1、专题22.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】【人教版】【题型1 二次函数中直角三角形的存在性问题】1【题型2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】3【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】5【题型4 二次函数中平行四边形的存在性问题】7【题型5 二次函数中矩形的存在性问题】9【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】11【题型7 二次函数中正方形的存在性问题】13【题型8 二次函数中角度问题的存在性问题】15【题型1 二次函数中直角三角形的存在性问题】【例1】（2022柳州）已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）（1）求b，c，m的值
2、；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EFx轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将MBC沿BC翻折得到NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标【变式1-1】（2022桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=36x2+233x+23与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D两点，连接AC
3、（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；（2）探索直线L上是否存在点E，使ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由【变式1-2】（2022秋日喀则市月考）如图，二次函数yx2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点（1）求M点的坐标；（2）求MBC的面积；（3）坐标轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【变式1-3】（2022平南县二模）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（1，0），对称轴为直线x2（1）求该抛物线的表达式；（
4、2）直线l过点A与抛物线交于点P，当PAB45时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【题型2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】【例2】（2022沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线yax2+bx+2（a0）交x轴于点A（1，0），点B（4，0），交y轴于点C连接BC，过点A作ADBC交抛物线于点D（异于点A）（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PEy轴，交AD于点E，过点E作EGBC于点G，连接PG求PEG面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线yax2+
5、bx+2（a0）水平向右平移32个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴上确定一点M，使得BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程【变式2-1】（2022湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图，抛物线C1：yx2+2x3与抛物线C2：yax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，1）（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点
6、M作MNx轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值（3）如图，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【变式2-2】（2022秋永嘉县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴正半轴，x轴正半轴上两动点，OA2k，OB2k+3，以AO，BO为邻边构造矩形AOBC，抛物线y=34x2+3x+k交y轴于点D，P为顶点，PMx轴于点M（1）求OD，PM的长（结果均用含k的代数式表示）（2）当PMBM时，求该抛物线的表达式（3）在点A在整个运动过程中，若存在A
7、DP是等腰三角形，请求出所有满足条件的k的值【变式2-3】（2022杭州校级自主招生）如图，抛物线yax25ax+4经过ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴上，且ACBC（1）求抛物线的对称轴；（2）求A点坐标并求抛物线的解析式；（3）若点P在x轴下方且在抛物线对称轴上的动点，是否存在PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【例3】（2022顺城区模拟）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交
8、于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【变式3-1】（2022碑林区校级三模）已知抛物线C1：y=14x2+bx+c的图象与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为D（1）求抛物线C1的表达式和点D的坐标；（2）将抛物线C1沿x轴平移m（m0）个单位长度，所得新的抛物线记作C2，C2的顶点为D，与抛物线C1交于点E，在平移过程中，是否存在DED是等腰直角三角
9、形？如果存在，请求出满足条件的抛物线C2的表达式，并写出平移过程；如果不存在，请说明理由【变式3-2】（2022琼海二模）如图1，抛物线yax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，当点F的坐标为（0，4），求出此时AFP面积的最大值；（3）如图2，是否存在点F，使得AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由【变式3-3】（2022枣庄）如图，已知抛物线L：yx2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，
10、0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OAE内（包括OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【题型4 二次函数中平行四边形的存在性问题】【例4】（2022垦利区二模）已知抛物线yax2+bx+3的图
11、象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB4，设点D的横坐标为m（1）求抛物线的解析式；（2）连接AE、CE，当ACE的面积最大时，点D的坐标是 ；（3）当m2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【变式4-1】（2022澄迈县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t在图1中，当3t0时，求P
12、BO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；【变式4-2】（2022福山区一模）如图，抛物线yax2+bx+c过点A（1，0），点B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OC3OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）若点P是抛物线上一点，过点P作PQx轴交直线BC于点Q，试探究是否存在以点E，D，P，Q为顶点的平行四边形若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由【变式4-3】（2022青羊区校级模拟）抛物线yax2
13、+bx+c（a0）与x轴交于点A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PDAB，垂足为D，PD交AC于点E作PFAC，垂足为F，求PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由【题型5 二次函数中矩形的存在性问题】【例5】（2022齐齐哈尔三模）综合与实践如图，二次函数yx2+c的图象交x轴于点A
