1、2020届河南省名校联盟高三11月教学质量检测数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】先求出集合，再与集合求交,【详解】本题主要考查集合的运算和一元二次不等式的解法因为，=，所以故选：D【点睛】本题考查解二次不等式，考查集合的交集。属于基础题.2复平面内表示复数的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出z的坐标得答案【详解】因为，所以复数所对应的复平面内的点为，位于第三象限故选：C.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，复数的运算，属于基础题3设两个单位向量的夹角为，则（ ）A1BCD7【答案】
2、B【解析】由，然后用数量积的定义，将的模长和夹角代入即可求解.【详解】，即.故选：B【点睛】本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题.4设有不同的直线a，b和不同的平面，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中正确的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可【详解】对于，若a，b，则直线a和直线b可以相交也可以异面，故错误；对于，若a，a，则平面a和平面可以相交，故错误；对于，若a，b，则根据线面垂直性质定理，ab，故正确；对于，若a，a，则成立；故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断，考查推理判断能力，是基础题，解题
3、时要认真审题，注意空间思维能力的培养5如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（ ）A这14天中有7天空气质量优良B这14天中空气质量指数的中位数是103C从10月11日到10月14日，空气质量越来越好D连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日【答案】B【解析】根据题目给出的折线图的信息对选项进行逐一判断即可得到答案.【详解】这14天中空气质量指数小于100的有7天，所以这14天中有7天空气质量优良，故选项A正确；这14天中空气质量指数的中位数是，故选项B不正确；从10月11
4、日到10月14日，空气质量指数越来越小，所以空气质量越来越好，故选项C正确；连续三天中空气质量指数离散程度最大的是10月5日至10月7日，所以连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日，故选项D正确故选：B【点睛】本题主要考查统计中对折线图的认识，属于基础题.6已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小由此可以推知：甲、乙、丙三人中（ ）A甲不是海南人B湖南人比甲年龄小C湖南人比河南人年龄大D海南人年龄最小【答案】D【解析】通过分析，排除即可【详解】由于甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，可知湖南人不是甲乙
5、，故丙是湖南人；由于丙比海南人年龄大，湖南人比乙年龄小，可知甲是海南人；故：乙（河南人）的年龄丙（湖南人）的年龄甲（海南人）的年龄；所以ABC错，D对故选：D【点睛】本题考查简单的逻辑推理，属于基础题7已知数列对于任意正整数m，n，有，若，则（ ）A101B1C20D2020【答案】A【解析】由，得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到答案.【详解】由，令 得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，从而因为，所以，故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的概念，数列的递推关系，属于基础题.8函数的图像大致是（ ）ABCD【答案】D【解析】本题首先可根据得出，然后即可判断出函数是奇函数并排
6、除B项，然后利用导数判断函数的单调性，问题得解。【详解】因为，所以函数是奇函数，排除B，因为函数的解析式为，所以，,在递增又，所以在恒成立所以在递增，又所以在恒成立所以在为增函数，排除A、C，综上所述，故选D。【点睛】本题考查如何判断函数的大致图像，可通过函数性质来判断，比如说函数的单调性、奇偶性、值域、特殊值的大小，考查推理能力，是中档题。9已知，分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足，Q是线段上一点，且，则C的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据条件在，可得，则，由椭圆的定义有，可建立关于离心率的方程，从而解出离心率.【详解】因为在中，所以，又，所以，从而，进而所以，椭圆C的离
7、心率为故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质,考查椭圆的离心率，属于中档题.10函数的定义域为R，若与都是偶函数，则（ ）A是偶函数B是奇函数C是偶函数D【答案】C【解析】首先由偶函数及图象平移的性质求得f（x）的周期，然后利用所求结论直接判断即可【详解】f（x+1）与f（x1）都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f（x）的图象关于x1，x1对称，可得f（x）f（2x）f（4+x），即有f（x+4）f（x），函数的周期T4，f（x+3）f（x1）f（x+3），则f（x+3）为偶函数，故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用与周期性的证明，准确把握定义是解题的关键，属于中档题
