1、2012年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）（2012重庆）命题“若p则q”的逆命题是（）A若q则pB若p则qC若q则pD若p则q2（5分）（2012重庆）不等式0的解集为（）A（1，+）B（，2）C（2，1）D（，2）（1，+）3（5分）（2012重庆）设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）A1BCD24（5分）（2012重庆）（13x）5的展开式中x3的系数为（）A270B90C90D2705（5分）（2012重庆）=（）ABCD6（5分）（2012重庆）设xR，向量=（x，1），=（1，2），
2、且，则|+|=（）ABC2D107（5分）（2012重庆）已知a=log23+log2，b=，c=log32则a，b，c的大小关系是（）Aa=bcBa=bcCabcDabc8（5分）（2012重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f（x），且函数f（x）在x=2处取得极小值，则函数y=xf（x）的图象可能是（）ABCD9（5分）（2012重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（）A（0，）B（0，）C（1，）D（1，）10（5分）（2012重庆）设函数f（x）=x24x+3，g（x）=3x2，集合M=xR|f（g（x）0，N=xR
3、|g（x）2，则MN为（）A（1，）B（0，1）C（1，1）D（，1）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11（5分）（2012重庆）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4=12（5分）（2012重庆）若f（x）=（x+a）（x4）为偶函数，则实数a=13（5分）（2012重庆）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=14（5分）（2012重庆）设P为直线y=x与双曲线=1（a0，b0）左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e=15（5分）（2012重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化
4、课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）三、解答题（共6小题，满分75分）16（13分）（2012重庆）已知an为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12（）求an的通项公式（）记an的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值17（13分）（2012重庆）已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c16（）求a，b的值；（）若f（x）有极大值28，求f（x）在3，3上的最小值18（13分）（2012重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球三次时
5、投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（）求乙获胜的概率；（）求投篮结束时乙只投了2个球的概率19（12分）（2012重庆）设函数f（x）=Asin（x+）其中A0，0，）在x=处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为（）求f（x）的解析式；（）求函数g（x）=的值域20（12分）（2012重庆）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（）求异面直线CC1和AB的距离；（）若AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值21（12分）（2012重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左
6、、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形（）求该椭圆的离心率和标准方程；（）过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求PB2Q的面积2012年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）（2012重庆）命题“若p则q”的逆命题是（）A若q则pB若p则qC若q则pD若p则q考点：四种命题菁优网版权所有专题：简易逻辑分析：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，从而可得解答：解：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，则命题“若p则q”的逆命题是若q则p故选A点评：本题考查了
7、命题与逆命题的相互关系的应用，属于基础题2（5分）（2012重庆）不等式0的解集为（）A（1，+）B（，2）C（2，1）D（，2）（1，+）考点：其他不等式的解法菁优网版权所有专题：计算题分析：直接转化分式不等式为二次不等式求解即可解答：解：不等式0等价于（x1）（x+2）0，所以表达式的解集为：x|2x1故选C点评：本题考查分式不等式的求法，考查转化思想计算能力3（5分）（2012重庆）设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）A1BCD2考点：直线与圆相交的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线y=x上，得到AB为圆的直径
8、，根据直径等于半径的2倍，可得出|AB|的长解答：解：由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，圆心（0，0）在直线y=x上，弦AB为圆O的直径，则|AB|=2r=2故选D点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题4（5分）（2012重庆）（13x）5的展开式中x3的系数为（）A270B90C90D270考点：二项式系数的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：由（13x）5的展开式的通项公式Tr+1=（3x）r，令r=3即可求得x3的系数解答：解：设
