1、第五章 相交线与平行线5.2 同位角、内错角、同旁内角【要点梳理】要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念1. “三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.图1要点诠释：两条直线AB,CD与同一条直线EF相交“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成2. 同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像1与5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像3与5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在
2、直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像3和6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.要点诠释： (1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角 要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2 【典型例题】类型一、“三线八角”模
3、型例1. (1)图3中，1、2由直线 被直线 所截而成(2)图4中，AB为截线，D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？【答案】(1) EF，CD； AB （2）不是 【解析】（1）1、2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线（2）因为D的两边都不在直线AB上，所以D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角【总结升华】判断 “三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线.类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别例2.如图，(1)DE为截线,E与哪个角是同位角?(2)B与4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？ (3)B和E是同位角吗?为什么?【答案与
4、解析】解：（1）DE为截线,E与3是同位角；（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；（3）不是,因为B与E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以B和E不是同位角.【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取与该截线相关的角来分析.举一反三：【变式】如图所示，下列说法错误的是（）A1和3是同位角B1和5是同位角C1和2是同旁内角D5和6是内错角【答案】B解：从图上可以看出1和5不存在直接联系，而其它三个选项都符合各自角的定义，正确例3. 如图，用数字标出的
5、八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来【答案与解析】解：内错角：1与4，3与5，2与6，4与8；同旁内角：3与6，2与5，2与4，4与5；同位角：3与7，2与8，4与6【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后，结论便一目了然.举一反三：【变式】如图1、2、3、4、5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？【答案】解：同位角：5与1，4与3；内错角：2与3，4与1；同旁内角：4与2，5与3，5与4.例4. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.【答案与解析】解： 同位角：B与ACD，B与ECD；
6、内错角：A与ACD，A与ACE； 同旁内角：B与ACB，A与B，A与ACB，B与BCE【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析举一反三：【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角【答案】解：1与5，2与6，3与7，4与8是同位角；2与8，3与5是内错角；2与5，3与8是同旁内角.类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系例5. 如图直线DE、BC被直线AB所截，(1)1和2、1和3、1和4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？(2)如果1=4，那么1和2相等吗？1和3互补吗？为什么？【答案与解析】
7、解：(1)1和2是内错角；1和3是同旁内角；1和4是同位角 每组中两角的大小均不确定(2) 1与2相等，1和3互补. 理由如下： 1=4（已知） 42（对顶角相等） 12. 43180(邻补角定义) 14(已知)13180 即1和3互补.综上，如果1=4，那么1与2相等，1和3互补【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相等，并且所有的内错角相等，所有同旁内角互补举一反三：【变式1】若1与2是内错角，则它们之间的关系是 ( ) A12 B12 C12 D12或12或12【答案】D【变式2】下列命题：两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；两条直线相交