8、11将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ）A2640种B4800种C1560种D7200种【答案】C【解析】分两类考虑：第一类，其中1个贫困村分配3名党员干部，另外3个贫困村各分配1名党员干部, 第二类，其中2个贫困村各分配2名党员干部，另外2个贫困村各分配1名党员干部.【详解】将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部.分两类考虑：第一类，其中1个贫困村分配3名党员干部，另外3个贫困村各分配1名党员干部，此类分配方案种数为；第二类，其中2个贫困村各分配2名党员干部，另外2个贫困村各分配1名党员干部，此类分
9、配方案种数为故不同的分配方案共有1560种故选：C【点睛】本题主要考查排列组合,考查分组分配问题，考查部分平均分组问题，属于中档题.12已知函数，下列结论中错误的是（ ）A的图像关于点对称B的图像关于直线对称C的最大值为D是周期函数【答案】C【解析】根据对称性，周期性最值的概念结合三角函数的运算，逐项判断即可【详解】对于A，因为f（x）+f（x）sin（x）sin（22x）+sinxsin2x0，所以A正确；对于B，f（2x）sin（2x）sin（42x）sinxsin2xf（x），所以的图像关于直线对称，所以B正确；对于C，f（x）sinxsin2x2sin2xcosx2（1cos2x）co
10、sx2cosx2cos3x，令tcosx，则t1，1，f（x）g（t）2t2t3，令g（t）26t20，得，t，所以的最大值是，从而的最大值是，故C错误；对于D，因为，即f（2+x）f（x），故2为函数f（x）的一个周期，故D正确；故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数的周期性及其求法函数的单调性以及函数的对称性，考查命题的真假的判断与应用，考查分析和解决问题的能力，属于中档题二、填空题13若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为_【答案】【解析】棱长为的正方体的八个顶点在同一个球面上，则球的直径等于正方体的对角线长，即，则该球的体积14已知
11、，分别为双曲线的左、右焦点，点P是以为直径的圆与C在第一象限内的交点，若线段的中点Q在C的渐近线上，则C的两条渐近线方程为_【答案】y2x【解析】求得双曲线的渐近线方程，由圆的性质可得PF1PF2，由三角形的中位线定理可得PF1OQ，OQ的方程设为bx+ay0，运用点到直线的距离公式可得F1（c，0）到OQ的距离，结合双曲线的定义可得b2a，进而双曲线的渐近线方程【详解】双曲线的渐近线方程为yx，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，可得PF1PF2，线段PF1的中点Q在C的渐近线，可得OQPF2，且PF1OQ，OQ的方程设为bx+ay0，可得F1（c，0）到OQ的距离为b，即有|
12、PF1|2b，|PF2|2|OQ|2a，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2b2a2a，即b2a，所以双曲线的渐近线方程为y2x故答案为：y2x【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，三角形的中位线定理和化简整理能力，属于中档题15若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_【答案】【解析】分别设出直线与曲线和曲线的切点，然后求导利用切线的几何意义利用斜率相等可得答案.【详解】设直线与曲线切于点，与曲线切于点，则有，从而，所以切线方程，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的几何意义,两曲线的公切线问题，属于中档题16设等比数列满足，则数列的前n项和为_【答案】【
13、解析】先求出等比数列的通项公式为，然后分析求和.【详解】依题意，有解得所以数列的通项公式为设数列的前n项和为则，(1)(2)用(1)-(2)，得，(3)(4)用(3)-(4)，得故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和数列求和的方法考查错位相减法求数列的和.属于中档题.三、解答题17已知的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，(1)求a；(2)若的面积为9，求的周长【答案】（1）5；（2）.【解析】(1)由，两式相除，再用正弦定理得答案.(2)由（1）可求出，进一步可求出边，然后用余弦定理可计算出边，得出答案.【详解】(1)在中，由正弦定理得又，所以，所以 所以(2)由(1
14、)知，所以 因为的面积，所以由余弦定理得，所以所以的周长为【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式,属于中档题18九章算术中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵如图，在直三棱柱中，(1)证明：三棱柱是堑堵；(2)求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)根据条件由正弦定理可求，从而可证明，可得证.（2）建立空间坐标系，用向量法求解二面角的余弦值即可.【详解】(1)在中，由正弦定理得 ,即 ,因为在 中，则,，所以，即又三棱柱为直三棱柱.所以三棱柱是堑堵 (2)以点A为坐标原点，以，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，于是，