9、（13x）5的展开式的通项公式为Tr+1，则Tr+1=（3x）r，令r=3，得x3的系数为：（3）3=2710=270故选A点评：本题考查二项式系数的性质，着重考查二项式（13x）5的展开式的通项公式的应用，属于中档题5（5分）（2012重庆）=（）ABCD考点：两角和与差的正弦函数菁优网版权所有专题：计算题分析：将原式分子第一项中的度数47=17+30，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值解答：解：=sin30=故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键6（5分）（2012重庆）设xR，
10、向量=（x，1），=（1，2），且，则|+|=（）ABC2D10考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：计算题分析：通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模解答：解：因为xR，向量=（x，1），=（1，2），且，所以x2=0，所以=（2，1），所以=（3，1），所以|+|=，故选B点评：本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算能力7（5分）（2012重庆）已知a=log23+log2，b=，c=log32则a，b，c的大小关系是（）Aa=bcBa=bcCabcDabc考点：不等式比较大小菁优网版权所有专题：计算题分析：利用对数的运算性质可求得a=log23，b=log2
11、31，而0c=log321，从而可得答案解答：解：a=log23+log2=log23，b=1，a=b1，又0c=log321，a=bc故选：B点评：本题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题8（5分）（2012重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f（x），且函数f（x）在x=2处取得极小值，则函数y=xf（x）的图象可能是（）ABCD考点：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：证明题分析：利用函数极小值的意义，可知函数f（x）在x=2左侧附近为减函数，在x=2右侧附近为增函数，从而可判断当x0时，函数y=xf（x）的函数值的正负，从而做
12、出正确选择解答：解：函数f（x）在x=2处取得极小值，f（2）=0，且函数f（x）在x=2左侧附近为减函数，在x=2右侧附近为增函数，即当x2时，f（x）0，当x2时，f（x）0，从而当x2时，y=xf（x）0，当2x0时，y=xf（x）0，对照选项可知只有C符合题意故选：C点评：本题主要考查了导函数与原函数图象间的关系，函数极值的意义及其与导数的关系，筛选法解图象选择题，属基础题9（5分）（2012重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（）A（0，）B（0，）C（1，）D（1，）考点：异面直线的判定；棱锥的结构特征菁优网版权所有专题
13、：计算题；压轴题分析：先在三角形BCD中求出a的范围，再在三角形AED中求出a的范围，二者相结合即可得到答案解答：解：设四面体的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，顶点为A，AD=在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0a2 （1）取BC中点E，E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，所以在三角形AED中，AE=ED=两边之和大于第三边2 得0a （负值0值舍）（2）由（1）（2）得0a故选：A点评：本题主要考察三角形三边关系以及异面直线的位置解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边这一结论10（5分）（2012重庆）设函数f（x）=x24x+3，g（x）=3x2，集合M
14、=xR|f（g（x）0，N=xR|g（x）2，则MN为（）A（1，）B（0，1）C（1，1）D（，1）考点：指、对数不等式的解法；交集及其运算；一元二次不等式的解法菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：利用已知求出集合M中g（x）的范围，结合集合N，求出g（x）的范围，然后求解即可解答：解：因为集合M=xR|f（g（x）0，所以（g（x）24g（x）+30，解得g（x）3，或g（x）1因为N=xR|g（x）2，MN=x|g（x）1即3x21，解得x1所以MN=x|x1故选：D点评：本题考查集合的求法，交集的运算，考查指、对数不等式的解法，交集及其运算，一元二次不等式的解法，考查计算能力二、填
15、空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11（5分）（2012重庆）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4=15考点：等比数列的前n项和菁优网版权所有专题：计算题分析：把已知的条件直接代入等比数列的前n项和公式，运算求得结果解答：解：首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4=15，故答案为 15点评：本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题12（5分）（2012重庆）若f（x）=（x+a）（x4）为偶函数，则实数a=4考点：函数奇偶性的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：由题意可得，f（x）=f（x）对于任意的x都成立，代入整理可得（a4）x=0对于任意的x都成立，从而可求a
