1、高三数学答案第 1 页（共 7 页）常州市教育学会学生学业水平监测高三数学参考答案2020 年 1 月一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共14 小题，每小题小题，每小题5 分，共计分，共计70分分1.1,12.13.104.，05.26.1077.518.129.6410.2211.212.1413.2171,10,217114.26135二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分15（本小题满分 14 分）解：（1）在ABC中，0B，则sin0B，因为3cos3B，所以2236sin1 cos1()33BB 3 分在ABC中，ABC，所以sinsin(
2、)sin()CABAB，5 分所以sinsin()sincoscossin333CBBB331636232368 分（2）由余弦定理得2222cosbaacBc，则223(2)123cc，10 分所以22 3103 cc，3(3)()03cc，12 分因为303c，所以30c，即3c14 分16（本小题满分 14 分）证明：（1）取PC，BC的中点,E F，连结 ME，EF，FN，三角形PCD中，M，E 为PD，PC的中点，所以EMCD，12EMCD；三角形ABC中，F，N 为 BC,AC 的中点，所以FNAB，12FNAB，因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD ABCD，高三数学答案第 2
3、 页（共 7 页）从而EMFN，=EMFN，所以四边形EMNF是平行四边形.4 分所以MNEF，又EF平面PBC，MN平面PBC，所以MN平面PBC.6 分（2）因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.因为四边形ABCD是矩形，所以ADCD.8 分又因为PAADA，PA 平面PAD，AD 平面PAD，所以CD平面PAD.又AM平面PAD，所以CDAM.10 分因为APAD，M 为PD的中点，所以AMPD，又因为PDCDD，PD平面PCD，CD平面PCD，所以AM平面PCD12 分又PC平面PCD，所以PCAM14 分17（本小题满分 14 分）解：（1）圆 A:22(2)1xy的
4、圆心)0,2(A，半径1r，与 x 轴交点坐标为)0,3(),0,1(点2F在圆 A:22(2)1xy上，所以)0,1(2F，从而2a，1c，所以3122222cab，所以椭圆C的标准方程为13422yx.4 分（2）由题，设点),(11yxM，0,2011yx；点),(22yxN，0,022yx.则11(2,)AMxy，22(2,)ANxy，由132 AMAN知点 A，M，N 共线.5 分直线 AM 的斜率存在，可设为 k（k0），则直线 AM 的方程为(2)yk x，由22(2)(2)1yk xxy，得222212111kxkkkyk，或222212111 kxkkkyk，所以222211
5、(2)11kkkNkk，7 分高三数学答案第 3 页（共 7 页）由22(2)143yk xxy，得2222(34)1616120kxk xk，解得20 xy，或22286341234kxkkyk，所以2228612()3434kkMkk，10 分代入132 AMAN得222222286121311(2)()3434211 kkkkkkkkk，22(49)(5251)0kk，又 k0，得32k，13 分所以)23,1(M，又)0,1(1F，可得直线MF1的斜率为43)1(12314 分18（本小题满分 16 分）解：（1）在图 1 中连结 AC,BD 交于点 O，设 BD 与 FG 交于点 M
6、，在图 2 中连结 OP，因为 ABCD 是边长为210cm 的正方形，所以 OB=10（cm)，由 FG=x，得2xOM，210 xBMPM，2 分因为,2210,xxOMPM即所以100 x4 分因为220)210(2214xxxxPMFGS，6 分由75202 xx，得155x，所以105 x答：x的取值范围是105 x8 分（图 1）（图 2）高三数学答案第 4 页（共 7 页）（2）因为在OMPRT中，222PMOPOM，所以xxxOMPMOP10100)2()210(2222，54221010031101003131xxxxOPFGV，100 x，10 分设5410100)(xxx
7、f，100 x，所以)8(5005004)(343xxxxxf，令0)(xf，得08xx或（舍去）12 分列表得，所以当 x8 时，函数)(xf取得极大值，也是最大值，14 分所以当 x8 时，V 的最大值为35128答：当 x8 cm 时，包装盒容积 V 最大为35128（cm3）16 分19（本小题满分 16 分）（1）函数()f x的定义域为(0,)，21()(22)ln(2)2(1)ln222(1)(ln1)fxaxxaxxaxaxxaxaxxx，2 分则(1)2(1)2fa，所以0a，3 分此时()2 ln1f xxx，定义域为(0,),()2(ln1)fxx，令()0fx，解得1e
8、x；令()0fx，解得1ex；x(0，8)8(8，10)f(x)0f(x)极大值高三数学答案第 5 页（共 7 页）所以函数()f x的单调增区间为1(,)e，单调减区间为1(0,)e6 分（2）函数22()(2)ln12af xaxxxx在区间1,e上的图象是一条不间断的曲线由（1）知()2(1)(ln1)fxaxx，1）当0a时，对任意(1,e)x，10,ln10 axx，则()0fx，所以函数()f x在区间1,e上单调递增，此时对任意(1,e)x，都有()(1)102 af xf成立，从而函数()f x在区间(1,e)上无零点；8 分2）当0a时，令()0fx，得1ex或1a，其中11