8、，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（）A4 B3 C2 D1【答案】C （提示：正确）【巩固练习】一、选择题1如图，直线AD、BC被直线AC所截，则1和2是( ). A内错角 B同位角 C同旁内角 D对顶角2如图，能与构成同位角的有( ). A4个 B3个 C2个 D1个3下列命题中，真命题有（）（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（3）经过两点有一条直线，并且只有一条直线；（4）如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也
9、和另一条垂直A1个 B2个 C3个 D4个4若1与2是同位角，则它们之间的关系是( ).A12 ； B12 ； C12； D12或12或12.5如图所示，直线a，b被直线c所截，1与2是（）A同位角B内错角C同旁内角D邻补角6. 已知图（1）（4）： 在上述四个图中，1与2是同位角的有（ ）.A（1）（2）（3）（4） B（1）（2）（3） C（1）（3） D（1）7.如图，下列结论正确的是（ ）.A5与2是对顶角； B1与3是同位角； C2与3是同旁内角； D1与2是同旁内角.8.在图中，1与2不是同旁内角的是 （ ）.二、填空题9如图，当直线BC、DC被直线AB所截时，1的同位角是_，同旁
10、内角是_；当直线AB、AC被直线BC所截时，1的同位角是_；当直线AB、BC被直线CD所截时，2的内错角是_10如图，(1)1和ABC是直线AB、CE被直线_所截得的_角；(2)2和BAC是直线CE、AB被直线_所截得的_角；(3)3和ABC是直线_、_被直线_所截得的_角；(4)ABC和ACD是直线_、_被直线 所截得的_角；(5)ABC和BCE是直线_、_被直线 所截得的_角11如图，若195，260，则3的同位角等于_，3的内错角等于_，3的同旁内角等于_12如图，标有角号的7个角中共有 对内错角， 对同位角， 对同旁内角13如图，直线a、b、c分别与直线d、e相交，与1构成同位角的角共
11、有_个，和l构成内错角的角共有_个，与1构成同旁内角的角共有_个14.如图，三条直线两两相交，其中同旁内角共有 对，同位角共有 对，内错角共有 对.三、解答题15如图，1和哪些角是内错角? 1和哪些角是同旁内角? 2和哪些角是内错角? 2和哪些角是同旁内角?它们分别是由哪两条直线被哪一条线截成的?16指出图中的同位角、内错角、同旁内角17.指出图中各对角的位置关系：（1）C和D是 角；（2）B和GEF是 角；（3）A和D是 角；（4）AGE和BGE是 角；（5）CFD和AFB是 角【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A 【解析】1与2是直线AD、BC被直线AC所截而成，且这两角都在被截线AD
12、、BC之间，在截线AC两侧，所以为内错角2【答案】B 【解析】如图，与能构成同位角的有：1，2，3 3. 【答案】B 【解析】（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；（2）应为两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项错误；（3）经过两点有一条直线，并且只有一条直线，正确；（4）应为如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直，故本选项错误所以（1）（3）两项是真命题4. 【答案】D 【解析】由两角是同位角，内错角或同旁内角得不出它们大小之间的关系5. 【答案】A6. 【答案】C【解析】图（2）或图（4）中的1与2没有公共边，不属于“三线八
13、角”中的角7. 【答案】D 8. 【答案】D【解析】选项D中1与2没有公共边，不属于“三线八角”中的角二、填空题9.【答案】2, 5, 3, 4【解析】先看哪两条线被哪一条线所截，再判断它们的关系10.【答案】(1)BD(或BC), 同位； (2)AC, 内错； (3)AB, AC, BC, 同旁内; (4)AB， AC， BC，同位； (5)AB， CE， BC，同旁内【解析】可以从复杂图形中抽出简单图形进行分析11【答案】85， 85， 95【解析】3的同位角和内错角均与1互补，故它们的度数均为：18095=85，而3的同旁内角是1的对顶角，所以3的同旁内角的度数等于1的度数12【答案】4
14、对内错角：分别是1和4，2和5，6和1，5和7；2对同位角：分别是7和1，5和6；4对同旁内角：分别是1和5、3和4、3和2、4和213【答案】3，2，2【解析】如图，与1是同位角的是：2, 3,4；与1是内错角的是：5, 6；与1是同旁内角的是：7，814【答案】6, 12, 6【解析】每个“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，而两两相交，且不交于同一点的三条直线共有三个“三线八角”，所以同旁内角共有：（对），同位角共有：（对），同旁内角共有：（对）三、解答题15. 【解析】解：1和DAB是内错角，由直线DE和BC被直线AB所截而成；1和BAC是同旁内角，由直线BC和AC被
15、直线AB所截而成；1和2也是同旁内角，是直线AB和AC被直线BC所截而成；1和BAE也是同旁内角，是直线DE和BC被直线AB所截而成；2和EAC是内错角，是直线DE和BC被直线AC所截而成；2和BAC是同旁内角，是直线AB和BC被直线AC所截而成；2和1也是同旁内角，是直线AB和AC被直线BC所截而成；2和DAC也是同旁内角，是直线DE和BC被直线AC所截而成16【解析】解：如图，可分解成三个基本图形，由图(1)得内错角：BAD和B；由图(2)得同位角：DAE和C，同旁内角：CAD和C；由图(3)得同位角：BAE和C，内错角：B和BAE，同旁内角：B和C，B和BAC，C和BAC即原图形中共有两组同位角，两组内错角，四组同旁内角17.【解析】解：（1）C和D是同旁内角；（2）B和GEF是同位角；（3）A和D是内错角；（4）AGE和BGE是邻补角；（5）CFD和AFB是对顶角；故答案为：（1）同旁内角 （2）同位角 （3）内错角 （4）邻补角 （5）对顶角