1、专题23.1 旋转【十大题型】【人教版】【题型1 关于原点对称的点的坐标】1【题型2 利用旋转的性质求角度】3【题型3 利用旋转的性质求线段长度】6【题型4 旋转中的坐标与图形变换】10【题型5 作图-旋转变换】14【题型6 中心对称图形及旋转对称图形】18【题型7 旋转中的周期性问题】20【题型8 旋转中的多结论问题】24【题型9 旋转中的最值问题】30【题型10 旋转的综合】34【知识点1 关于原点对称的点的坐标】 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。【题型1 关于原点对称的点的坐标】【例1】（2022春平阴县期末
2、）点A（2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为1【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案【解答】解：点A（2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，a2，b3，a+b1，故答案为：1【变式1-1】（2022秋雨花区期末）若点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称，则3m+2n的值为16【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（x，y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆【解答】解：点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称，m2，n5，3m+2n61016故答案为：16【变式1-2】（2022秋常熟市期末）已知点P（2m
3、1，m+3）关于原点的对称点在第三象限，则m的取值范围是12m3【分析】根据关于原点对称点的性质可得P在第一象限，进而可得2m10m+30，再解不等式组即可【解答】解：点P（2m1，m+3）关于原点的对称点在第三象限，点P（2m1，m+3）在第一象限，2m10m+30，解得：12m3，故答案为：12m3【变式1-3】（2022春永新县期末）已知点P（3+2a，2a+1）与点P关于原点成中心对称，若点P在第二象限，且a为整数，则关于x的分式方程2xax+1=3的解是x2【分析】根据P关于原点对称点在第一象限，得到P横纵坐标都小于0，求出a的范围，确定出a的值，代入方程计算即可求出解【解答】解：P
4、（3+2a，2a+1）与点P关于原点成中心对称，若点P在第二象限，且a为整数，3+2a02a+10，解得：32a12，即a1，当a1时，所求方程化为2x+1x+1=3，解得：x2，经检验x2是分式方程的解，则方程的解为2故答案为x2【知识点2 旋转的定义】 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。【知识点3 旋转的性质】 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2） 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。理解以下几点：（1）图形中的每
5、一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。【题型2 利用旋转的性质求角度】【例2】（2022春梅州校级期末）如图，点O是等边ABC内一点，AOB110，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，连接OD，若ODAD，则BOC的度数为140【分析】设BOC，根据旋转前后图形不发生变化，易证COD是等边OCD，从而利用分别表示出AOD与ADO，再根据等腰AOD的性质求出【解答】解：设BOC，根据旋转的性质知，BOCADC，则OCDC，BOCADC又BOC绕点C按顺时针方向旋转60得
6、到ADC，OCD60，OCD是等边三角形，CODCDO60，ODAD，AODDAOAOD36011060190，ADO60，2（190）+60180，解得140故答案是：140【变式2-1】（2022南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到ABC，点B恰好落在CA的延长线上，B30，C90，则BAC为（）A90B60C45D30【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可【解答】解：B30，C90，CAB180BC60，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到ABC，CABCAB60点B恰好落在CA的延长线上，BAC180CABCAB60故选：B【变式2-2】（2022
7、天津一模）如图，在ABC中，ABAC，BAC40，点D在边AB上，将ADC绕点A逆时针旋转40，得到ADB，且D，D，C三点在同一条直线上，则ACD的大小为（）A20B30C40D45【分析】由旋转的性质可得BACBAD40，ADAD，由等腰三角形的性质可得ADD70，DAC80，即可求ACD的度数【解答】解：将ADC绕点A逆时针旋转40得到ADB，BACBAD40，ADADADD=12（18040）70，DACBAC+BAD80，ACD180ADDDAC30；故选：B【变式2-3】（2022城步县模拟）如图，P为等边三角形ABC内一点，APB：APC：CPB5：6：7，则以PA，PB，PC为
8、三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为（）A1：2：3B2：3：4C3：4：5D5：6：7【分析】将APB绕A点逆时针旋转60得ADC，显然有ADCAPB，连PD，则ADAP，DAP60，得到ADP是等边三角形，PDAP，所以DCP的三边长分别为PA，PB，PC；再由APB+BPC+CPA360，APB：APC：CPB5：6：7，得到APB100，BPC140，CPA120，这样可分别求出PDCADCADPAPBADP1006040，DPCAPCAPD1206060，PCD180（40+60）80，即可得到答案【解答】解：如图，将APB绕A点逆时针旋转60得ADC，显然有ADCAPB，
9、连PD，ADAP，DAP60，ADP是等边三角形，PDAP，DCPB，DCP的三边长分别为PA，PB，PC，APB+BPC+CPA360，APB：APC：CPB5：6：7，APB100，BPC140，CPA120，PDCADCADPAPBADP1006040，DPCAPCAPD1206060，PCD180（40+60）80，以PA，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为2：3：4故选：B【题型3 利用旋转的性质求线段长度】【例3】（2022春仪征市期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（）A1B2C3D323【分析
