1、2020届四川省德阳市高三一诊考试数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】先确定集合中的元素，再由交集定义求解【详解】由题意，故选：B【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集的定义是解题基础2已知为虚数单位，、，则（ ）A1BCD2【答案】C【解析】等式去分母化简后根据复数的相等求出，再计算【详解】，即，解得，故选：C【点睛】本题考查复数的运算与复数相等，解题关键是利用复数相等的定义求出实数3已知向量与向量共线，则实数的值为（ ）AB或0C3D3或0【答案】B【解析】利用向量共线的坐标运算可求得值【详解】由题意，解得或故选：C【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，即
2、，则4执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的结果是（ ）A24B28C34D40【答案】D【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化情况，判断循环条件，得出结论【详解】模拟程序运行，判断否；，判断否；，判断否；，判断是；输出故选：D【点睛】本题考查程序框图，解题时可模拟程序运行，判断循环条件，确定输出结论5已知的展开式中的系数是，则实数a的值为（ ）AB1CD【答案】A【解析】求出展开式中和的系数，由多项式乘法法则可得结论【详解】由题意，故选：A【点睛】本题考查二项式定理，考查求二项展开式的系数，注意多项式乘法法则的应用6为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和竞
3、争力。某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间（单位：分钟）大致服从的关系为（k、M为常数）已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是（ ）A40分钟B35分钟C30分钟D25分钟【答案】C【解析】从函数式可看出，该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，说明，这样由可求得，而，因此与的表达式一样，由此可得【详解】由已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，及函数的解析式知，又，故选：C【点睛】本题考查分段函数的应用在已知函数模
4、型的情况下，解题关键是求出函数式中的参数为此可根据函数式提供的性质确定已知条件应该选用的表达式，求出相应参数，本题有求出，实际上还可以再根据求出，再由确定所用表达式7已知抛物线的准线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于P、Q两点，则（是椭圆的右焦点）的周长为（ ）AB24CD16【答案】D【解析】由抛物线的准线过椭圆的左焦点求出，得椭圆的长轴长，而的周长等于两倍的长轴长【详解】由题意抛物线准线为，解得，的周长为故选：D【点睛】本题考查抛物线的准线方程，考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，解题关键是求出值8在三棱锥中，PA、PB、PC两两垂直，Q是棱BC上一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最
5、大值为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】由已知得平面，因此当时，直线AQ与平面PBC所成角最大，此时可求得，从而求得，又以为棱的长方体的对角线就是三棱锥外接球直径，从而可求得其表面积【详解】PA与PB、PC垂直，平面，是在平面内的射影，就是直线与平面所成的角，由平面得，要使最大，则最小，显然当时，最小，此时，又，而，由，得，从而，如图，以为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥的外接球，外接球直径等于长方体的对角线长，球表面积为故选：A【点睛】本题考查求球表面积，解题关键是要求出球的半径由于两两垂直，因此以它们为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方
6、体的对角线就是球的直径由此可得解9函数与的图象相交于M、N两点，O为坐标原点，则的面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】解方程求出坐标，再计算面积【详解】由得，即，或，由对称性知与轴交点为，故选：D【点睛】本题考查求三角形面积，求两函数图象交点坐标，实质是考查解三角方程，考查同角间的三角函数关系，考查特殊角的三角函数解三角形方程要注意角的范围10已知H为的垂心，M为边BC的中点，则（ ）A20B10CD【答案】B【解析】利用平面向量的线性运算，而，代入计算即可【详解】由题意，故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是利用向量加减法法则得到，由，这样，这两个向量都可以用表示，这就与已知