9、e，若11a，即1a，则对任意(1,e)x，()0fx，所以函数()f x在区间1,e上单调递减，由题意得(1)102 af，且22(e)e2ee102 afa，解得22(2e1)23e a，其中2222(2e1)3e4e2(1)03e3e，即22(2e1)13e，所以a的取值范围是21 a；10 分若1ea，即10ea，则对任意(1,e)x，()0fx，所以函数()f x在区间1,e上单调递增，此时对任意(1,e)x，都有()(1)102 af xf成立，从而函数()f x在区间(1,e)上无零点；12 分若11e a，即11e a，则对任意1(1,)xa，()0fx；所以函数()f x在区
10、间11,a上单调递增，对任意1(1,xa，都有()(1)102 af xf成立；对任意1(,e)xa，()0fx，函数()f x在区间1,ea上单调递减，由题意得22(e)e2ee102 afa，解得22(2e1)3e a，其中2222(2e1)13e4e2e2()0e3e3e3e ，即22(2e1)1()e3e ，所以a的取值范围是22(2e1)13e a15 分综上可得，实数a的取值范围是22(2e1)23e a 16 分高三数学答案第 6 页（共 7 页）20（本小题满分 16 分）解：（1）设等比数列na公比为q，由328=4=1aa得2118=4=1a qa q，解得11=2aq，故
11、1=2nna.3 分（2）22211113113(1)|(1)|()+|=()+24224224nnnnnn|aa|.5 分对任意正整数m，当*nN，且nm时，有1110222mn，则211313()+=122444n，即2(1)|1nn|aa成立，故对任意正整数m，数列na，21na 是“(,1)m接近的”.8 分（3）由11()1=2nnnnnS bbb b，得到111()=2nnnnnS bbb b，且10nnbb，从而10nnbb，于是11=2()nnnnnb bSbb.9 分当1n 时，1 2121=2()bbSbb，1=1b，解得22b，当2n时，111112()2()nnnnnn
12、nnnnnb bbbbSSbbbb，又0nb，整理得112nnnbbb，所以11nnnnbbbb，因此数列 nb为等差数列.又因为1=1b，2=2b，则数列 nb的公差为1，故nbn.11 分根据条件，对于给定正整数m（5m），当*nN且nm时，都有221()|2()|nnn|bk|nkLa成立，即2222nnLnkLn 对1,2,3,nm都成立.12 分考察函数2()2xf xx，()2 ln22xfxx，令()2 ln22xg xx，高三数学答案第 7 页（共 7 页）则2()2(ln2)2xg x，当5x时，()0g x，所以()g x在5,)上是增函数.又因为5(5)2 ln2 100
13、g，所以当5x 时，()0g x，即()0fx，所以()f x在5,)上是增函数.注意到(1)=1f，(2)(4)0ff，(3)1f，(5)7f，故当1,2,3,nm时，22nLn 的最大值为22mLm，22nLn的最小值为1L.14 分欲使满足的实数k存在，必有221mLmL，即2212mmL，因此L的最小值2212mm，此时2212mmk.16 分高三数学答案第 1 页（共 2 页）常州市教育学会学生学业水平监测数学（附加题）参考答案2020 年 1 月21【选做题】在【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做两题三小题中只能选做两题，每小题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分A解
14、：（1）1322112A 4 分（2）点(,)a b在矩阵1 32 4A对应的变换作用下得到点(4,6)，所以46A ab，6 分所以1324412616112A ab，8 分所以1,1ab，得2ab10 分B解：因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是2 cosr又因为点(2 3,)6P在圆上，所以2 32 cos6r，解得2r.因此所求圆的极坐标方程是4cos.10分C解：函数261xxyx的定义域为0,)，10 x.2 分226(1)4(1)999(1)42(1)421111xxxxxxxxxx，当且仅当911 xx，即4x时取到“=”.8 分所以当4x时，函数261
15、xxyx的最小值为 2.10 分【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分22解：（1）记“取出的 3 个样品中有优等品”为事件 A，则A表示“取出的 3 个样品中没有优等品”，3343(1 0.3)1000P A，所以 3436571110001000 P AP A，3 分答：取出的 3 个样品中有优等品的概率是6571000.4 分（2）(3,0.3)XB，33()0.3(1 0.3)0 1 2 3 kkkP XkCk，6 分随机变量 X 的分布如下表：高三数学答案第 2 页（共 2 页）X0123P34310004411000
16、18910002710008 分1091000273100018921000441110003430)(XE答：随机变量 X 的数学期望是109.10 分23解（1）110|3,0,14,5,7,8 iAt taaaA i其中，所以1A中所有元素的和为 24；集合nA中元素的个数为12n.2 分（2）取2 nsl，下面用数学归纳法进行证明.当2n时，213,14,16,17 22,23,25,26A，3 分取1234123413,17,23,25,14,16,22,26bbbbcccc，有1234123478bbbbcccc，且22222222123412341612bbbbcccc成立.4
17、分假设当nk，*Nk且2k时，结论成立，有2211kkiiiibc，且222211kkiiiibc成立.当1nk时，取111111112122223,3,3,2 3,2 3,2 3kkkkkkkkkBbbbccc，111111112122223,3,3,2 3,2 3,2 3kkkkkkkkkCcccbbb，此时1122kkBC，无公共元素，且11122kkkBCA.6 分有222211111111(3)(2 3)(3)(2 3)kkkkkkkkiiiiiiiibccb，且2222221 21 222111 21 2111111(3)(2 3)2 34 32(3)(2 3)kkkkkkkkkk