14、、点B，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，2），过点A、C的直线交二次函数的图象于点D（1）求二次函数和直线AC的函数表达式；（2）连接DB，则DAB的面积为 6；（3）在y轴上确定点Q，使得AQB135，点Q的坐标为 ；（4）点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【变式5-1】（2022博山区一模）如图，已知抛物线yax2+bx4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（2，0），直线BC的解析式为y=12x4（1）求抛物线的解析式（2
15、）如图1，过点A作ADBC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQy轴，交AD于点Q，过点Q作QRBC于点R，连接PR求PQR面积的最大值及此时点P的坐标（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C，将抛物线沿射线CA的方向平移25个单位长度得到新的抛物线y，新抛物线y与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由【变式5-2】（2022绥化）如图，抛物线yax2+bx+c交y轴于点A（0，4），并经过点C（6，0），过点A作ABy轴交抛物线
16、于点B，抛物线的对称轴为直线x2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD点E从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EFAB于F，以EF为对角线作正方形EGFH（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由【变式5-3】（2022黔东南州）如图，抛物线yax2+2x+c的对称轴是直线x1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC（1）求此抛物线的解析式；（2
17、）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DMx轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】【例6】（2022烟台一模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线yx2+bx+c经过A，C（4，5）两点，且与直线DC交于另一点E（1）求抛物线的解析式；（2）P为y轴上一点
18、，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP试求EQ+PQ+AP的最小值；（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【变式6-1】（2022邵阳县模拟）如图，直线l：y3x6与x轴、y轴分别相交于点A、C；经过点A、C的抛物线C：y=12x2+bx+c与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D，对称轴与x轴相交于点E（1）求抛物线C的对称轴（2）将直线l向右平移得到直线l1如图，直线l1与抛物线C的对称轴DE相交于点P，要使PB+PC的值最小，求直线l1的解析式如图 ，直线l1与直线B
19、C相交于点F，直线l1上是否存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【变式6-2】（2022嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知抛物线yax2+bx+3经过点A（3，0）、B（4，1）两点，与y轴的交点为C点（1）求抛物线的表达式；（2）求四边形OABC的面积；（3）设抛物线yax2+bx+3的对称轴是直线l，点D与点B关于直线l对称，在线段BC上是否存在一点E，使四边形ADCE是菱形，如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由【变式6-3】（2022山西模拟）综合与探究如图，二次函数yax2+bx+4的图象与x轴
20、分别交于点A（2，0），B（4，0），点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PEx轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F（1）求二次函数的表达式（2）当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段PF=12EF，求此时点P的坐标（3）试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【题型7 二次函数中正方形的存在性问题】【例7】（2022铁锋区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线yx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且OA
21、20C，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB（1）求抛物线解析式；（2）当点F与抛物线的顶点重合时，ABF的面积为 ；（3）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标（4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由【变式7-1】（2022陇县二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=ax2+bx+c经过A（2，0），B(1，94)两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点
22、D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式【变式7-2】（2022秋南宁期中）如图，抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴于点A（1，0）、B（3，0），点P是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）Q是抛物线上第一象限除点P外一点，BCQ与BCP的面积相等，求点Q的坐标；（3）若M、N为抛物线上两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为D、E是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由【变式7-3】（2022南充）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，
23、B（1）求抛物线的解析式（2）Q是抛物线上除点P外一点，BCQ与BCP的面积相等，求点Q的坐标（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由【题型8 二次函数中角度问题的存在性问题】【例8】（2022西宁）如图，抛物线yax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CDx轴于点D（1，0），将ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处（1）求抛物线解析式；（2）连接BE，求BCE的面积；（3）抛物线上是否存在
24、一点P，使PEABAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由【变式8-1】（2022鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+2经过A（12，0），B（3，72）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PDx轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使QCB45？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【变式8-2】（2022运城二模）如图，已知抛物线yax2+bx8与x轴交于点A（2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过
25、点P作直线PEy轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角PDF（1）求抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式；（2）设点P的横坐标为m（0m3），在点P运动的过程中，当等腰直角PDF的面积为9时，请求出m的值；（3）连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使ACO+BCMABC，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由【变式8-3】（2022罗湖区校级一模）如图，已知抛物线y=13x2+bx+c交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC（1）求抛物线的表达式；（2）连接OP，BP，若SBOP2SAOC，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QBA75？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由