1、1 2020 年大连市高三双基测试年大连市高三双基测试 数学（理科）参考答案与评分标准 数学（理科）参考答案与评分标准 说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一选择题一选择题（1）（A）；（2）（B
2、）；（3）（D）；（4）（A）；（5）（C）；（6）（B）；（7）（D）；（8）（C）；（9）（B）；（10）（D）；（11）（C）；（12）（C），（D）.二二.填空题填空题（13）2；（14）1；(15)4 3；16 9,42.三三.解答题解答题（17）(本小题满分 12 分)解：(I)连接AC，CE，ACE即为所求，3 分 ABCD是菱形，ADAB，又PAAB，ADPA，E为PD中点，AEPD，同理CEPD，又AECEE，AECE，PD.6 分(II)连接BD，交AC于O，连接PO，ABCD是菱形，ACBD，且O为AC，BD中点，PAPC，ACPO，同理BDPO，又ACBDO，平面ACB
3、DABCD，POABCD面，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，7 分 设2PAPCAB，60ABC，2AC，2 3BD，各点坐标为(0,1,0)A，(3,0,0)B，(3,0,0)D，(0,0,3)P(3,0,3)DP，(3,1,0)AB，(0,1,3)AP，EDCBAPzyxOEDCBAP大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 2 PD，平面的一个法向量为(3,0,3)DP，8 分设平面PAB的一个法向量为(,)x y zn，则00ABAPnn，即3030 xyyz，设1x，则3y ，1z，(1,3,1)n，10
4、分设平面与平面PAB所成的锐二面角大小为，则2 310cos|cos,|5|65DPDPDPnn|n综上平面与平面PAB所成的锐二面角余弦值为105 12 分(18)(本小题满分 12 分)解：（）方法一：nan是公比为2的等比数列，21212,421aaaa2 分 又2nna是公差为1的等差数列，2121122aa，4 分解得1228aa6 分 方法二：nan构成公比为2的等比数列，11(1)12,2nnnnannaaann2 分 又2nna构成公差为1的等差数列，11122nnnnaa4 分 由解得：2nnan1228aa6 分 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连
5、教育学院 大连教育学院 3（）1122,21nnnnnaaann7 分 方法一：1231231 22 23 22 nnnSaaaan 234121 22 23 22 nnSn9 分 两式作差可得：231112(1 2)222222(1)221 2nnnnnnSnnn ，1(1)22nnSn12 分 方法二：12(22)2(24)2()nnnnannnnN，9 分 设1(24)2nnbn，则1nnnabb.122132111()()()(22)22nnnnnnSaaabbbbbbbbn，1(1)22nnSn12 分 (19)(本小题满分 12 分)解：(I)设事件A表示：辩论队员甲收到队长的通知
6、信息，则3()8P A，5()8P A，1 分 设事件B表示：辩论队员甲收到副队长的通知信息，则3()8P B，5()8P B，2 分 设事件C表示：辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息，则2539()1()()1()864P CP A P B ，所以辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息的概率为3964.4 分(II)由题意可得随机变量X可取值为 3，4，5，6，5 分 则3833881(3)56CP XCC，211865338815(4)56CCCP XCC，122875338815(5)28CCCP XCC，338533885(6)28CCP XCC，9 分 所以随机变量X的分布列为：大连
7、教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 4 X 3 4 5 6 P 156 1556 1528 528 10 分 其数学期望11515539()3456565628288 E X 12 分(20)（本小题满分 12 分）解：（）2222121(2)1()(1)(1)(1)xaaxaxxg xxxxxx1 分 10,222xxaax，4a 时，()0g x恒成立，所以()g x在(0,)单调递增，没有单调递减区间.2 分 4a 时，设2()(2)1m xxax，则对称轴2020,402axaa ，解不等式()0m x 可得：2(2)42aaax，或2(2)
8、42aaax.所以此时()g x的单调递增区间为2(2)4(0,)2aaa和2(2)4(,)2aaa，单调递减区间是22(2)4(2)4(,)22aaaaaa.3 分 综上：4a 时，单调递增区间是(0,)，没有单调递减区间；4a 时，单调递增区间为2(2)4(0,)2aaa和2(2)4(,)2aaa，单调递减区间是22(2)4(2)4(,)22aaaaaa.4 分（）（i）1()()(1)ln(1)xh xfxf xaxexax，1()1xh xeax在(0,)单调递增，又因为(0)0ha ，ln(1)1ln(1)(ln(1)0ln(1)1ln(1)1aahaeaaa，大连教育学院 大连教育
9、学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 5 0(0,ln(1)xa，使得0()0h x，且0(0,)xx时，()0h x，0(,)xx时，()0h x，()h x在0(0,)x单调递减，0(,)x 单调递增，()h x在(0,)上有且仅有一个零点，所以此零点为极小值点0 x.8 分（ii）由（i）得00()0()0h xh x，即00000101ln(1)0 xxeaxexax，解得：0011xaex，且00000(1)ln(1)01xxxexx.9 分 设()(1)ln(1)1xxu xxexx，（(0,ln(1)xa）22111()()1(1)(1)xxu xx ex