16、解答：解：f（x）=（x+a）（x4）为偶函数f（x）=f（x）对于任意的x都成立即（x+a）（x4）=（x+a）（x4）x2+（a4）x4a=x2+（4a）x4a（a4）x=0a=4故答案为：4点评：本题主要考查了偶函数的定义的应用，属于基础试题13（5分）（2012重庆）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系菁优网版权所有专题：计算题分析：由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sin
17、C，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值解答：解：C为三角形的内角，cosC=，sinC=，又a=1，b=2，由余弦定理c2=a2+b22abcosC得：c2=1+41=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，由正弦定理=得：sinB=故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键14（5分）（2012重庆）设P为直线y=x与双曲线=1（a0，b0）左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e=考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：设
18、F1（c，0），利用F1是左焦点，PF1垂直于x轴，P为直线y=x上的点，可得（c，）在双曲线=1上，由此可求双曲线的离心率解答：解：设F1（c，0），则F1是左焦点，PF1垂直于x轴，P为直线y=x上的点（c，）在双曲线=1上=故答案为：点评：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查双曲线的离心率，属于中档题15（5分）（2012重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有专题：概率与统计分析：语文、
19、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有种排法，由此可求得在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率解答：解：语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有种排法，故所有的排法种数为在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为故答案为：点评：本题考查概率的求法，解题的关键是根据具体情况选用插空法，属于基础题三、解答题（共6小题，满分75分）16（13分）（2012重庆）
20、已知an为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12（）求an的通项公式（）记an的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式菁优网版权所有专题：计算题分析：（）设等差数列an的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2，从而得到an的通项公式（） 由（）可得 an的前n项和为Sn =n（n+1），再由=a1 Sk+2 ，求得正整数k的值解答：解：（）设等差数列an的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2an的通项公式 an =2+（n1）2=2n（） 由（）可得 an的前n项和为Sn =n（n+1）若a1，ak，
21、Sk+2成等比数列，=a1 Sk+2 ，4k2 =2（k+2）（k+3），k=6 或k=1（舍去），故 k=6点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题17（13分）（2012重庆）已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c16（）求a，b的值；（）若f（x）有极大值28，求f（x）在3，3上的最小值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件菁优网版权所有专题：综合题；探究型；方程思想；转化思想分析：（）由题设f（x）=ax3+bx+c，可得f（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c16，可得解此方程组即可得出a，b的值；（
22、II）结合（I）判断出f（x）有极大值，利用f（x）有极大值28建立方程求出参数c的值，进而可求出函数f（x）在3，3上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f（x）在3，3上的最小值即可解答：解：（）由题f（x）=ax3+bx+c，可得f（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c16，即，化简得解得a=1，b=12（II）由（I）知f（x）=x312x+c，f（x）=3x212=3（x+2）（x2）令f（x）=3x212=3（x+2）（x2）=0，解得x1=2，x2=2当x（，2）时，f（x）0，故f（x）在（，2）上为增函数；当x（2，2）时，f（x）0，故f（x）在（2，2）
23、上为减函数；当x（2，+）时，f（x）0，故f（x）在（2，+）上为增函数；由此可知f（x）在x1=2处取得极大值f（2）=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值f（2）=c16，由题设条件知16+c=28得，c=12此时f（3）=9+c=21，f（3）=9+c=3，f（2）=16+c=4因此f（x）在3，3上的最小值f（2）=4点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值及利用导数求函数的极值，解第一小题的关键是理解“函数在点x=2处取得极值c16”，将其转化为x=2处的导数为0与函数值为c16两个等量关系，第二小时解题的关键是根据极大值为28建立方程求出参数c的值本题考查了转化的思想及方程
24、的思想，计算量大，有一定难度，易因为不能正确转化导致无法下手求解及计算错误导致解题失败，做题时要严谨认真，严防出现在失误此类题是高考的常考题，平时学习时要足够重视18（13分）（2012重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（）求乙获胜的概率；（）求投篮结束时乙只投了2个球的概率考点：相互独立事件的概率乘法公式；概率的基本性质菁优网版权所有专题：计算题分析：（）分别求出乙第一次投球获胜的概率、乙第二次投球获胜的概率、乙第三次投球获胜的概率，相加即得所求（）由
