1、专题09技巧方法课之等腰及等边三角形综合压轴题专练（原卷版）学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题1如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，、分别与交于、两点，将绕着点顺时针旋转90得到；,平分；若，CE=4,则；若，其中正确的个数有（ ）A1个B2个C3个D4个2如图，在等腰直角中，延长至点，使得，连接，的中线与交于点，连接，过点作交于点，连接，则下列说法正确的个数为（ ）；点为中点；A个B个C个D个3如图：四个形状大小相同的等腰三角形ABE，ADF，CDG，BCH按如图摆放在正方形ABCD的内部，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH若AEBAFDCGDBHC12
2、0，且EH，则BC的长为（）AB44C2D24如图，是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G现有以下结论：；当点D与点C重合时，；当时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（ ）ABCD5在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为（ ）ABCD6如图，等腰RtABC中，BAC90，D、E分别在线段AB、AC上，ADAE，BE和CD交于点N，AFBE交BC于点F，FGCD交AC于点M，交BE的延
3、长线于点G下列说法：ABEFAC；GEGM；BGAF+FG；CAFMBE+CM；SBDNSAFCCEAC其中正确的个数是（）A1B2C3D4 二、填空题7已知正ABC的边长为1，点P，点Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位速度沿边AB向点B运动，点Q以每秒4个单位速度沿折线ACBA运动，当点Q停止运动时，点P也同时停止运动在整个运动过程中，若以点A，B，C中的两点和点Q为顶点构成的三角形与PAC全等，运动时间为t秒，则t的值为_8已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）若
4、，P为的费马点，则_；若，P为的费马点，则_9如图，在锐角ABC中，点D在线段CA的延长线上，BC边的垂直平分线分别交AB边于点E，交BAC的平分线于点M，交BAD的平分线于点N，过点C作AM的垂线分别交AM于点F，交MN于点O，过点O作OGAB于点G，点G恰为AB边的中点，过点A作AIBC于点I，交OC于点H，连接OA、OB，则下列结论中，（1）MAN=90；（2）AOB=2ACB；（3）OH=2OG；（4）AFOAFH；（5）AE+AC=2AG正确的是_（填序号） 三、解答题10（1）已知如图1：ABC求作：O，使它经过点B和点C，并且圆心O在A的平分线上（保留作图痕迹）（2）如图2，点F
5、在线段AB上，ADBC，AC交DF于点E，BACADF，AEBC求证：ACD是等腰三角形11如图，直线交x轴于A点，交y轴于B点，点B坐标为，直线经过点A交y轴于点C，且（1）求直线的解析式；（2）点D为线段中垂线l上一点，且位于第一象限，将沿翻折得到，若点恰好落在直线l上，求点D和点的坐标（3）设P是直线上一点，点Q在l上，当为等边三角形时，直接写出的边长12如图，在中，点D在边上，将沿对折得到，交于点F（1）如图，若，求的度数；（2）如图，若，请说明；（3）若，将绕点B逆时针方向旋转一个角度，记旋转中的为在旋转过程中，直线分别与直线、直线交于点M、点N，是否存在这样的点M、点N，使与相等？
6、若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由13在中，点M为AB的中点（1）如图1，若，连接DM且，试探究AB与BC的数量关系；（2）如图2，若为锐角，过点C作于点E，连接EM，求证：若，求的值14如图1，已知等腰直角ABC，ACB90，在直角边BC上取一点D，使DAC15，以AD为一边作等边ADE，且AB与DE相交（1）求证：AB垂直平分DE； （2）连接BE，判断EB与AC的位置关系，并说明理由；（3）如图2，若F为线段AE上一点，且FCAC，求的值15如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OAOB10（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是直
7、线AB上的动点，当SOBPSOAP时，求点P的坐标；（3）将直线AB向下平移10个单位长度得到直线l，点M，N是直线l上的动点（M，N的横坐标分别是xM，xN，且xMxN），MN4，求四边形ABNM的周长的最小值，并说明理由16（1）如图1，等边ABC中，点D为AC的中点，若EDF120，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是 ；BEBF与的BC数量关系是 ；（写出结论即可，不必证明）（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边ABC中，D为AC的中点，若EDF120”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关
8、系？BEBF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边ABC中，D为AC的中点，若EDF120”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是 （直接写出结论即可）17如图1，若DEF的三个顶点D，E，F分别在ABC各边上，则称DEF是ABC的内接三角形（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且ADBECF，则DEF是ABC的内接 A等腰三角形B等边三角形C等腰三角形或等边三角形D直角三角形（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出ABC
9、的边长最小的内接等边三角形DEF（保留作图痕迹，不写作法）（3）问题：如图4，ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在ABC的内接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？探究1：如图5，要使DEF是等边三角形，只需EDF60，DEDF于是，我们以点D为角的顶点任作EDF60，且DE交BC于点E，DF交AC于点F我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重合在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果存在某个时刻正好DEDF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）理由： 是等边三角