10、exxx ，则()u x在(0,ln(1)xa单调递减.因为1131()ln02223ue，1(1)ln202u，01(,1)2x.11 分 又因为1()1xv xex在1(,1)2单调递增，12121(),(1)232veve，122132eae12 分 (21)（本小题满分 12 分）解：（）12ca，2222143xycc，又椭圆E经过点3(1,)2，1c，椭圆E的标准方程为22143xy.3 分（）方法一：l的方程为ykxm，设1122(,),(,)C x yD xy，联立方程组22143xyykxm，化简得222(43)84120kxkmxm，由0 解得2234km，且2121222
11、8412,4343kmmxxxxkk.4 分 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 6 12121212922224 ACADyykxm kxmkkxxxx，221 212(49)(418)()4360kx xkmxxm，222224128(49)(418)43604343mkmkkmmkk 6 分 化简可得：22230kkmmkm或2km（舍），满足0 7 分 直线l的方程为ykxk，直线l经过定点(1,0).8 分 方法二：设l的方程为xmyn，设1122(,),(,)C x yD xy，联立方程组22143xyxmyn，化简得222(34)6
12、3120mymnyn，0 解得：2234mn，且21212226312,3434mnnyyyymm 4 分 12121212922(2)(2)4ACADyyy ykkxxmynmyn，221212(94)9(2)()9(2)0my ym nyyn，6 分 222223126(94)9(2)9(2)03434nmnmm nnmm 化简可得：2320nn，1n 或者2n （舍）满足0 7 分 直线l经过定点(1,0).8 分 方法三：设2xxyy，则有22(2)()143xy，22()()043xyx，设l方程为1mxny，22()()()043xyx mxny，大连教育学院 大连教育学院 大连教
13、育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 7 21034knkm，12194143 mk k，1m，:1l xny，21 xny，1 xny，直线l经过定点(1,0).8 分（）方法一：l的方程为ykxm，设1122(,),(,)C x yD xy，联立方程组22143xyykxm，化简得222(43)84120kxkmxm，由22=48(43)0km，且21212228412,4343kmmxxxxkk.0OCODOB，点1212(,)Bxxyy，又点B在椭圆E上，221212()()143xxyy，222211221212221434343xyxyx xy y，12121432 x
14、 xy y.222212121223(4)=()43mky yk x xkm xxmk 2222222341,443043432 mmkmkkk9 分 222222248(43)12|3 1|1=1434|kmmkCDkkkmm.10 分 点点B到直线l距距离 1212121222|()()|()()|=11kxxyymkxxkxmkxmmdkk 11 分 23|=1mk 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 8.19|22BCDSCD d.方法二：前面同法一 点点O到直线l距离2|1mdk11 分 13|22OCDSCD d，932BCDOCDS
15、S.12 分 方法三：设(2cos,3sin),(2cos,3sin)CD，0OCODOB，点(2cos2cos,3sin3sin)B，又点B在椭圆E上，22(2cos2cos)(3sin3sin)1,43 1cos()2，10 分 1|(2cos2cos)(3sin3sin)2BCDS 112cos3sin)(2cos3sin)|22(-）（-11 分 33|sin()|2，932BCDOCDSS.12 分 (22)（本小题满分 10 分）选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解：(I)2sin4cos，22sin4 cos，曲线C的直角坐标方程为24yx，3 分 直线l的参数
16、方程为2cossinxtyt（t 为参数），5 分 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 9(II)2cossinxtyt与24yx联立可得：22sin4 cos80tt，0，1224cossintt，1 228sint t，所以2242121 2222222121 2216cos16()21111161sinsin8|()644()sinttt tMAMBttt t 10 分(23)（本小题满分 10 分）选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 证明：（）333332+22()aba bab，223333+()842abab5 分(II)方法一：3322+()()abab aabb2()()3ababab 22331()()()()44abababab+4a b 10 分 方法二：333+2+23 4aa 333+2+23 4 bb 由+得4812()ab+4a b 10 分 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院