1、2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设，则不等式的解集为_【答案】【解析】，即，故解集为2. 设，其中为虚数单位，则_【答案】【解析】，故3. :, :, 则的距离为_【答案】【解析】4. 某次体检，位同学的身高（单位:米）分别为，则这组数据的中位数是_（米）【答案】5. 已知点在函数的图像上，则的反函数_【答案】【解析】，故，6. 如图，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于_【答案】【解析】, 7. 方程在区间上的解为_【答案】【解析】，即8. 在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于_【答案】【解析
2、】， 通项取常数项为9. 已知的三边长为，则该三角形的外接圆半径等于_【答案】【解析】，10. 设，若关于的方程组无解，则的取值范围是_【答案】【解析】由已知，且，11. 无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，则的最大值为_【答案】12. 在平面直角坐标系中，已知, , 是曲线上一个动点，则的取值范围是_【答案】【解析】设, ，, 13. 设, ，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为_【答案】【解析】(i)若若，则；若，则(ii)若，若，则；若，则共组14. 如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，任取不同的两点，点满足，则点落在第一象限的概率是_【答案】【解析】二、
3、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设，则“”是“”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】时，达到最大17. 已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是( )A. , B. , C. , D. , 【答案】B【解析】, , ，即若，则，不可能成立若，则，B成立18. 设是定义域为的三个函数，对于命题:若，均为增函数，则中至少有一个为增函数；若，均是以为周期的函数，则均是以为周期的函数，下列判断正确的是( )A.
4、 和均为真命题B. 和均为假命题C. 为真命题，为假命题D. 为假命题，为真命题【答案】D【解析】不成立，可举反例, , 前两式作差，可得结合第三式，可得, 也有正确故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19. （本题满分12分）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧(1) 求三棱锥的体积(2) 求异面直线与所成角的大小【解析】(1) 连，则为正三角形(2) 设点在下底面圆周的射影为，连，则为直线与所成角（或补角）连, 为正三角形直线与所成角大小为20（本题满分14分）有一块正方形菜
5、地, 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图(1) 求菜地内的分界线的方程(2) 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值【解析】(1) 设分界线上任一点为，依题意可得(2) 设，则 设所表述的矩形面积为，则设五边形面积为，则, 五边形的面积更接近的面积21（本题满分14分）本
6、题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于两点(1) 若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程(2) 设，若的斜率存在，且，求的斜率【解析】(1)由已知, 取，得, 即渐近线方程为(2)若，则双曲线为, 设, ，则, , (*)代入(*)式，可得直线的斜率存在，故设直线为，代入得，且直线的斜率为22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知，函数(1) 当时，解不等式(2) 若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围(3) 设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过，求
7、的取值范围【解析】(1)不等式的解为或(2)依题意， 可得即 当时，方程的解为，代入式，成立当时，方程的解为，代入式，成立当且时，方程的解为若为方程的解，则，即若为方程的解，则，即要使得方程有且仅有一个解，则综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则的取值范围为或或(3)在上单调递减依题意，即，即设，则当时，当时，函数在递减的取值范围为23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.(1) 若具有性质. 且, , , , ，求；(2) 若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质，并说明理由；(3) 设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”.【解析】(1) (2)设的公差为，的公差为，则, 而, 但故不具有性质(3) 充分性：若为常数列，设则若存在使得，则, 故具有性质必要性：若对任意，具有性质则设函数, 由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点一定能找到一个，使得故是常数列