10、】连接AC、AF，证明ACF为等边三角形，求得AC便可得出结果【解答】解：连接AC、AF，由旋转性质得，ACAF，CAF60，ACF为等边三角形，ACCF，AC=2AB=2，CF=2，故选：B【变式3-1】（2022春如皋市期末）如图，在RtABC中，C90，AC3，BC4将ABC绕点A逆时针旋转得到ABC，使点C落在AB边上，连接BB，则BB的长为（）A23B5C25D6【分析】根据旋转的性质并利用勾股定理进行求解即可【解答】解：C90，AC3，BC4，根据勾股定理得：AB=AC2+BC2=32+42=5，由旋转的性质可知，ACAC3，BCBC4，BCABAC532，BB=BC2+BC2=4
11、2+22=25，故选：C【变式3-2】（2022东莞市校级一模）如图，AOB中，AOB90，AO4，BO8，AOB绕点O逆时针旋转到AOB处，此时线段AB与BO的交点E为BO的中点，则线段BE的长度为（）A35B1255C955D1655【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得AOAO，ABAB，再求出OE，从而得到OEAO，过点O作OFAB于F，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得AE2EF，然后由BEABAE代入数据计算即可得解【解答】解：AOB90，AO4，BO8，AB=AO2+BO2=42+82=45，AOB绕顶点O逆时针旋转到AOB处，
12、AOAO4，ABAB45，点E为BO的中点，OE=12BO=1284，OEAO4，过点O作OFAB于F，如图，SAOB=1245OF=1248，解得：OF=855，在RtEOF中，EF=OE2OF2=42(855)2=455，OEAO，OFAB，AE2EF2455=855，BEABAE=45855=1255故选：B【变式3-3】（2022春和平区期末）如图，ABC与CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD4，BC2，若将CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为（）A23B27C3或7D23或27【分析】分两种情况：当E在CA延长线上时，过A作AMBE于M，根据A
13、BC与CDE都是等边三角形，CD4，BC2，可得AEAB，AEBABE30，在RtABM中，可得BM=3，从而BE2BM23；当E在AC的延长线上时，过B作BNAC于N，在RtBCN中，CN=12BC1，BN=3CN=3，在RtBNE中，BE=BN2+NE2=27【解答】解：当E在CA延长线上时，过A作AMBE于M，如图：ABC与CDE都是等边三角形，CD4，BC2，AECEAC422，BAC60，AEAB，AEBABE30，在RtABM中，AM=12AB1，BM=3AM=3，BE2BM23；当E在AC的延长线上时，过B作BNAC于N，如图：在RtBCN中，CN=12BC1，BN=3CN=3，
14、NECE+CN4+15，在RtBNE中，BE=BN2+NE2=(3)2+52=27；综上所述，线段BE的长为23或27，故选：D【题型4 旋转中的坐标与图形变换】【例4】（2022秋黄石期末）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（3，1），则点C的坐标为（）A（a，b）B（a+2，b）C（a1，b+1）D（a+1，b1）【分析】运用中点坐标公式求答案【解答】解：设C（m，n），线段AB与线段CD关于点P对称，点P为线段AC、BD的中点a+m2=532，b+n2=112，m2a，nb，C（2a，b），故选：B【变式4-1】（2022秋本溪期末）如图，在AOB中
15、，OA4，OB6，AB27，将AOB绕原点O逆时针旋转90，则旋转后点A的对应点A的坐标是（）A（4，2）B（23，4）C（23，2）D（2，23）【分析】如图，过点A作AHOB于H，设OHm，则BH6m，利用勾股定理构建方程求出m，可得结论【解答】解：如图，过点A作AHOB于H，设OHm，则BH6m，AH2OA2OH2AB2BH2，42m2（27）2（6m）2，m2，AH=4222=23，A（2，23），将AOB绕原点O逆时针旋转90，则旋转后点A的对应点A（23，2），【变式4-2】（2022秋西湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，MNP绕原点逆时针旋转90得到M1N1P1，若M（1，2）
16、，则点M1的坐标为（）A（2，1）B（1，2）C（2，1）D（1，2）【分析】如图，连接OM，OM1，过点M作MHy轴于点H，过点M1作M1Tx轴于点T利用全等三角形的性质解决问题即可【解答】解：如图，连接OM，OM1，过点M作MHy轴于点H，过点M1作M1Tx轴于点TM（1，2），MH1，OH2，MOM1POT，MOHM1OT，MHOM1TO90，OMOM1，MHOM1TO（AAS），MHM1T1，OHOT2，M1（2，1），故选：C【变式4-3】（2022新抚区模拟）如图，RtAOB的斜边AO在y轴上，OB=3，AOB30，直角顶点B在第二象限，将RtAOB绕原点O顺时针旋转120后得到A
17、OB，则A点的对应点A的坐标是（）A（3，1）B（1，3）C（2，0）D（3，0）【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC1，再利用旋转的性质得到OBOB=3，BABA1，ABOABO90，然后利用第四象限点的坐标特征写出点A的坐标【解答】解：如图，在RtOAB中，BOA30，AB=33OB=333=1，RtOCB绕原点顺时针旋转120后得到OAB，OBOB=3，BABA1，ABOABO90，点A的坐标为（3，1）故选：A【知识点4 利用旋转性质作图】 旋转有两条重要性质：（1） 任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2） 对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋
18、转的性质作图的关键。步骤可分为：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； 转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； 接：即连接到所连接的各点。【知识点5 中心对称图形的定义】 把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。【知识点6 中心对称的性质】 有以下几点：（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平
19、行（或共线）且相等。【知识点7 作一个图形关于某点对称的图形】 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。【题型5 作图-旋转变换】【例5】（2022春化州市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）（1）把ABC向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1；（2）把ABC绕原点O旋转180后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，
