1、2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2013浙江）设集合S=x|x2，T=x|4x1，则ST=（）A4，+）B（2，+）C4，1D（2，12（5分）（2013浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A55iB75iC5+5iD7+5i3（5分）（2013浙江）若R，则“=0”是“sincos”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）（2013浙江）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，（）A若m，n，则mnB若m，m
2、，则C若mn，m，则nD若m，则m5（5分）（2013浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A108cm3B100 cm3C92cm3D84cm36（5分）（2013浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A，1B，2C2，1D2，27（5分）（2013浙江）已知a、b、cR，函数f（x）=ax2+bx+c若f（0）=f（4）f（1），则（）Aa0，4a+b=0Ba0，4a+b=0Ca0，2a+b=0Da0，2a+b=08（5分）（2013浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f（x）的图象如图
3、所示，则该函数的图象是（）ABCD9（5分）（2013浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）ABCD10（5分）（2013浙江）设a，bR，定义运算“”和“”如下：ab= ab=若正数a、b、c、d满足ab4，c+d4，则（）Aab2，cd2Bab2，cd2Cab2，cd2Dab2，cd2二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11（4分）（2013浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=_12（4分）（2013浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同
4、学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于_13（4分）（2013浙江）直线y=2x+3被圆x2+y26x8y=0所截得的弦长等于_14（4分）（2013浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_15（4分）（2013浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足 若z的最大值为12，则实数k=_16（4分）（2013浙江）设a，bR，若x0时恒有0x4x3+ax+b（x21）2，则ab等于_17（4分）（2013浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、yR若、的夹角为30，则的最大值等于_三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（1
5、4分）（2013浙江）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b（）求角A的大小；（）若a=6，b+c=8，求ABC的面积19（14分）（2013浙江）在公差为d的等差数列an中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（）求d，an；（） 若d0，求|a1|+|a2|+|a3|+|an|20（15分）（2013浙江）如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，ABC=120，G为线段PC上的点（）证明：BD面PAC；（）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（）若G满足PC面BGD，求 的值21（15
6、分）（2013浙江）已知aR，函数f（x）=2x33（a+1）x2+6ax（）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若|a|1，求f（x）在闭区间0，|2a|上的最小值22（14分）（2013浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（）求抛物线C的方程；（） 过F作直线交抛物线于A、B两点若直线OA、OB分别交直线l：y=x2于M、N两点，求|MN|的最小值2013年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2013浙江）设集合S=x|
7、x2，T=x|4x1，则ST=（）A4，+）B（2，+）C4，1D（2，1考点：交集及其运算756122 专题：计算题分析：找出两集合解集的公共部分，即可求出交集解答：解：集合S=x|x2=（2，+），T=x|4x1=4，1，ST=（2，1故选D点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）（2013浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A55iB75iC5+5iD7+5i考点：复数代数形式的乘除运算756122 专题：计算题分析：直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式解答：解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i故选C点评：本题考查
8、复数的代数形式的混合运算，考查计算能力3（5分）（2013浙江）若R，则“=0”是“sincos”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断756122 专题：三角函数的图像与性质分析：当“=0”可以得到“sincos”，当“sincos”时，不一定得到“=0”，得到“=0”是“sincos”的充分不必要条件解答：解：“=0”可以得到“sincos”，当“sincos”时，不一定得到“=0”，如=等，“=0”是“sincos”的充分不必要条件，故选A点评：本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方
9、法4（5分）（2013浙江）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，（）A若m，n，则mnB若m，m，则C若mn，m，则nD若m，则m考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系756122 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误解答：解：A、m，n，则mn，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m，m，则，还有与可能相交，所以B不正确；C、mn，m，则n，满足直线与平面垂直的性质定
10、理，故C正确D、m，则m，也可能m，也可能m=A，所以D不正确；故选C点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力5（5分）（2013浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A108cm3B100 cm3C92cm3D84cm3考点：由三视图求面积、体积756122 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）据此即可得出体积解答：解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱
