析】根据直线平行，内错角相等，从A点北偏东60方向等于从B点南偏西60，再从B点向南偏西15方向到C点，ABC应等于这两个角的差，故C正确7.【答案】C； 【解
18、析】应是过一点画线段所在直线的垂线，不能是画线段的垂线，故A错误；P是直线AB外一点，Q是直线AB上一点，如果P点不在过Q点与AB垂直的直线上，或Q点不在过P点与AB垂直的直线上，连接PQ，不可能有PQAB，故B错误；过一点画直线的平行线，这点不能在直线上，否则是同一条直线，故D错误；只有C是垂线的性质，故C正确8.【答案】C 【解析】分析：两个能够完全重合的多边形，如果把其中一个多边形旋转一个角度，那么另一个多边形不论怎样平移，也不可能和这个多边形(指旋转一个角度的多边形)完全重合在一起，只有两个点或两个半径相等的圆总能完全重合在一起，故选C二、填空题9. 【答案】50 【解析】因为ABCD
19、，所以1AGF，因为AGF与EGB是对顶角，所以EGBAGF，故EGB5010.【答案】，ABCD11.【答案】向西，750米 ； 【解析】移动的方向是起点到终点的方向，移动的距离是起点到终点的线段的长度.12【答案】DCEA，ECBB，A+ACE180； 【解析】根据平行线的判定，CEAB成立的条件可以是DCEA或ECBB或A+ACE18013【答案】70；【解析】EFD+FEB180，EFD=180-50-90=40，EFP=20，则EPF=180-90-20=70.14.【答案】，；15.【答案】48；【解析】内错角相等，两直线平行.16.【答案】8；【解析】表示点到直线或线段距离的垂线
20、段有：线段AC、BC、DE、CE、BE、CD、CB、AD.三、解答题17.【解析】解：ABCD，MNOP，EFGH；ABGH，ABEF，CDEF，CDGH18.【解析】解：ABCD，理由如下：因为AC平分DAB(已知)，所以13(角平分线定义)又因为12(已知)，所以23(等量代换)，所以ABCD(内错角相等，两直线平行)19.【解析】解：将马路的一边向另一边平移到重合，则此时草地的形状为：长为（a2）米，宽为b米的长方形，所以面积为：（a2）b(ab-2b)平方米20.【解析】解：如图所示，(1)直线PD即为所求；直线PE、PF即为所求 (2)EPFB，理由：因为PEBC(已知)，所以AEPB(两直线平行，同位角相等)又因为PFAB(已知)，所以EPFAEP(两直线平行，内错角相等)，EPFB(等量代换)