15、设平面的一个法向量是，则由得所以可取又可取为平面的一个法向量， 所以 所以二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查二面角的求法，同时考查数学文化本题还可以由二面角的平面角的定义作出平面角直接求解,属于中档题.19已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点的距离减去它到y轴距离的差都是1(1)求曲线C的方程；(2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，求直线l的方程【答案】（1）；（2）或.【解析】(1)根据条件有化简得答案.(2)有抛物线过交点的弦长公式有，然后设出直线方程与抛物线方程联立求出代入，可计算出，得到直线方程.【详解】(1)设点是曲线C上任意一点， 那么点满足： 化简得曲线C的方程
16、为 (2)由题意得，直线的方程为， 设，由得 因为，故，所以 由题设知，解得或 因此直线的方程为或【点睛】本题主要考查曲线与方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题.20已知函数，(1)求证：在区间上无零点；(2)求证：有且仅有2个零点【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】(1)求出，再求出函数的单调区间，从而分析其图像与轴无交点即可.(2)显然是函数的零点,再分析在上和在上无零点,在上有一个零点，从而得证.【详解】(1)， 当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减而， 所以当时，所以在区间上无零点(2)的定义域为 当时，所以，从而在上无零点 当时，从而是的一个零点 当时，由
17、(1)知，所以，又，所以，从而在上无零点 当时，所以在上单调递减而，从而在上有唯一零点 当时，所以，从而在上无零点 综上，有且仅有2个零点【点睛】本题主要考查利用导数判断函数单调性的方法和函数零点的概念,属于难题21一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)(1
18、)求，并根据棋子跳到第n站的情况，试用和表示；(2)求证：为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.【解析】(1) 在第0站是必然事件，所以棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出，棋子跳到第2站，包括两种情形，第一次掷骰子岀现偶数点，前两次掷骰子出现奇数点，可求出.棋子跳到第站，包括两种情形，棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点, 棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点,进行求解.(2) 由(1)知，所以可证.(3) 该游戏获胜的概率,即求，由（2）用累加法可求解.【详解】(1)棋子开始在第0站是必然事件，所以 棋子跳到第1站，只有一种情
19、形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以 棋子跳到第2站，包括两种情形，第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为；前两次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以 棋子跳到第站，包括两种情形，棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为；棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为故(2)由(1)知，所以 又因为， 所以是首项为，公比为的等比数列 (3)由(2)知， 所以 所以玩该游戏获胜的概率为【点睛】本题主要考查随机事件的概率和等比数列的概念、通项公式及前n项和公式考查累加法求和，属于难题.22在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标
20、方程为(1)求C的普通方程和的直角坐标方程；(2)求C上的点到距离的最大值【答案】（1）C的普通方程为的直角坐标方程为（2）3【解析】（1）把曲线C的参数方程平方相加可得普通方程，把xcos，ysin代入cossin+40，可得直线l的直角坐标方程；（2）设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值【详解】（1）由（t为参数），因为，且，所以C的普通方程为由cossin+40，得xy+40即直线l的直角坐标方程为得xy+40；（2）由(1)可设C的参数方程为(为参数，)则P到直线得xy+40的距离为：C上的点到的距离为当时，取得最大值6，故C上的点到距离
21、的最大值为3【点睛】本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题23已知a，b为正数，且满足(1)求证：；(2)求证：【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）把a+b1代入，用柯西不等式证明；（2）根据基本不等式求出ab的范围，再化简所求结论，根据对勾函数的最值，求出即可【详解】已知a，b为正数，且满足a+b1，（1）（1）（1）11，（）（a+b）（）28，故；（2）a+b1，a0，b0，根据基本不等式1a+b20ab，（a）（b）ab，令tab（0，yt递减，所以，故（a）（b）2【点睛】考查基本不等式、柯西不等式的应用，构造函数法证明不等式，属于中档题第 18 页 共 18 页