1、专题08 分式方程解的三种考法类型一、整数解的问题例关于x的不等式组有解，且使关于x的分式方程有非负整数解的所有m的值的和是（）A-1B2C-7D0【答案】C【详解】解：关于的不等式组有解，由可得：，解得，由解得，分式方程有非负整数解，是非负整数，故选：【变式训练1】若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A4B2C0D【答案】D【详解】解：，由得，x2，由得xa-1，不等式组的解集为x2，a-12，a3，3-ay+3=3-y，（a-1）y=3，y=方程的解为整数，a=-2，0，2，4，y3，3，a2，a3，a的取值为-2，0，所有
2、满足条件的整数a的值之和是-2+0=-2，故选：D【变式训练2】若关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数m的和是（）A7B10C18D21【答案】C【详解】解不等式组：由得：由得：，不等式组的解集为不等式组有且只有两个奇数解，解得：分式方程有解，则分母不为零解分式方程：，解得：满足条件的m值为5，6，7所有满足条件的整数m的和是，故选C【变式训练3】若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解则符合条件的所有整数k的和为（）A3B1C0D6【答案】B【详解】解：，解不等式得xk，解不等式得x5，由题意得k5，解分式方程得，y，由题
3、意得，0，且1，解得，k3且k1，k的取值范围为：3k5，且k1的整数，k的取值为3，2，0，1，2，3，4，当k3时，0，当k2时，当k0时，当k1时，2，当k2时，当k3时，3，当k4时，为整数，且k为整数，符合条件的整数k为3，1，3，3131，符合条件的所有整数k的和为1故选：B【变式训练4】已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（）A1B3C4D6【答案】C【详解】解：，去分母得，解得 ，时，方程产生增根，即，且，解不等式得：，解不等式得：，不等式组有解，不等式组的解集为：，恰好有三个整数解，解得，又且，且，整数为，其和为1+
4、3=4，故选C类型二、增根问题例1.若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A1.5B-6C1或-2D1.5或-6【答案】D【详解】解：，方程两边同乘以，得，即，关于的分式方程有增根，或，即或，（1）当时，则，解得，（2）当时，则，解得，综上，的值为或，故选：D【变式训练1】关于x的分式方程：（1）当m3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值【答案】（1）x=-5；（2）-4或6【详解】解：（1）把m=3代入方程得：，去分母得：3x+2x+4=3x-6，解得：x=-5，检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）0，分式方程的解为x=-5；（2）去分母得：mx+2x
5、+4=3x-6，这个关于x的分式方程会产生增根，x=2或x=-2，把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，解得：m=-4；把x=-2代入整式方程得：-2m=-12，解得：m=6【变式训练2】关于x的分式方程有增根，则m的值为（）ABC1D6【答案】A【详解】解：由题意得，分式两边同乘（x-2）得：，化简得：，方程有增根，x=2，即：，解得：，故选：A【变式训练3】若关于x的分式方程有增根，则增根是_【答案】1【详解】解： ，方程两边都乘以 方程的增根是使的x的值， 故答案为1【变式训练4】若关于x的方程有增根，则的值为_【答案】-1【详解】解：方程两边同乘以x2得原方程有增根，x2=0，即x
6、=2.把x=2代入，得m=1.故答案为：-1类型三、无解问题例1已知关于x的分式方程1无解，则m的值是（ ）A2B3C2或3D0或3【答案】C【详解】解：两边都乘以x（x3），得：x（x+m）x（x3）x3，整理，得：（m+2）x3，解得：，当m+20，即m2时整数方程无解，即分式方程无解，关于x的分式方程1无解，或，即无解或3（m+2）3，解得m2或3m的值是2或3故选C【变式训练1】如果关于x的分式方程无解，则m的值为（）A0B1C2D3【答案】B【详解】解：，方程两边同时乘以x5得，2（m+1）x5，去括号得，2m1x5，解得x6m，原分式方程无解，x5，m1，故选：B【变式训练2】若关
7、于x的分式方程无解，则m的值是（）A1B1C0D0或1【答案】D【详解】方程左右两边同乘（x-1）得，2m+x-1=m（x-1），化简整理后得，（m-1）x=3m-1，当m-1=0，m=1时，0x=2，此时x无解；当x=1时，是分式方程的增根，则分式方程无解，将x=1代入，得，m-1=3m-1，则m=0，所以当m=0或1时，分式方程无解，故选D【变式训练3】已知关于的分式方程无解，则的值为（）AB或CD或或【答案】D【详解】解：由得x=分式方程无解=2或m+4=0m=0或m=-8或或或故答案为D.【点睛】本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点.【变式训练4】若分式方程无解，则的值为（）A0B6C0或6D0或【答案】C【详解】情况一：解是方程的增根分式方程转化为一元一次方程为：mx=6x18移项并合并同类项得：(6m)x=18解得：分式方程无解，这个解为分式方程的增根要想是分式方程的增根，则x=3或x=0显然不可能为0，则解得：m=0情况二：转化的一元一次方程无解由上知，分式方程可转化为：(6m)x=18要使上述一元一次方程无解，则6m=0解得：m=6，故选：C