1、2020届四省八校高三第三次教学质量检测考试数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】先解绝对值不等式化简集合的表示，再根据集合并集的定义，结合数轴进行运算即可.【详解】，.故选：C【点睛】本题考查了集合并集的定义，考查了解绝对值不等式，考查了数学运算能力.2在复平面内，与复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D.【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.3已知向量，若，则向量与的夹角为（
2、 ）ABCD【答案】D【解析】运用平面向量数量积的坐标表示的夹角公式直接运算求解即可.【详解】，又，.故选：D【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示的夹角公式，考查了数学运算能力.4甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是，两人和棋的概率是，则乙不输的概率是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据事件的和事件概率直接求解即可.【详解】由题意可知，乙获胜的概率为，则乙不输的概率为.故选：C【点睛】本题考查了和事件概率公式，属于基础题.5实验机构对人体脂肪百分比和年龄（岁）的关系进行了研究，通过样本数据，求得回归方程，有下列说法：某人年龄为40岁，有较大的可能性估计他的体内脂肪含量约；年龄每增加一岁，人体脂
3、肪百分比就增加；人体脂肪百分比和年龄（岁）成正相关.上述三种说法中正确的有（ ）A3个B2个C1个D0个【答案】B【解析】根据代入求值、以及回归直线方程斜率的意义可以判断三种说法的正确性，选出正确答案.【详解】当，故正确；年龄每增加一岁，人体脂肪百分比增加约，故错误；因为，所以正确.故选：B【点睛】本题考查了线性回归方程的斜率的意义，属于基础题.6校学生会调查有关本学期学生活动计划的意见，打算在全校范围内抽取部分同学作为样本，该校有高一学生1000人，高二学生800人，高三学生600人，若利用分层抽样，在高一学生中抽取100人，则应在高二学生中抽取（ ）A100人B80人C600人D240人【
4、答案】B【解析】根据分层抽样的方法，根据抽样比列方程，求解方程即可.【详解】设在高二抽取人，由，可知.故选：B【点睛】本题考查了分层抽样的方法，属于基础题.7执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A45B15C5D135【答案】A【解析】根据程序框图判断执行的功能，然后计算求值即可.【详解】该程序框图是利用辗转相除法求225与135的最大公约数，225与135的最大公约数是45.故选：A【点睛】本题考查了辗转相除求两个正整数最大公约数，考查了循环结构，考查了判断程序框图功能的能力.8在平面直角坐标系中，过点的直线与圆：相切，且直线与圆：相交于，两点，则（ ）ABC2D【答案】B【解析】根据直
5、线与圆的相切关系可以求出直线方程，再利用弦长公式，结合点到直线距离公式可以求出.【详解】根据题意易知直线：，因直线交于，两点，故：，圆心到的距离.由.故选：B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆弦长的计算，考查了数学运算能力.9若在区间上是增函数，则的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用二倍角的余弦公式、正弦公式、辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦型函数的单调性结合题意求出的最大值【详解】，由求得的增区间为；，由题有，的最大值为.故选：A【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式，考查了已知正弦型函数在区间上的单调性求参数问题，考查了数学运算能力.10动直线
6、：过定点，动直线：过定点，若动直线与交于点（异于点，），且，则满足题意的点的个数为（ ）A0B1C2D3【答案】C【解析】先判断两条直线所过的定点，再判断两直线的位置关系，可以判断出点的轨迹方程，再结合已知可以确定满足题意的点的个数【详解】由题意得：直线恒过，直线恒过且于点，则点在以线段为直径的圆：上（除去点，），又点在：上，点即与的交点，由于与相交，故满足题意的点共有2个（点，均不在上，从而这四个点不可能是点.）故选：C【点睛】本题考查了直线过定点问题，考查了两直线的位置关系，考查了求点的轨迹，考查了推理论证能力.11已知函数，过点可作两条直线与的图象相切，则的取值范围是（ ）ABCD【答案
