1、2006年山西高考文科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知向量、满足|=1，|=4，且=2，则与夹角为（）ABCD2（5分）设集合M=x|x2x0，N=x|x|2，则（）AMN=BMN=MCMN=MDMN=R3（5分）已知函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）Af（2x）=e2x（xR）Bf（2x）=ln2lnx（x0）Cf（2x）=2ex（xR）Df（2x）=lnx+ln2（x0）4（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）AB4C4D5（5分）设Sn是等差数列an的前n项和，若S7=35，则a4=（
2、）A8B7C6D56（5分）函数的单调增区间为（）AB（k，（k+1），kZCD7（5分）从圆x22x+y22y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）ABCD08（5分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）ABCD9（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A16B20C24D3210（5分）在的展开式中，x4的系数为（）A120B120C15D1511（5分）抛物线y=x2上的点到直线4x+3y8=0距离的最小值是（）ABCD312（5分）用长度分别为2、
3、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）ABCD20cm2二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）已知函数f（x）=a，若f（x）为奇函数，则a=14（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于15（4分）设z=2yx，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为16（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日不同的安排方法共有 种（用数字作答）三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）已知an为等比数列，
4、求an的通项公式18（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值19（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为（）求一个试验组为甲类组的概率；（）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望20（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN（
5、）证明ACNB；（）若ACB=60，求NB与平面ABC所成角的余弦值21（12分）设P是椭圆=1（a1）短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值22（14分）设a为实数，函数f（x）=x3ax2+（a21）x在（，0）和（1，+）都是增函数，求a的取值范围2006年山西高考文科数学真题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）（2006全国卷）已知向量、满足|=1，|=4，且=2，则与夹角为（）ABCD【分析】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，变化出夹角的余弦表示式，代入给出的数值，求出余弦值，注意向量夹角的范围
6、，求出适合的角【解答】解：向量a、b满足，且，设与的夹角为，则cos=，【0】，=，故选C2（5分）（2006全国卷）设集合M=x|x2x0，N=x|x|2，则（）AMN=BMN=MCMN=MDMN=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集【解答】解：集合M=x|x2x0=x|0x1，N=x|x|2=x|2x2，MN=M，故选：B3（5分）（2006全国卷）已知函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）Af（2x）=e2x（xR）Bf（2x）=ln2lnx（x0）Cf（2x）=2ex（xR）Df（2x）=lnx+ln2（x0）【分析
7、】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法根据函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=ex的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）【解答】解：函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=ex的反函数，即f（x）=lnx，f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x0），选D4（5分）（2006全国卷）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）AB4C4D【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值【解答】解：双
8、曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，m0，且双曲线方程为，m=，故选：A5（5分）（2006全国卷）设Sn是等差数列an的前n项和，若S7=35，则a4=（）A8B7C6D5【分析】充分运用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题【解答】解：Sn是等差数列an的前n项和，若S7=7=7a4=35，a4=5，故选D6（5分）（2006全国卷）函数的单调增区间为（）AB（k，（k+1），kZCD【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x的范围【解答】解：函数的单调增区间满足，单调增区间为，故选C7（5分）（2006全国卷）从圆x22x+y22y+1=0外一点P
9、（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）ABCD0【分析】先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果【解答】解：圆x22x+y22y+1=0的圆心为M（1，1），半径为1，从外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，故选B8（5分）（2006全国卷）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）ABCD【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案【解答】解：ABC中，a
10、、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B9（5分）（2006全国卷）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A16B20C24D32【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，球的半径为，球的表面积是24，故选C10（5分）（2006全国卷）在的展开式中，x4的系数为（）A120B120C15D15【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求出x4的系数【解答】解：在的展开式中x4项