7、条件建立了联系11已知奇函数满足，则代数式的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】由奇函数定义求出，确定函数的单调性，化简不等式得满足的关系，再由代数式的几何意义求得取值范围【详解】是奇函数，当时，即在上是增函数则不等式可化为，满足条件的点在直线的左上方，而表示点到点间距离的平方，故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查二元一次不等式表示的平面区域，考查两点间的距离与点到直线的距离公式函数的单调性与奇偶性属于基础应用，代数式是平方和形式时，用其几何意义：两点间距离的平方求解更加方便12已知曲线，相邻对称轴之间的距离为，且函数在处取得最大值，则下列命题正确的个数为（ ）当时，m的取
8、值范围是；将的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数；函数的最小正周期为；函数在区间上有且仅有一个零点A1B2C3D4【答案】B【解析】先把函数化为一个角的一个三角函数形式，利用在处取最大值，可求出的表达式（用表示），由的范围求出的范围，从而中得的范围，可举反例；利用周期函数的性质判断，即周期是，周期是，如果存在，使得，则是的周期确定函数解析式后可知在所给区间上零点有无数个【详解】函数的相邻对称轴之间的距离为，则周期为，其中，在处取最大值，则，若，则，解得，正确如，时函数取最大值，将的图象向左平移个单位后得，不是偶函数，错；中，是最小正周期是，的最小正周期是，但的最小正周期还是，正确；时，因
9、此在区间上有无数个零点，错；正确的命题有2个故选：B【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题时可先把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合三角函数性质一一判断，其中周期函数的性质是：的最小正周期是，的最小正周期是，如果存在，使得，则是的周期本题考查知识很多，属于难题二、填空题13国际青年物理学家竞赛（简称IYPT）是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛事，某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量u、v进行测量，得到10组数据,，通过散点图发现u、v具有较强的线性相关关系，并且利用最小二乘法求得线性回归方程：，由于数据保存失误导致丢失，但被保存，通过所学知识可以求得_【答案】8
10、5【解析】利用回归直线过中心可求解【详解】由题意，故答案为：85【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握回归直线一定过数据中心点14已知递增等比数列的前n项和为，且满足：，则_【答案】2【解析】利用已知条件求出公比，再求出后可得结论【详解】设等比数列公比为，则，又数列是递增的，故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式，属于基础题15已知，若正数a、b满足，且的最小值为1，则实数的值为_【答案】9【解析】由求出满足的关系，然后利用基本不等式求出的最小值，再由最小值为1可得【详解】，,，即，当且仅当时等号成立，故答案为：9【点睛】本题考查基本不等式求最值解题时需用凑配法凑
11、出基本不等式所需的定值，然后才可用基本不等式求最值，同时还要注意等号成立的条件，等号成立的条件取不到，这个最值也取不到16已知当时，均有不等式成立，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】可分类讨论，时，恒成立，只要研究即可，这可用导数研究；时，可得与都是增函数，且都有唯一零点，因此只要使它们的零点相同即可满足题意；直接验证【详解】时，不等式为，不恒成立；时，令，由得，当时，递增，时，递减，时，要使命题成立，则，；时，函数是增函数，在唯一零点，即增函数，但当时，所以有唯一零点，要使不等式恒成立，只有，综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题解题关键是把不等式中两个式子
12、和分别研究，减少了难度否则把不等式左边作为一个函数研究将会非常难，甚至不可进行三、解答题17垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措住建部于6月28日拟定了包括我市在内的46个重点试点城市，要求这些城市在2020年底基本建成垃圾分类处理系统为此，我市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示（1）求频率分布直方图中a的值，并估计测试的平均成绩；（2）将频率视为相应的概率，如果从参加测试的同学中随机选取4名同学，这4名同学中测试成绩在的人数记为，求的分布列及数学期望【答案】（1），76.5；（2）分布列见解析，2.【解析】（1）利用频率
