1、 第1页 共 5 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2020 年年 1 月测试月测试 文科数学文科数学（一一卷）答案卷）答案 一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A D A B B B C B A D C 二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.)(1,00,1 14.(0
2、,24 15.()1,00,2 16.14 三、解答题三、解答题：共共 70 分 解答应写出文字说明分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：（一）必考题：60 分分 17 解：记 A 表示事件：考生选择生物学科 B 表示事件：考生选择物理但不选择生物学科；C 表示事件：考生至少选择生物、物理两门学科中的 1 门学科；D 表示事件：选择生物但不选择物理 E 表示事件：同时选择生物、物理两门学科（1）()
3、()0 50 2P A.P B.CAB=，,AB=2 分()()()()0.7P CP ABP AP B=+=5 分（2）由某校高二段 400 名学生中，选择生物但不选择物理的人数为 140，可知()350.DP=7 分 因为DEA=9 分()()()15.035.05.0=DPAPEP 12分 第2页 共 5 页 18解：（1）设数列 na的公差为 d（0d），由题意得=512211aaaa，解得=211da 3 分 所以2,12nSnann=6 分（2）因为()()+=+=+=1114114111212nnnnnbn 9 分 所以()41nnTn=+12 分 19解（1）由已知AP面PCD
4、，可得APPC，AP CD，由题意得，ABCD为直角梯形，如图所示，易得/BECD,所以，APBE 又因为 BEAC，所以 BE面APC,故 BE PO 3 分 在直角梯形ABCD中22?ACABAPAPPC=，所以PAC为等腰直角三角形，O 为斜边 AC 上的中点，所以POAC ABCD,面=BEOACBE，所以PO平面ABCD 6 分（2）法一：以O为原点，分别以OBOCOP，为x轴，y轴，z轴的建立直角坐标系 不妨设1BO=A(0,-1,0),B(1,0,0),P(0,0,1),D(-2,1,0),设(,)nx y z=是平面PBD的法向量 满足00n PBn BD=,所以030 xzx
5、y+=+=，则令1x=，解得(1,3,1)n=9 分 2 22sincos,11AB nAB nABn=12 分 法二：（等体积法求 A 到平面 PBD 的距离）第3页 共 5 页 设AB=1，点A到平面PBD的距离为h，计算可得 PB=1,PD=3,BD=5,411=PBDS A PBDP ABDVV=9 分 POShSABDPBD=3131,1,ABDS=22PO=解得22211h=11 分 2sin2211hAB=12 分 20解（1）xxax+ln在(1,0恒成立，得xxxaln在(1,0恒成立。令xxxxhln)(=，则()xxxx22ln2h=2 分 令,2ln2)(=xxxu则(
6、)110u xxx=在(1,0恒成立，所以在(1,0上，()(),01=uxu所以在(1,0上()0 xh，所以()xh在(1,0上递增，所以在(1,0上()()11=hxh，所以1a 5 分（2）即证：41lnlnmnnm，,(0,1)m n 由（1）知，xxx+1ln，即xxx1ln，当且仅当1=x时取到等号，因为,(0,1)m n，所以nmnnnmnmmm=1ln0,1ln0，所以mnnmlnln，9 分 所以414121mlnln2+=mnmnnmnnm，即221()()()()4f m f ngm gn成立 12 分 21解：（1）显然l的斜率存在且不为 0，第4页 共 5 页 设1
7、:+=myxl，则0:=+mymxl，由题意，得+433,43311232mmm 2 分 所以直线 l斜率的取值范围为+433,433.4 分（2）设),(),(2211yxByxA联立方程组=+=xymyx412，得 0442=myy，即4,42121=+yymyy 6 分()1416161m1AB222212+=+=+=mmmyy 7 分 O 到直线 AB 的距离为112+m，()22AOB211S4 m12121mm=+=+9 分+433,433m,+83314,8331412m，223 623 62143 3,143 322+=+=23 3 1 3 311,44m+，即3 31 3 3
8、1,22OABS+所以AOB面积的取值范围是3 31 3 31,22+12 分 （二）选考题：共二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分第一题计分作答时请写清题号作答时请写清题号 22【选修【选修 44：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】解：（1）1C的普通方程为()()22134xy+=，2 分 ain=21cos23s6sin，即023=+ayx 第5页 共 5 页 曲线的直角坐标方程为023=+ayx 5 分 （2）由于圆的半径为 2，圆上恰有一个点到直线023=+ayx的距离为
9、 1，所以圆心()31，到直线023=+ayx的距离为 3，7 分 由32231=+=ad，可得51=或a，9 分 曲线的直角坐标方程为023=+yx或0103=yx 10 分 23【选修【选修 45：不等式选讲】：不等式选讲】（1）解：原不等式化为125210 xx+当52x 时，原不等式为1(25)210 xx+得52x+，即5522x+；当512x 时，原不等式为1(25)210 xx+得523x，即52532x；当1x 时，原不等式为()1(25)210 xx+得72x，与1x 矛盾；所以解为52523x+5 分（2）函数的定义域为2,3，且0y 3 222 3yxx=+()22223