7、】B【解析】对函数求导，求出函数切线方程，由题意可以转化为方程与两个不相等的正根，通过构造函数，利用新构造函数的导数，判断单调性最后求出的取值范围.【详解】由题意得，设切点为，切线斜率为，切线方程为：，因为切线过点，所以，即.由于过点可作两条直线与的图象相切，所以方程有两个不相等的正根，令，所以在上单减，上单增，且，因为时，时，结合的图象，可知时满足题意.故选：B【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了求函数的切线方程，考查了已知方程根的情况求参问题.12已知点为坐标原点，点是椭圆：的左焦点，点、分别为椭圆的左、右顶点和上顶点.点为椭圆上一点，且轴，直线交线段于点，若直线交线段于点，且，则椭圆
8、的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】在图中可以找到两对相似三角形，这样可以得到比例式子，根据题中所给的已知，可以求出椭圆的离心率的取值范围.【详解】如图可知：，由，又.【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理，考查了不等式的性质，考查了求椭圆离心率的取值范围，考查了数学运算能力.二、填空题13抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则点的坐标为_.【答案】【解析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标.【详解】解析：，代入，即.故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.14如图所示的茎叶图记录了甲、乙两人进入高三后5次数学模拟考试的成绩
9、（百分制），现对这两人的成绩有如下评价：甲的平均成绩高于乙的平均成绩；乙的成绩的极差为4；甲的成绩的众数为91；甲的成绩的标准差大于乙的成绩的标准差.以上评价中正确的有_（填序号）.【答案】【解析】根据茎叶图可以求出甲、乙两人的平均数、标准差，极差、众数的定义，可以判断出哪些评价是正确的.【详解】，故错误；正确；正确；甲、乙的成绩标准差分别为和，故正确.故答案为：【点睛】本题考查了根据茎叶图求平均数、极差、标准差、众数，考查了数学运算能力.15双曲线的两条渐近线分别为，点为其一个焦点，若点关于直线的对称点在直线上，则该双曲线的焦距为_.【答案】8【解析】根据题意结合双曲线的对称性可以求出其中一
10、条渐近线的斜率，最后可以求出双曲线的焦距.【详解】如图：设关于的对称点为，则，又由双曲线性质：，则焦距为.【点睛】本题考查了求双曲线的焦距，考查了双曲线的对称性，考查了数学运算能力.162019年1月1日新修订的个税法正式实施，规定：公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算（预扣）：全月应缴纳所得额税率不超过3000元的部分超过3000元至12000元的部分超过12000元至25000元的部分国家在实施新个税时，考虑到纳税人的实际情况，实施了个人所得税税前专项附加扣税暂行办法，具体如下表：项目每月税前抵扣金额（元）
11、说明子女教育1000一年按12月计算，可扣12000元继续教育400一年可扣除4800元，若是进行技能职业教育或者专业技术职业资格教育一年可扣除3600元大病医疗5000一年最高抵扣金额为60000元住房贷款利息1000一年可扣除12000元，若夫妻双方在同一城市工作，可以选择一方来扣除住房租金1500/1000/800扣除金额需要根据城市而定赡养老人2000一年可扣除24000元，若不是独生子女，子女平均扣除.赡养老人年龄需要在60周岁及以上老李本人为独生子女，家里有70岁的老人需要赡养，有一个女儿正读高三，他每月还需缴纳住房贷款2734元.若2019年11月老李工资，薪金所得为20000元
12、，按照个人所得税税前专项附加扣税暂行办法，则老李应缴纳税款（预扣）为_元.【答案】890【解析】由题意首先确定老李需要纳税的钱数，然后结合税率计算需要缴纳的个人所得税即可.【详解】根据题意，老李应纳税的工资、薪金为元，其中应纳税额所得额为.缴纳的个人所得税（预扣）为元，故答案为：890【点睛】本题主要考查信息处理题的解法，实际问题的数学建模等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17已知正项数列的前项和为，且和满足：.（1）求的通项公式；（2）设数列，求的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）先求出首项，对递推公式再递推一步，两个式子相减，最后可以判断出数列是等差数列，最后
13、求出通项公式即可；（2）利用错位相减法可以求出的前项和.【详解】（1）当时，解得：，当且时，整理可得：，数列以2为首项，4为公差的等差数列，.（2）由（1）知，.则，.【点睛】本题考查了利用递推公式判断一个数列是等差数列，考查了错位相减法求数列的和，考查了数学运算能力.18孔子曰：温故而知新.数学学科的学习也是如此.为了调查数学成绩与及时复习之间的关系，某校志愿者展开了积极的调查活动：从高三年级640名学生中按系统抽样抽取40名学生进行问卷调查，所得信息如下：数学成绩优秀（人数）数学成绩合格（人数）及时复习（人数）204不及时复习（人数）106（1）张军是640名学生中的一名，他被抽中进行问卷