18、kkkiiiiiiiiiiiibcbcbc，2222221 21 222111 21 2111111(3)(2 3)2 34 32(3)(2 3)kkkkkkkkkkkkkiiiiiiiiiiiicbcbcb，由归纳假设知2211kkiiiibc，且222211kkiiiibc，所以22221 21 21 21 21111(3)(2 3)(3)(2 3)kkkkkkkkiiiiiiiibccb，即当1nk时也成立；9 分综上可得：能将集合nA，2n分成两个没有公共元素的子集123,ssBb b bb和123,llCc c cc，*,Ns l，使得2222221212slbbbccc成立.10
19、分常州市教育学会学业水平监测常州市教育学会学业水平监测高三数学高三数学 2020.1一、填空题：一、填空题：1.已知集合21,0,1,|0ABx x，则AB 2.若复数z满足1,z ii 则z的实部为 3.右图是一个算法的流程图，则输出的S的值是 4.函数21xy 的定义域是 5.已知一组数据 17,18,19,20,21，则该组数据的方差是 6.某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中任选 2 门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是 7.已知函数231,0,1(),0,xxf xxx 则(8)f f 8.函数3sin(2),0,3yxx取得最
20、大值时自变量x的值为 9.等比数列 na中，若12341,4,2,aaa a成等差数列，则17a a 10.已知cos22cos，则tan2 11.在平面直角坐标系xOy中，双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右顶点为 A,过 A 做x轴的垂线与 C 的一条渐近线交于点 B,若2OBa，则 C 的离心率为 12.已知函数()lg(2),f xx互不相等的实数,a b满足()()f af b，则4ab的最小值为 13.在平面直角坐标系xOy中，圆222:22210C xaxyaya 上存在点 P 到点（0,1）的距离为 2，则实数 a 的取值范围是 14.在ABC中，,3A点 D 满足2
21、3ADAC，且对任意,xR xACABADAB 恒成立，则cosABC 二、解答题：15.在ABC中，角,A B C的对边分别是,a b c，已知31,cos3aB。（1）若3A，求sinC的值；（2）若2b，求c的值.16.如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面 ABCD，四边形ABCD是矩形，APAD，点,M N分别是线段,PD AC的中点。求证：（1）/MN平面PBC；（2）.PCAM17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F，椭圆右顶点为A，点2F在圆22(2)1xy上。（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）点M在椭圆 C 上，
22、且位于第四象限，点 N 在圆 A 上，且位于第一象限，已知132AMAN ，求直线1FM的斜率。18.请你设计一个包装盒，ABCD是边长为10 2cm的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，在沿虚线折起，使得,A B C D四个点重合于图 2 中的点 P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（图 2 所示），设正四棱锥 P-EFGH 的底面边长为 x（cm）.(1)若要求包装盒侧面积 S 不小于 752cm，求x的取值范围；(2)若要求包装盒容积3()V cm最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的容积。19.已知函数22()(2)ln1().2af xaxxxxaR（1）若曲线()
23、yf x在1x 处的切线的斜率为 2，求函数()f x的单调区间；（2）若函数()f x在区间（1，e）上有零点，求实数 a 的取值范围。20.设m为正整数，若两个项数都不小于m的数列nA，nB满足：存在正数 L,当nm时，都有nnABL，则称数列nA，nB是“(,)m L接近的”。已知无穷数列 na满足32841aa，无穷数列 nb的前 n 项和为1,1nS b，且11()1,*.2nnnnnS bbnNb b（1）求数列 na的通项公式；（2）求证：对任意正整数 m,数列 na，21na 是“(,1)m接近的”；（3）给定正整数 m(m5),数列1na，2nbk（其中kR）是“(,)m L
24、接近的”，求 L 的最小值，并求出此时的 k(均用 m 表示)。（参考数据ln20.69）附加题附加题21-1已知点(,)a b在矩阵1324A对应的变换作用下得到点（4,6）.（1）写出矩阵 A 的逆矩阵；（2）求 a+b 的值。21-2.求圆心在极轴上，且过极点与点(2 3,)6P的圆的极坐标方程。22.批量较大的一批产品中有 30的优等品，现进行重复抽样检查，共取 3 个样品，以 X 表示这 3 个样品中的优等品的个数.（1）求取出的 3 个样品中有优等品的概率；（2）求随机变量 X 的概率分布及数学期望 E(X).23.设集合1,2,A1110|333,0,1,2,nnnnniAt taaaa aA in,*.nN(1)求1A中的所有元素的和，并写出集合nA中元素的个数；（2）求证：能将集合nA(2,*)nnN分 成 两 个 没 有 公 共 元 素 的 子 集12,ssBb bb和12,*llCc ccs lN，使 得2222221212slbbbccc成立.