10、形探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边三角形DBF和DCF连接FF，FF，证明：FF+FFBC探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出ABC的内接等边三角形DEF（保留作图痕迹，不写作法）18如图1，在等边的边和边上分别取点、，使得，将绕点顺时针旋转，得到图2所示的图形（1）求证：；（2）如图3，若，且旋转角为45时，求的度数；（3）如图4，连接，并延长交于点，若旋转至某一位置时，恰有，求的值19如图，在中，垂足为点D（1）试说明点D为的中点；（2）如果，将线段绕着点D顺时针旋转60后，点
11、A落在点E处，联结、，试说明/；（3）如果的度数为n，将线段绕着点D顺时针旋转（旋转角小于180），点A落在点F处，联结线段，/，求直线与直线的夹角的度数（用含n的代数式表示）20角平分线性质定理描述了角平分线上的点到两边距离的关系，小明发现将角平分线放在三角形中，还可以得出一些线段比例的关系请完成下列探索过程：（研究情景）如图1，在ABC中，ABC的角平分线交AC于点D（初步思考）（1）若AB4，BC7，则 ；（深入探究）（2）请判断和之间的数值关系，并证明；（应用迁移）（3）如图2，ABC和ECD都是等边三角形，ABC的顶点A在ECD的边ED上，CD交AB于点F，若AE4，AD2，求CFB
12、的面积21综合与实践问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中，点，在的同侧，点，在线段上，连接并延长交于点，已知将从图1中的位置开始，绕点顺时针旋转（保持不动），旋转角为数学思考：（1）“求索小组”的同学发现图1中，请证明这个结论；操作探究：（2）如图2，当时，“笃行小组”的同学连接线段，请从下面A，B两题中任选一题作答我选择_题A猜想，满足的数量关系，并说明理由；若，请直接写出时，两点间的距离；B猜想，满足的位置关系，并说明理由；若，请直接写出点落在延长线时，两点间的距离22阅读下列材料，并解答其后的问题：定
13、义：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做等补四边形如图1，若ABAD，A+C180，则四边形ABCD是等补四边形（1）理解：如图2，已知RtABC中，ACB90请用尺规作图法作出点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形是等补四边形；（只需作出一个满足条件的点D即可要求不用写作法，但要保留作图痕迹）（2）探究：如图3，等补四边形ABCD中，ABBC，A+C180，BD是对角线求证：BD平分ADC；（3）运用：将斜边相等的两块三角板如图4放置，其中含45角的三角板ABC的斜边与含30角的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，ABBC4，连接BD则BD的长为23同学们学习了全等三角
14、形，知道其重要应用是通过全等三角形证明角相等或边相等，进而求角度或边长有些题目不能直接得全等三角形时，需要根据条件购造全等三角形，当遇到等腰直角三角形时我们可以利用两条相等的腰及顶角90，来构造全等的两个直角三角形，从而解决问题（1）发现，如图1，已知等腰直角ABC，点P是边AB上一点，过点A作CP的垂线交CP延长线于点E，过点B作CP的垂线，垂足为点F，若BF7，AE3，则EF ；（2）探索：如图2，已知等腰直角ABC，点E是内部一点，且CE4，AE垂直CE，连接BE，求BCE的面积；（3）应用：如图3，已知钝角三角形ABC（ACB90），A45，以BC为边在直线BC与点A同侧的位置作等腰直
15、角BCD，过点D作DE垂直AB，垂足为点E，则线段AE与线段BE有怎样的数量关系呢？并请说明由24已知：菱形中，过点作，垂足为点，（1）如图1，求的度数；（2）如图2，连接、，点在上，于点，交于点，点在上，连接、，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，分別连接、，、交于点，交于点，若，求菱形的面积25如图在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于、两点，点的坐标为，且点的坐标为（1）求点坐标；（2）若点、关于直线对称，在备用图中画出直线，再求直线的函数解析式；（3）点是直线与直线l的交点，点在第一象限内，当为等腰直角三角形时，直接写出点的坐标26同学们，等边三角形、等腰直角三角形都是最常见的几何
16、图形（1）如图1，以等边的边为腰作等腰直角，其中，点、点都是在的同侧，延长、交于点，连接，求的度数；（2）如图2，在（1）的条件下，作平分交于点，求证：；（3）如图3，将图（1）的沿着翻折得到，连接，为中点，连接并延长交于点，请猜测、三条线段之间的数量关系，并证明你的结论27如图，在中，为中点，为射线上一动点，在右侧作等边直线与直线交于点（1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点在线段上（不包括端点），是否仍然成立，请说明理由；（3）点在射线运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的度数28（问题情境）如图，小区、位于一条笔直的道路的同侧，为了方便，两个小区居民投放垃圾，现在上
17、建一个垃圾分类站，使得与，的距离之比为（初步研究）（1）在线段上作出点，使如图，做法如下：第一步：过点作射线，以为圆心，任意长为半径画弧，交于点；以为圆心，长为半径画弧，交于点；以为圆心，长为半径画弧，交于点第二步：连接，作，交于点则点即为所求请证明所作的点满足（深入思考）（2）如图，点在线段上，点在直线外，且求证：是的平分线（问题解决）（3）如图，已知点，和直线，点在线段上，且用直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）（）在直线上作出点（异于点），使；（）在直线上作出点，使29如图，ABC为等边三角形，AB6，将边AB绕点A顺时针旋转（0120）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，BAD的平分线交CD于点E，F为CD上一点，且DF2CF（1）当EAB30时，求AEC的度数；（2）当线段BF的长取最小值时，求线段AG的长；（3）请直接写出ADE的周长的最大值30如图，一次函数与坐标轴交于两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，且的面积为（1）求点的坐标及直线的表达式；（2）点在直线上第二象限内一点，在中有一个内角是，求点的坐标；（3）过原点的直线，与直线交于点，与直线交于点，在三点中，当其中一点是另外两点所连线段的中点时，求的面积