11、锥（长方体的一个角）该几何体的体积V=663=100故选B点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键6（5分）（2013浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A，1B，2C2，1D2，2考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法756122 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出的值，求出函数的最小正周期即可解答：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin
12、（2x+），1sin（2x+）1，振幅为1，=2，T=故选A点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键7（5分）（2013浙江）已知a、b、cR，函数f（x）=ax2+bx+c若f（0）=f（4）f（1），则（）Aa0，4a+b=0Ba0，4a+b=0Ca0，2a+b=0Da0，2a+b=0考点：二次函数的性质756122 专题：函数的性质及应用分析：由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）f（1）可得a+b0，消掉b变为关于a的不等式可得a0解答：解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a
13、+b=0；又f（0）f（1），即ca+b+c，所以a+b0，即a+（4a）0，所以3a0，故a0故选A点评：本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题8（5分）（2013浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）ABCD考点：函数的图象756122 专题：函数的性质及应用分析：根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项解答：解：由导数的图象可得，函数f（x）在1，0上增长速度逐渐变大，图象是下凹型的；在0，1上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B点评：本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题9（5分
14、）（2013浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）ABCD考点：椭圆的简单性质756122 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，点A为椭圆C1：+y2=1上的点，2a=4，b=1，c=；|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；又四边形AF1BF2为矩形，+=，即x2+y2=（2c）2=12，由得：，解
15、得x=2，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|AF1|=yx=2，2c=2=2，双曲线C2的离心率e=故选D点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题10（5分）（2013浙江）设a，bR，定义运算“”和“”如下：ab= ab=若正数a、b、c、d满足ab4，c+d4，则（）Aab2，cd2Bab2，cd2Cab2，cd2Dab2，cd2考点：函数的值756122 专题：计算题；新定义分析：依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可解答：解：ab=，ab=，正数a、b、c、d满足ab4，c+d4，不
16、妨令a=1，4，则ab2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d4，但不满足cd2，故可排除D；故选C点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11（4分）（2013浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=10考点：函数的值756122 专题：计算题分析：利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可解答：解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10故答案为：10点评：本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力12（4分）（2013浙江）从三男三女6名学
17、生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于考点：古典概型及其概率计算公式756122 专题：概率与统计分析：由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案解答：解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=故答案为：点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题13（4分）（2013浙江）直线y=2x+3被圆x2+y26x8y=0所截得的弦长等于4考点：直线与圆的位置关系756122 专题：计算题；直线与圆分析：求出圆的圆心与半径，利用
18、圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可解答：解：圆x2+y26x8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y26x8y=0所截得的弦长为：2=4故答案为：4点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力14（4分）（2013浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于考点：程序框图756122 专题：图表型分析：由题意可知，该程序的作用是求解S=1+的值，然后利用裂项求和即可求解解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1+的值而S=1+=1+1+=故答案为：点评：本
19、题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能15（4分）（2013浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足 若z的最大值为12，则实数k=2考点：简单线性规划756122 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移经讨论可得当当k0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k0时，结合图形可得：当l经过点C时，zmax=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，3）
20、，C（4，4）设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得当k0时，直线l的斜率k0，由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，此时，zmax=F（2，3）=2k+3或zmax=F（4，4）=4k+4但由于k0，使得2k+312且4k+412，不能使z的最大值为12，故此种情况不符合题意；当k0时，直线l的斜率k0，由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值此时zmax=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意综上所述，实数k的值为2故答案为：2点评：本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值，