20、B1，C1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可【解答】解：（1）如图，A1B1C1即为所求；（2）如图，A2B2C2即为所求【变式5-1】（2022春洪雅县期末）如图，在所给网格图（ 每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）将ABC向下平移5个单位得A1B1C1，画出平移后的A1B1C1（2）画出ABC关于点B成中心对称的图形（3）在直线l上找一点P，使ABP的周长最小【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用中心对称图形的性质得出对应点位置；（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案【解答】解：（1）如图所示：A
21、1B1C1，即为所求；（2）如图所示：DEF，即为所求；（3）如图所示：P点位置，使ABP的周长最小【变式5-2】（2022春蒲城县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）（1）将ABC向左平移4个单位长度得到A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，请画出A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）以原点O为旋转中心，将ABC顺时针旋转90得到A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，请画出A2B2C2【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，
22、B1，C1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可【解答】解：（1）如图，A1B1C1即为所求，点C1的坐标（2，3）；（2）如图，A2B2C2即为所求【变式5-3】（2022秋利通区期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC的顶点均在格点上（1）画出ABC绕B点顺时针旋转90后的A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标；（2）画出ABC关于原点O对称的A2B2C2；并写出A2、B2、C2的坐标【分析】（1）根据题意所述的旋转中心、旋转方向、旋转角度找到各点的对应点，顺次连接即可得出A1B1C1，结合直角坐标系可得
23、出各点的坐标（2）找到各点关于原点对称的点，顺次连接可得到A2B2C2，结合直角坐标系可得出各点的坐标【解答】解：（1）所画图形如下：结合图形可得A1坐标为（3，1）；B1坐标为（1，0）；C1坐标为（2，2）；（2）所画图形如下所示：结合图形可得A2坐标为（2，2）；B2坐标为（1，0）；C2坐标为（3，1）【题型6 中心对称图形及旋转对称图形】【例6】（2022秋单县校级月考）如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是1【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：第一个图形是轴对称图形而不是中心对称图形，共1个故答案为：1【变式6-1】（2022秋普陀区期末）在
24、下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有 4个旋转对称图形【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角解答即可【解答】解：在等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形只有等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形是旋转对称图形故答案为4；【变式6-2】（2022秋孝义市期中）2022年2月4日2月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市下面图片是在北京冬奥会会徽征集过
25、程中，征集到的一幅图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成对于图片中的“雪花图案”，至少旋转 60能与原雪花图案重合【分析】“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为60，即可解决问题【解答】解：“雪花图案”可以看成正六边形，正六边形的中心角为60，这个图案至少旋转60能与原雪花图案重合故答案为：60【变式6-3】（2022春景德镇期中）如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：（1）在图案中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；（2）在图案中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；（
26、3）在图案中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形【分析】（1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图；（2）如一，也是先找一个中心，再根据中心对称的性质，思考如何画图；（3）根据中心对称和轴对称的性质画一个图形注意此题有多种画法，答案不唯一【解答】解：如图所示（1）如图（1），图（2），图（3）所示；（2）如图（4）所示；（3）如图（5），图（6）所示【题型7 旋转中的周期性问题】【例7】（2022春高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转30得到点P1，延长OP1到P2，使
27、得OP22OP1；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转30得到P3，延长OP3到P4，使得OP42OP3如此继续下去，点P2023坐标为（）A（21010，321010）B（0，21011）C（21010，321010）D（321010，21010）【分析】根据每次旋转后线段的长度是原来的2倍求出OP2023，根据旋转角为30求出每12次旋转，24个点为一个循环组依次循环，然后用2023除以24，再根据商和余数的情况确定出点P2023在第二象限与y轴正半轴夹角为30，然后解答即可【解答】解：点P0的坐标为（1，0），OP01，OP22OP12，OP3OP22，OP42OP32222，OP202221011，20222484余6，点P2023是第85循环组的第7个点，在第