11、是=15x4，故选项为C11（5分）（2006全国卷）抛物线y=x2上的点到直线4x+3y8=0距离的最小值是（）ABCD3【分析】设抛物线y=x2上一点为（m，m2），该点到直线4x+3y8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值【解答】解：设抛物线y=x2上一点为（m，m2），该点到直线4x+3y8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B12（5分）（2006全国卷）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）ABCD20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10海伦
12、公式S=故排除C，D，由于等号成立的条件为10a=10b=10c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10由海伦公式S=知S=203由于等号成立的条件为10a=10b=10c，故“=”不成立，S203排除C，D由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）（2006全国
13、卷）已知函数f（x）=a，若f（x）为奇函数，则a=【分析】因为f（x）为奇函数，而在x=0时，f（x）有意义，利用f（0）=0建立方程，求出参数a的值【解答】解：函数若f（x）为奇函数，则f（0）=0，即，a=故答案为14（4分）（2006全国卷）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tan=，二面角等于
14、60，故答案为6015（4分）（2006全国卷）设z=2yx，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2yx表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在ABC中满足z=2yx的最大值是点C，代入得最大值等于11故填：1116（4分）（2006全国卷）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日不同的安排方法共有 2400种（用数字作答）【分析】本题是一个分步计数
15、问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，根据分步计数原理知共有20120=2400种安排方法故答案为：2400三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）（2006全国卷）已知an为等比数列，求an的通项公式【分析】首先设出等比数列的公比为q，表示出a2，a4，利用两者之和为，求出公比q的两个值，利用其两个值分别求出对应的首项a1，最后利用等比数列的通项公式得到即可【
16、解答】解：设等比数列an的公比为q，则q0，a2=，a4=a3q=2q所以+2q=，解得q1=，q2=3，当q1=，a1=18所以an=18（）n1=233n当q=3时，a1=，所以an=3n1=23n318（12分）（2006全国卷）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值【分析】利用三角形中内角和为，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=，得=，所以有cos=sincosA+2cos=cosA+2sin=12sin2+2sin=2（sin）2+当sin=，即A=时，cosA
17、+2cos取得最大值为故最大值为19（12分）（2006全国卷）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为（）求一个试验组为甲类组的概率；（）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率（2）由题意
18、知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望【解答】解：（1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2=，P（A2）=P（B0）=，P（B1）=2=，所求概率为：P=P（B0A1）+P（B0A2）+P（B1A2）=+=（）的可能值为0，1，2，3且B（3，）P（=0）=（）3=，P（=1）=C31（）2=，P（=2）=C32（）2=，P（=3）=（）3=的分布列为：0123P数学期望
19、E=3=20（12分）（2006全国卷）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN（）证明ACNB；（）若ACB=60，求NB与平面ABC所成角的余弦值【分析】（1）欲证ACNB，可先证BN面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证ANBN，CNBN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，NBH为NB与平面ABC所成的角，在RtNHB中求出此角即可【解答】解：（）由已知l2MN，l2l1，MNl1=M，可得l2平面ABN由已知MNl1，AM=MB=MN，可知AN=NB且ANNB又AN为AC在平面ABN内
20、的射影ACNB（）AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，RtCANRtCNB，AC=BC，又已知ACB=60，因此ABC为正三角形RtANBRtCNB，NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，NBH为NB与平面ABC所成的角在RtNHB中，cosNBH=21（12分）（2006全国卷）设P是椭圆=1（a1）短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值【分析】依题意可知|PQ|=，因为Q在椭圆上，所以x2=a2（1y2），|PQ|2=a2（1y2）+y22y+1=（1a2）y22y+1+a2=（1a2）（y）2+1
21、+a2由此分类讨论进行求解【解答】解：由已知得到P（0，1）或P（0，1）由于对称性，不妨取P（0，1）设Q（x，y）是椭圆上的任一点，则|PQ|=，又因为Q在椭圆上，所以，x2=a2（1y2），|PQ|2=a2（1y2）+y22y+1=（1a2）y22y+1+a2=（1a2）（y）2+1+a2因为|y|1，a1，若a，则|1，所以如果它包括对称轴的x的取值，那么就是顶点上取得最大值，即当10时，在y=时，|PQ|取最大值；如果对称轴不在y的取值范围内的话，那么根据图象给出的单调性来求解即当1时，则当y=1时，|PQ|取最大值222（14分）（2006全国卷）设a为实数，函数f（x）=x3ax
22、2+（a21）x在（，0）和（1，+）都是增函数，求a的取值范围【分析】先对函数f（x）进行求导得到一个二次函数，根据二次函数的图象和性质令f（x）0在（，0）和（1，+）成立，解出a的值【解答】解：f（x）=3x22ax+（a21），其判别式=4a212a2+12=128a2（）若=128a2=0，即a=，当x（，），或x（，+）时，f（x）0，f（x）在（，+）为增函数所以a=（）若=128a20，恒有f（x）0，f（x）在（，+）为增函数，所以a2，即a（，）（，+）（）若128a20，即a，令f（x）=0，解得x1=，x2=当x（，x1），或x（x2，+）时，f（x）0，f（x）为增函数；当x（x1，x2）时，f（x）0，f（x）为减函数依题意x10且x21由x10得a，解得1a由x21得3a，解得a，从而a1，）综上，a的取值范围为（，+）1，），即a（，1，+）