25、于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了，把这两种情况的概率相加，即得所求解答：解：（）乙第一次投球获胜的概率等于 =，乙第二次投球获胜的概率等于=，乙第三次投球获胜的概率等于=，故 乙获胜的概率等于 +=（）由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了故投篮结束时乙只投了2个球的概率等于 +=点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题19（12分）（2012重庆）设函数f（x）=Asin（x+）其中A0，0，）在x
26、=处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为（）求f（x）的解析式；（）求函数g（x）=的值域考点：三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：（）通过函数的周期求出，求出A，利用函数经过的特殊点求出，推出f（x）的解析式；（）利用（）推出函数g（x）=的表达式，通过cos2x0，1，且，求出g（x）的值域解答：解：（）由题意可知f（x）的周期为T=，即=，解得=2因此f（x）在x=处取得最大值2，所以A=2，从而sin（）=1，所以，又，得=，故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）；（）函数g（x）=因
27、为cos2x0，1，且，故g（x）的值域为点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查计算能力20（12分）（2012重庆）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（）求异面直线CC1和AB的距离；（）若AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题分析：（）先根据条件得到CDAB以及CC1CD，进而求出C的长即可；（）解法一；先根据条件得到A1DB1为所求的二面角A1CDB1的平面角，再根
28、据三角形相似求出棱柱的高，进而在三角形A1DB1中求出结论即可；解法二：过D作DD1AA1交A1B1于D1，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量的坐标，最后代入向量的夹角计算公式即可求出结论解答：解：（）解：因为AC=BC，D为AB的中点，故CDAB，又直三棱柱中，CC1面ABC，故CC1CD，所以异面直线CC1和AB的距离为：CD=（）解法一；由CDAB，CDBB1，故CD平面A1ABB1，从而CDDA1，CDDB1，故A1DB1为所求的二面角A1CDB1的平面角因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1A1D，从而A1AB1，A1DA都与
29、B1AB互余，因此A1AB1=A1DA，所以RTA1ADRTB1A1A，因此=，得=ADA1B1=8，从而A1D=2，B1D=A1D=2所以在三角形A1DB1中，cosA1DB1=解法二：过D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由第一问知：DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系DXYZ设直三棱柱的高为h，则A（2，0，0），A1（2，0，h）B1（2，0，h）C（0，0）从而=（4，0，h），=（2，h）由AB1A1C得=0，即8h2=0，因此h=2，故=（1，0，2），=（2，0，2），=（0，0）设平面A1CD的法向
30、量为=（x，y，z），则，即取z=1，得=（，0，1），设平面B1CD的法向量为=（a，b，c），则，即取c=1得=（，0，1），所以cos，=所以二面角的平面角的余弦值为点评：本题主要考察异面直线间的距离计算以及二面角的平面角及求法在求异面直线间的距离时，关键是求出异面直线的公垂线21（12分）（2012重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形（）求该椭圆的离心率和标准方程；（）过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求PB2Q的面积考点：直线与圆锥曲线的综合问
31、题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（）设椭圆的方程为，F2（c，0），利用AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得B1AB2为直角，从而，利用c2=a2b2，可求，又S=|B1B2|OA|=4，故可求椭圆标准方程；（）由（）知B1（2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y24my160，利用韦达定理及PB2QB2，利用可求m的值，进而可求PB2Q的面积解答：解：（）设椭圆的方程为，F2（c，0）AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，B1AB2为直
32、角，从而|OA|=|OB2|，即c2=a2b2，a2=5b2，c2=4b2，在AB1B2中，OAB1B2，S=|B1B2|OA|=S=4，b2=4，a2=5b2=20椭圆标准方程为；（）由（）知B1（2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my2代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y24my16=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），=PB2QB2，m=2当m=2时，可化为9y28y160，|y1y2|=PB2Q的面积S=|B1B2|y1y2|=4=点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积计算，综合性强19