1、2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合，则（ ）A B C D2设，且，则（ ）A B C D3下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）A B C D4在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5在中，则（ ）A B C D6执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A B C D7双曲线的离心率大于的充分必要条件是A
2、 BC D8如图，在正方体中，为对角线的三等分点，则到各顶点的距离的不同取值有（ ）A个 B个 C个 D个第二部分（选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9若抛物线的焦点坐标为，则 ，准线方程为 。10某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 。 11若等比数列满足，则公比 ；前项和 。12设为不等式组所表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为 。13函数的值域为 。14向量，若平面区域由所有满足（，）的点组成，则的面积为 。三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）15（本小题共13分） 已知函数（1）求的最小正周期及最大值。
3、（2）若，且，求的值。16（本小题共13分） 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市，并停留2天。（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。（2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面底面，和分别是和的中点，求证：（1）底面（2）平面（3）平面平面18（本小题共13分）已知函数（1）若曲线在点处与直线相切，求与的值。（2）若曲线与直线
4、有两个不同的交点，求的取值范围。19（本小题共14分）直线（）：相交于，两点，是坐标原点（1）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长。（2）当点在上且不是的顶点时，证明四边形不可能为菱形。20（本小题共13分）给定数列，。对，该数列前项的最大值记为，后项，的最小值记为，。（1）设数列为，写出，的值。（2）设，（）是公比大于的等比数列，且，证明，是等比数列。（3）设，是公差大于的等差数列，且，证明，是等差数列。2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1B 2D 3C 4A 5B 6C 7C 8B 二、填空题（共6小题，每小题5
5、分，共30分）9， 10 11，12 13 14三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）15（本小题共13分） 解：（1） 所以，最小正周期当（），即（）时 （2）因为 所以 因为，所以 所以，即16（本小题共13分）解：（1）因为要停留2天，所以应该在3月1日至13日中的某天到达，共有13种选择，其间重度污染的有两天， 所以概率为（2）此人停留的两天共有13种选择，分别是：，其中只有一天重度污染的为，共4种，所以概率为（3）因为第5，6，7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。17（本小题共14分）证明：（1）因为，平面底面且平面底面 所以底面（2）因为和分别
6、是和的中点，所以，而平面，平面，所以平面（3）因为底面， 平面 所以，即因为，所以而平面，平面，且所以平面因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，而平面，平面所以平面，同理平面，而平面，平面且 所以平面平面， 所以平面 又因为平面所以平面平面18（本小题共13分）解：（1）因为曲线在点处的切线为所以，即，解得（2）因为 所以当时，单调递增 当时，单调递减 所以当时，取得最小值， 所以的取值范围是19（本小题共14分）解：（1）线段的垂直平分线为， 因为四边形为菱形，所以直线与椭圆的交点即为，两点对椭圆，令得所以（2）方法一：当点不是的顶点时， 联立方程得设，则， 若四边形为菱形，则，即所以即
7、因为点不是的顶点，所以，所以即，即所以此时，直线与轴垂直，所以为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾，所以四边形不可能为菱形方法二：因为四边形为菱形，所以，设（）则，两点为圆与椭圆的交点联立方程得所以，两点的横坐标相等或互为相反数。因为点在上若，两点的横坐标相等，点应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。若，两点的横坐标互为相反数，点应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。所以四边形不可能为菱形。20（本小题共13分）解：（1），（2）因为，（）是公比大于的等比数列，且 所以所以当时，所以当时，所以，是等比数列。（3）若，是公差大于的等差数列，则 ，应是递增数列，证明如下： 设是第一个使得的项，则 ，所以，与已知矛盾。 所以，是递增数列再证明数列中最小项，否则（），则显然，否则，与矛盾因而，此时考虑，矛盾因此是数列中最小项综上，（）于是，也即，是等差数列