1、圆周角定理的综合运用一巧作辅助线求角度(教材P89习题24.1第7题)求证：圆内接平行四边形是矩形已知：如图1，已知平行四边形ABCD是O的内接四边形求证：平行四边形ABCD是矩形图1证明：AC180 (圆内接四边形对角互补)又AC(平行四边形对角相等)AC90 所以圆内接平行四边形是矩形如图2，ABC内接于O，ODBC于D，A50，则OCD的度数是(A)A40B45C50D60图2变形1答图【解析】 如图，连接OB，A50，BOC2A100.OBOC，OCDOBC40.如图3，点A，B，C，D在O上，O点在D的内部，四边形OABC为平行四边形，则OADOCD_60_图3变形2答图【解析】 如
2、图，连接DO并延长，四边形OABC为平行四边形，BAOC.AOC2ADC，B2ADC.四边形ABCD是O的内接四边形，BADC180，3ADC180，ADC60，BAOC120.1OADADO，2OCDCDO，OADOCD(12)(ADOCDO)AOCADC1206060.2012青岛如图4，点A，B，C在O上，AOC60，则ABC的度数是_150_【解析】 在优弧上取点D，连接AD，CD，AOC60，ADCAOC30 .ABCADC180，ABC180ADC18030150.故答案为150.图4图5如图5，若AB是O的直径，CD是O的弦，ABD55，则BCD的度数为(A)A35 B45 C5
3、5 D75如图6，A，P，B，C是半径为8的O上的四点，且满足BACAPC60.(1)求证：ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.解：(1)在ABC中，BACAPC60，又APCABC，ABC60，ACB180BACABC180606060，ABC是等边三角形；(2)如图，连接OB，OC，则BOC2BAC120.OBOC，ODBC，OBCOCB(180BOC)30.在RtBOD中，ODB90，OBC30，ODOB84.图6变形5答图二圆周角定理与垂径定理的综合(教材P89习题24.1第5题)如图7，OABC，AOB50，试确定ADC的大小图7解：OABC，ADCAOB25.【思想
4、方法】 垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，利用垂径定理求解如图8，O的弦AB垂直半径OC于点D，CBA30，OC3 cm，则弦AB的长为(A)图8A9 cmB3 cmC. cm D. cm解：CBA30，AOC2CBA60，ABOC，ADO90，OAD30，ODOA3(cm)，由勾股定理得：AD4.5 cm，ABOC，OC过O，AB2AD9(cm)，故选A.如图9，O的半径OD弦AB于点C，连接AO并延长交O于点E，连接EC.若AB8，CD2，则EC的长为(D)图9变形2答图A2 B8C2 D2【解析】 O的半径OD弦AB于点C，AB8，ACBC4，设O的半
5、径为r，则OCr2，在RtAOC中，AC4，OCr2，OA2AC2OC2，即r242(r2)2，解得r5，AE2r10，连接BE，AE是O的直径，ABE90，在RtABE中，AE10，AB8，BE6，在RtBCE中，BE6，BC4，CE2.故选D.如图10，半圆O的直径AB10，弦AC6 cm，AD平分BAC，则AD的长为(A)图10变形3答图A4 cm B3 cm C5 cm D4 cm【解析】 连接OD，OC，作DEAB于E，OFAC于F，CADBAD(角平分线的性质)，DOBOAC2BAD，AOFOED，OEAFAC3 cm，在RtDOE中，DE4 cm，在RtADE中，AD4 cm，故
6、选A.如图11，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB30，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与O交于G，H两点，若O的半径为7，则GEFH的最大值为_10.5_图11变形4答图【解析】 如图，当GH为O的直径时，GEFH有最大值O的半径为7，GH14.连接OA，OB.ACB30，AOB2ACB60，OAOB，AOB为等边三角形，ABOAOB7，点E，F分别是AC，BC的中点，EFAB3.5，GEFHGHEF143.510.5.故答案为10.5.如图12，在O中，直径AB与弦CD相交于点P，CAB40，APD65.(1)求B的大小；(2)已知AD6，求圆心O到BD的距离图12变形5
7、答图解：(1)APDCCAB，CAPDCAB654025.BC25.(2)如图，过点O作OEBD于点E，则DEBE.又AOBO，OEAD63.圆心O到BD的距离为3.如图13所示，AB是O的一条弦，E在O上，设O的半径为4 cm，AB4 cm，(1)求圆心O到弦AB的距离OD；(2)求AEB的度数解：(1)连接OA，OB.ODAB，ADAB2 cm.在RtODA中，OA4 cm，OD2 (cm)；(2)RtODA中，OA4 cm，OD2 cm，OAD30，AOD60.OAOB，ODAB，AOB2AEB120，AEBAOB60.图13图14如图14，已知在O中，AB4，AC是O的直径，ACBD于
8、F，A30，求BD及OF的长解：AB4，ACBD于F，A30，BFAB 42，AF6.AC是O的直径，BD2BF224.设OFx，则OBAFOF6x，在RtOBF中，OB2BF2OF2，即(6x)2(2)2x2，解得x2，即OF2.答：BD的长是4，OF的长是2.如图15，AB是O的直径，AC是O的弦，以OA为直径的D与AC相交于点E.(1)若AC16，求AE的长(2)若C点在O上运动(不包括A，B两点)，则在运动的过程中AC与AE有何特殊的数量关系？请把你探究得到的结论填写在横线上_图15变形8答图解：(1)如图，连接OE，AO是D的直径，OEA90，OEAC.OE过O的圆心O，AECEAC168.(2)若C点在O上运动(不包括A，B两点)，则在运动的过程中AEAC.