1、求二次函数的解析式一设一般式yax2bxc(a0)求二次函数的解析式(教材P40练习第2题)一个二次函数的图象经过(0，0)，(1，1)，(1，9)三点，求这个二次函数的解析式解：设这个二次函数的解析式为yax2bxc(a0)，则解得所以所求的二次函数的解析式为y4x25x.【思想方法】 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数解析式为yax2bxc，将已知条件代入，求出a，b，c的值如图1，抛物线的函数解析式是(D)Ayx2x2Byx2x2Cyx2x2 Dyx2x2【解析】 根据题意，设二次函数的解析式为yax2bxc，因为抛物线过点(1，0)，(0，2)，(2，0)，所以 解得a1，b
2、1，c2，所以这个二次函数的解析式为yx2x2.图1图2如图2，二次函数yax24xc的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(4，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在点P，满足SAOP8，请直接写出点P的坐标解：(1)由已知条件得：解得此二次函数的解析式为yx24x.(2)点A的坐标为(4，0)，AO4.设点P的坐标为(x，h)，则SAOPAO|h|4|h|8，解得|h|4.当点P在x轴上方时，x24x4，解得x2，点P的坐标为(2，4)；当点P在x轴下方时，x24x4，解得x122，x222，点P的坐标为(22，4)或(22，4)，综上所述，点P的坐标为(2，4)或(22，4)或(
3、22，4)如图3，抛物线经过A(1，0)，B(5，0)，C(0，)三点图3(1)求抛物线的解析式；(2)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设抛物线的解析式为yax2bxc，根据题意，得，解得，抛物线的解析式为yx22x；(2)存在(i)当点N在x轴的下方时，如图所示，四边形ACNM是平行四边形，CNx轴，点C与点N关于对称轴x2对称，C点的坐标为(0，)，点N的坐标为(4，)(ii)当点N在x轴上方时，如图所示，作NHx轴于点H，四边形ACMN是平行四边形，ACMN，NMHCAO，Rt
4、CAORtNMH，NHOC，点C的坐标为(0，)，NH，即点N的纵坐标为，x22x，解得x12，x22.点N的坐标为(2，)和(2，)综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为(4，)，(2，)和(2，)二设顶点式ya(xm)2k(a0)求二次函数的解析式(教材P36例4)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长？解：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系点(1，3)是这段抛物线的顶点，因此可设这段
5、抛物线对应的函数解析式是ya(x1)23(0x3)由这段抛物线过点(3，0)，可得0a(31)23解得a因此y(x1)23(0x3)当x0时，y2.25，也就是说，水管应2.25 m长【思想方法】 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，可设所求二次函数的解析式为ya(xm)2k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式即可已知某二次函数的图象如图4所示，则这个二次函数的解析式为(D)图4Ay2(x1)28 By18(x1)28Cy(x1)28 Dy2(x1)28一抛物线的形状、开口方向与yx24x3相同，顶点坐标为(2，1)，则此抛物线的解析式为(C)Ay
6、(x2)21 By(x2)21Cy(x2)21 Dy(x2)21【解析】 抛物线的形状、开口方向与yx24x3相同，所以a.顶点在(2，1)，所以抛物线的解析式是y(x2)21.已知抛物线yx22xc的顶点在x轴上，你认为c的值应为(C)A1B0C1D2【解析】 根据题意得0，所以c1.抛物线yx22(m1)x2m2m的对称轴为x3，则m的值是(B)A1 B2C3 D4三利用平移规律求二次函数的解析式(教材P34思考)抛物线y(x1)2，y(x1)2与抛物线yx2有什么关系？解：把抛物线yx2向左平移1个单位，就得到抛物线y(x1)2；把抛物线yx2向右平移1个单位，就得到抛物线y(x1)2.
7、【思想方法】 (1)可按照口诀“左加右减，上加下减”写出平移后的解析式；(2)平移所得函数的解析式与平移的先后顺序无关抛物线yx24x3的图象向左平移2个单位后所得新抛物线的顶点坐标为(A)A(0，1)B(0，3)C(2，3) D(2，1)将抛物线yx2x向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式是_yx2x2_在平面直角坐标系中，将抛物线yx24先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为(B)Ay(x2)22 By(x2)22Cy(x2)22 Dy(x2)22已知抛物线yax2bxc与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，3)(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线yx上，并写出平移后抛物线的解析式图5解：(1)抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，可设抛物线解析式为ya(x1)(x3)，把C(0，3)代入得：3a3，解得：a1，故抛物线解析式为y(x1)(x3)，即yx24x3，yx24x3(x2)21，顶点坐标为(2，1)；(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为yx2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线yx上