1、优秀领先 飞翔梦想 成人成才难点专题：二次函数的综合题【勇于探究的能力】代几结合，突破面积及点的存在性问题类型一抛物线与三角形的综合一、求最值1如图，抛物线yx2bxc交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴是直线x2.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题2如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B
2、的距离之和最短时，求点P的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标【易错4】3如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，与直线yx2交于B，C两点(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由三、与面积相关的问题4如图，坐标平面上，二次函数yx24xk的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k0.若ABC与ABD的面积比为14，则k的值为
3、()A1 B. C. D.5如图，二次函数yax2bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2x6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值类型二抛物线与特殊四边形的综合6抛物线yx26x9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是()A(6，0) B(6，0) C(9，0) D(9，0)7如图，在平面直角坐标系中，沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形，其长、宽分别为4，2，则过A，B，C三点的拋物线的函数关
4、系式是_8 如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15，点B在抛物线yax2(a0)上，则a的值为_9正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点(1)建立适当的平面直角坐标系，直接写出O，P，A三点坐标；求抛物线l的解析式；(2)求OAE与OCE面积之和的最大值参考答案与解析1解：(1)由题意得解得抛物线的解析式为yx24x3.(2)存在点A与点C关于直线x2对称，连接BC与直线x2交于点P，则点P即为所求根据抛物线的对称性可知点C的坐标为(3，0)yx24x3，点B的坐标为(0，3)设直线BC的解析式为y
5、mxn，则解得直线BC的解析式为yx3，直线BC与直线x2的交点坐标为(2，1)，即点P的坐标为(2，1)2解：(1)将A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)代入抛物线yax2bxc中，得解得抛物线的函数关系式为yx22x3.(2)当点P在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时点P的横坐标为1，故点P的坐标为(1，0)(3)点M的坐标为(1，1)，(1，)，(1，)，(1，0)解析：抛物线的对称轴为直线x1.设点M的坐标为(1，m)已知A(1，0)，C(0，3)，则MA2m24，MC2(m3)21m26m10，AC2123210.若MAMC，则MA2MC2
6、，得m24m26m10，解得m1；若MAAC，则MA2AC2，得m2410，解得m；若MCAC，则MC2AC2，得m26m1010，解得m10，m26，当m6时，M，A，C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去综上所述，符合条件的点M的坐标为(1，1)，(1，)，(1，)，(1，0)3(1)解：顶点坐标为(1，1)，设抛物线的解析式为ya(x1)21.又抛物线过原点，0a(01)21，解得a1，抛物线的解析式为y(x1)21，即yx22x.联立抛物线和直线解析式可得解得或点B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(1，3)(2)证明：分别过A，C两点作x轴的垂线，交x轴于点D，E两点，则ADODB
7、D1，BEOBOE213，CE3，BECE，ABOCBO45，ABCABOCBO90，ABC是直角三角形(3)解：假设存在满足条件的点N，设点N的坐标为(x，0)，则点M的坐标为(x，x22x)，ON|x|，MN|x22x|.由(2)在RtABD和RtCEB中，可分别求得AB，BC3.MNx轴，MNOABC90，当ABC和MNO相似时，有或.当时，则有，即|x|x2|x|.当x0时，M，O，N不能构成三角形，x0，|x2|，即x2，解得x或x，此时点N的坐标为或；当时，则有，即|x|x2|3|x|，|x2|3，即x23，解得x5或x1，此时点N的坐标为(1，0)或(5，0)综上所述，存在满足条
8、件的N点，其坐标为或或(1，0)或(5，0)4D解析：yx24xk(x2)24k，顶点D的坐标为(2，4k)，点C的坐标为(0，k)，OCk.ABC的面积为ABOCABk，ABD的面积为AB(4k)，ABC与ABD的面积比为14，k(4k)，解得k.故选D.5解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入yax2bx，得解得(2)如图，过A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，CB，过C作CEAD，CFx轴，垂足分别为E，F.则SOADODAD244.SACDADCE4(x2)2x4，SBCDBDCF4x26x.则SSOADSACDSBCD42x4x26xx28x.S关于x的函数表达式为Sx
9、28x(2x6)Sx28x(x4)216，当x4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.6D解析：令x0，得y9，点B的坐标为(0，9)yx26x9(x3)2，点A的坐标为(3，0)，对称轴为直线x3.点C在抛物线上，且四边形ABCD是平行四边形，BCAD，即BCx轴，点C的坐标为(6，9)，BC6，AD6，点D的坐标为(9，0)故选D.7yx2x解析：依题意得A点的坐标为(4，2)，B点的坐标为(2，6)，C点的坐标为(2，4)设抛物线的函数关系式为yax2bxc，则解得抛物线的函数关系式为yx2x.8解析：连接OB.四边形OABC是边长为1的正方形，BOC45，OB1.过点B作B
10、Dx轴于点D.OC与x轴正半轴的夹角为15，BOD451530，BDOB，OD，点B的坐标为.点B在抛物线yax2(a0)上，a，解得a.9 解：(1)以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，点O的坐标为(0，0)，点A的坐标为(4，0)，点P的坐标为(2，2)设抛物线l的解析式为yax2bxc.由抛物线l经过O，P，A三点，得解得抛物线l的解析式为yx22x.(2)点E是正方形内的抛物线l上的动点，设点E的坐标为(0m4)，SOAESOCEOAyEOCxE44mm24m2m(m3)29，当m3时，OAE与OCE面积之和最大，最大值为9. 第 7 页 共 7 页