14、调查的概率是多少（用分数作答）；（2）根据以上数据，运用独立性检验的基本思想，研究数学成绩与及时复习的相关性.参考公式：，其中为样本容量临界值表：0.250.150.100.050.0250.0101.3232.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）（2）有的把握认为数学成绩与及时复习有关【解析】（1）根据概率定义直接求解即可；（2）根据列联表，利用所给的公式求出的值，最后根据临界表，做出判断.【详解】解析：（1）（2）由题可得如下列联表优秀合格合计及时复习20424不及时复习10616合计301040根据列联表中的数据，可得随机变量的观测值，因为，所以有的把握认为数学成
15、绩与及时复习有关.【点睛】本题考查了古典概型概率公式，考查利用对实际问题做出判断，考查了数学运算能力.19在中，内角，所对的边长分别为，且满足，.（1）求角的大小；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据正弦定理和余弦定理求出角的大小；（2）根据正弦定理求出的值，再通过判断，利用同角的三角函数之间的关系求出，最后求出的值，最后利用二角差的正弦公式求出的值.【详解】解析：（1）由正弦定理得，又由余弦定理有，又，.（2）由正弦定理有，由知，从而，.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，考查了二角差的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了数学运算能力.20已知函数，.（1
16、）若，求的极值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的极小值为，无极大值（2）【解析】（1）对函数进行求导，判断函数的单调性，最后根据极值的定义求出极值即可；（2）进行常变量分离，构造函数，求出新函数的导数，以及它的单调性，求出最值，最后求出实数的取值范围.【详解】解析：（1）令，（其中），解得.当时，；当时，所以在上单减，上单增，从而在时取得极小值为，无极大值.（2）若在上恒成立，即在上恒成立，记，则，记，则，当时，恒成立，则在单调递减，因此，即，故函数在单调递减，则，故.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值和最值，考查不等式恒成立问题，考查了常变量分离法、构造函数法.21
17、在平面直角坐标系中，动点满足：直线与直线的斜率之积恒为，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点位于第一象限，过点，分别作直线，直线，直线，交于点.若点的横坐标为-1，求点的坐标；直线与曲线交于点，且，求的取值范围.【答案】（1）（2）点的坐标为【解析】（1）设出动点坐标，根据斜率公式，结合已知可以直接得到曲线的方程；（2）设直线的方程根据已知，可以得到的直线方程，解方程组求出的坐标，再判断已知的两直线所过的定点，最后求出的坐标；直线与曲线的方程联立，根据所给的向量式子，结合根与系数关系最后可以求出的取值范围.【详解】解析：（1）设动点，由.（2）设直线：，由位于第一象限得，则由，知
18、，联立，由题易得直线和的方程分别为：，：.解得其交点的坐标为，由，解得，.由此可得点的坐标为.联立，由根与系数的关系有.由.因为.【点睛】本题考查了直接法求轨迹，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了数学运算能力.22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线、的极坐标方程；（2）极坐标方程为的射线与曲线、分别交于点，（且点，均异于极点），求的值.【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为（2）【解析】（1）根据同角的三角函数关系式把曲线、曲线的参数方程化为普通方程，再利用极坐标和直角坐标之间的关系求出曲线的极
19、坐标方程；（2）根据求出点、点极坐标，最后求出的值.【详解】解析：（1）的普通方程为，极坐标方程为，的普通方程为，极坐标方程为.（2）根据题意，点极坐标为，点极坐标，即，.【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程再化为极坐标方程的过程，考查了极坐标下极径的意义，考查了数学运算能力.23已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】(1)由题意零点分段求解绝对值不等式即可；(2)由题意结合题中所给的式子的特点利用柯西不等式求解其最值即可.【详解】（1）化简得.当时，由，即，解得，又，所以；当时，由，即，解得，又，所以；当时，不满足，此时不等式无解；综上，不等式的解集为：.（2）由于，故，由柯西不等式：上式.当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第 18 页 共 18 页