13、分布直方图中所有频率之和为1（即所有小矩形面积之和为1）可计算出，每组中间点值乘以该组频率相加可得估计的平均成绩；（2）由（1）得成绩在的频率为，因此有，的可能取值为：0，1，2，3，4，由二项分布计算出各概率得分布列，由期望公式可计算出期望值【详解】（1）由题意得：所以：,平均成绩为：（2）易知测试成绩在的频率为故的可能取值为：0，1，2，3，4的分布列为01234【点睛】本题考查频率分布直方图，考查二项分布，属于基础题，对学生的数据处理能力有一定的要求18已知等差数列的前n项和（1）求实数b的值及的通项公式；（2）若，且，求数列的前n项和【答案】（1）0，；（2）.【解析】（1）由求出，由
14、时，求出，利用必成等差数列可求得，从而得（2）由（1）可求得，对裂项为，再相加【详解】（1）由于所以当时，当时，又数列是等差数列，故，即所以易验证此时数列是以2为首项，2为公差的等差数列，（2）由题意及（1）知：所以从而,【点睛】考查等差数列的通项公式，考查已知与的关系求数列通项公式，考查裂项相消法求数列的和已知与的关系求数列通项公式时，要注意只有时才有，不包含，它们的计算方法不一样，注意验证19在中，内角A、B、C的对边分别记为a、b、c，且（1）求的值；（2）若的面积，求的周长【答案】（1）；（2）.【解析】（1）用诱导公式、降幂公式化简，再用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式化简，最后
15、再由正弦定理化角为边得结论；（2）已知可求得，由面积公式可得，再由余弦定理结合（1）的结论可求得，从而得三角形周长【详解】（1）由及得：即由正弦定理得：所以，即所以（2）由，得：又，所以又由余弦定理得：又由（1）得：，所以所以的周长【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系、两角和的正弦公式等，考查知识点较多，但也较基本熟练掌握三角函数的公式是解题基础，根据条件选用恰当的公式是解题关键20已知函数（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）在曲线上是否存在点P，使得过点P可作三条直线与曲线相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明
16、理由【答案】（1）当时，；当时，；当时，；（2）存在，.【解析】（1）求出导数，确定函数的单调性，然后按分类讨论；（2）假设存在符合条件的点，同时设切点为，由导数几何意义得即（），问题转化为关于的方程（）存在三个不同实根然后用导数研究函数的零点【详解】（1）由题意得：当时，；当时，；当时，即在单调递增，在单调递减，在单调递增又的零点分别为，0，所以当时，；当时，；当时，（2）假设存在符合条件的点，切点设为所以即（）故问题转化为关于的方程（）存在三个不同实根令，则当时，在R上单调递增，不合题意；当时，易知在单调递增，在单调递减，在单调递增从而，即解得：当时，易知在单调递增，在单调递减，在单调递增
17、从而，即解得：综上，存在符合条件的点P，其横坐标的取值范围为【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，考查导数的几何意义，考查方程根的分布与函数零点问题掌握基本方法即可解决问题，但对运算求解能力有一定的要求21已知函数的极小值为（1）求实数k的值；（2）令，当时，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）求出导数，研究函数的单调性，得极值，由极小值为求得值；（2）由（1）得，令，同样由（1）可得的单调性（导数利用（1）中结论），这样得到关于u的不等式的解集应是单调递增区间的子集，而，从而，接着要证题中不等式，可先证，这又可设，换元后同样由导数研究函数的单调性最值，证得不等式成立【详解】
18、（1）显然，由题意得：令得：若，则当时，；当时，此时为极小值点，合题意由得：若，显然不合题意所以（2）由题意得：，令由（1）易知在单调递减，且；在单调递增故关于u的不等式：的解集应是单调递增区间的子集又，从而令令，则所以显然当时，；当时，从而在单调递增，在单调递减所以又，所以，从而于是，即又故【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值，用导数解不等式、证明不等式，解不等式实际上是由函数的单调性求解用导数证明不等式实际上还是转化为求函数的最值、值域问题这通过设出新的函数，通过研究新函数的性质给出证明解题时注意适当的变形，注意换元法的应用本题难度较大，属于困难题22在极点为O的极坐标系中，直线上
19、有一动点P，动点M在射线OP上，且满足，记M的轨迹为C（1）求C的极坐标方程，并说明C是何种曲线；（2）若，均在曲线C上，求的面积【答案】（1），C是除去极点的圆；（2）.【解析】（1）既然是求极坐标方程，因此设，根据已知条件得出它们极坐标的关系，代入已知极坐标方程可得；（2）由曲线的极坐标方程，求出，根据三点的极角求出，从而得，及，然后可得三角形面积【详解】（1）设，由题意得所以又，所以C是除去极点的圆：（2）由已知，因为所以且【点睛】本题考查求极坐标方程，考查极坐标方程的应用注意极坐标的意义即可23已知函数（1）求证：；（2）若实数a、b、c满足，求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用绝对值三角不等式证明；（2）用柯西不等式证明【详解】（1）因为所以（2）因为，所以由柯西不等式得（当且仅当时取等号）【点睛】本题考查绝对值三角不等式和柯西不等式掌握这两个不等式是解题关键第 20 页 共 20 页