10、 22(2)(3)22xx+=9 分 max22y=，当且仅当22323=xx，即1131=x时取到最大值10 分 2C1C1C2C 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年年 1 月测试月测试 文科文科数学试卷数学试卷（一卷）（一卷）本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的 1已知集合
11、,216UN Ax xn,nN,BxxnN=,，则()UAB=A2,3,4,5,6 B2,4,6 C1,3,5 D3,5 2复数2(1)zmi=(i为虚数单位)为纯虚数，则实数m=A1 B1 C1 D0 3以双曲线2213yx=的顶点为焦点，离心率为33的椭圆的标准方程为 A22143xy+=B22134xy+=C22196xy+=D22169xy+=4函数3ln()xf xx=的部分图像是 A B C D 5已知()0,，3sin35+=，则cos 26+=A2425 B2425 C725 D725 6点,P Q在圆22430 xykxy+=上()Rk，且点,P Q关于直线20 xy+=对称
12、，则该圆的半径为 A3 B2 C1 D2 2 7已知函数()3f xxx=和点()11P，则过点 P 与该函数图像相切的直线条数为 A1 B2 C3 D4 8某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 A37cm2 B37cm3 C37cm6 D37cm 9已知数列na是等比数列，前n项和为nS，则“3152aaa+”是“210nS”的 A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10在OAB中，已知2,1,45|=|=|OBABAOB=，点P满足(,)ROPOAOB=+，其中,满足23+=，则|OP的最小值为 A3 55 B2 55 C63 D62
13、 11边长为 2 的等边ABC和有一内角为30的直角1ABC所在半平面构成60的二面角，则下列不可能是线段1CC的取值的是 A303 B10 C102 D103 12已知不等式1lnaxxaxxe+对()1x,+恒成立，则实数a的最小值为 Ae B2e Ce D2e 二二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 俯视图俯视图侧视图侧视图正视图正视图22111 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 13如图所示的程序框图的输出值(0,1y，则输入值x 14在ABC中，2 sincos()6bAaB=,2b=，若满足条件的ABC有且仅
14、有一个，则实数a的取值范围是 15过点(1,1)P作直线l与双曲线222yx=交于,A B两点，若点 P 恰为线段AB的中点，则实数的取值范围是 16如图，正三角形ABC边长为 2，D是线段BC上一点，过C点作直线AD的垂线，交线段AD的延长线于点E，则ADDE的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每题为必考题，每道道试试题考生都必须作答第题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：（一）必考题：60 分分 17（12 分
15、）根据某省的高考改革方案，考生应在 3 门理科学科（物理、化学、生物）和 3 门文科学科（历史、政治、地理）的 6 门学科中选择 3 门学科参加考试。根据以往统计资料，1 位同学选择生物的概率为 0.5，选择物理但不选择生物的概率为 0.2，考生选择各门学科是相互独立的（1）求 1 位考生至少选择生物、物理两门学科中的 1 门的概率；（2）某校高二段 400 名学生中，选择生物但不选择物理的人数为 140，求 1 位考生同时选择生物、物理两门学科的概率 18（12 分）设数列 na是公差不为零的等差数列，其前n项和为nS,11a=若125,a a a成等比数列（1）求na及nS；（2）设211
16、1nnba+=()nN，求数列 nb前n项和nT 19（12 分）如图，四棱锥-P ABCD中，AP 平面PCD,/ADBC,2DAB=,12APABBCAD=,E为AD的中点，AC与BE相交于点O（1）求证：POABCD 平面；（2）求AB与平面PBD所成角的正弦值 20（12 分）已知()lnf xx=,()g xx=（1）若()()()af xg xg x+在(0,1恒成立，求实数a的取值范围；（2）若m,0n,1mn+=，求证221()()()()4f m f ng mg n 21（12 分）如图，已知圆()()22221Q xy+=：，抛物线2:4C yx=的焦点为 F，过 F 的直
17、线l与抛物线C交于,A B两点，过 F 且与l垂直的直线l与圆 Q 有交点（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）求AOB面积的取值范围（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分作答时请写清题号作答时请写清题号 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为12cos32sinxy=+=+（其中为参数,R）在极坐标系（以坐标原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，曲线2C的极坐标方程为sin6a=（1）求曲线1C的普通方程和曲线2C的直角坐标方程；（2）若曲线1C上恰有一个点到曲线2C的距离为 1，求曲线2C的直角坐标方程 23选修 45：不等式选讲（10 分）（1）解不等式12532 20 xx+；（2）求函数3 242 3yxx=+的最大值 x（第 16 题图）（第 19 题图）（第 21 题图）(第 13 题图)（第 21 题图）（第 19 题图）