21、着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题16（4分）（2013浙江）设a，bR，若x0时恒有0x4x3+ax+b（x21）2，则ab等于1考点：函数恒成立问题756122 专题：转化思想；函数的性质及应用分析：由题意，x0时恒有0x4x3+ax+b（x21）2，考察（x21）2，发现当x=1时，其值都为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，从而解出它们的值，即可求出积解答：解：验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0a+b0，所以a+b=0；当x=1时，将1代入不等式有02a+b0，所以 ba=2 联立以上二式得：a=1，b=1所
22、以ab=1故答案为1点评：本题考查函数恒成立的最值问题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，将问题灵活转化是解题的关键17（4分）（2013浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、yR若、的夹角为30，则的最大值等于2考点：数量积表示两个向量的夹角756122 专题：平面向量及应用分析：由题意求得 =，|=，从而可得 =，再利用二次函数的性质求得的最大值解答：解：、 为单位向量，和的夹角等于30，=11cos30=非零向量=x+y，|=，=，故当=时，取得最大值为2，故答案为 2点评：本题主要考查两个向量的数量积的
23、运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）（2013浙江）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b（）求角A的大小；（）若a=6，b+c=8，求ABC的面积考点：正弦定理；余弦定理756122 专题：解三角形分析：（）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角
24、形ABC的面积解答：解：（）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，sinB0，sinA=，又A为锐角，则A=；（）由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即36=b2+c2bc=（b+c）23bc=643bc，bc=，又sinA=，则SABC=bcsinA=点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键19（14分）（2013浙江）在公差为d的等差数列an中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（）求d，an；（） 若d0，求|a1|+|a2|+|a3|+|an|考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质7
25、56122 专题：等差数列与等比数列分析：（）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式an可求；（）利用（）中的结论，得到等差数列an的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d0时|a1|+|a2|+|a3|+|an|的和解答：解：（）由题意得，即，整理得d23d4=0解得d=1或d=4当d=1时，an=a1+（n1）d=10（n1）=n+11当d=4时，an=a1+（n1）d=10+4（n1）=4n+6所以an=n+11或an=4n+6；（）设数列an的前n项和为Sn，因为d0，由（）得d=1，an=n+11则当n11时，当n12时，
26、|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn+2S11=综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+|an|=点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题20（15分）（2013浙江）如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，ABC=120，G为线段PC上的点（）证明：BD面PAC；（）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（）若G满足PC面BGD，求 的值考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算756122 专题：空间位置关
27、系与距离；空间角分析：（）由PA面ABCD，可得PABD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BDAC再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD面PAC（）由三角形的中位线性质以及条件证明DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tanDGO的值（）先证 PCOG，且 PC=由COGPCA，可得，解得GC的值，可得PG=PCGC 的值，从而求得 的值解答：解：（）证明：在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，PABD AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O
28、为AC的中点，且BDAC而PAAC=A，BD面PAC（）若G是PC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA面ABCD，可得GO面ABCD，GOOD，故OD平面PAC，故DGO为DG与平面PAC所成的角由题意可得，GO=PA=ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=4+4222cos120=12，AC=2，OC=直角三角形COD中，OD=2，直角三角形GOD中，tanDGO=（）若G满足PC面BGD，OG平面BGD，PCOG，且 PC=由COGPCA，可得，即 ，解得GC=，PG=PCGC=，=点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空
29、间距离的求法，属于中档题21（15分）（2013浙江）已知aR，函数f（x）=2x33（a+1）x2+6ax（）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若|a|1，求f（x）在闭区间0，|2a|上的最小值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值756122 专题：导数的综合应用分析：（）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值解答：解：（）当a=1时，f（x）=6x212x+6，所以f（2）=6f（2）=4，曲线y=f（x）
30、在点（2，f（2）处的切线方程为y=6x8；（）记g（a）为f（x）在闭区间0，|2a|上的最小值f（x）=6x26（a+1）x+6a=6（x1）（xa）令f（x）=0，得到x1=1，x2=a当a1时，x0（0，1）1（1，a）a（a，2a）2af（x）+00+f（x）0单调递增极大值3a1单调递减极小值e2（3a）单调递增4a3比较f（0）和f（a）=a2（3a）的大小可得g（a）=；当a1时，X0（0，1）1（1，2a）2afx）0+f（x）0单调递减极小值3a1单调递增28a324a2g（a）=3a1f（x）在闭区间0，|2a|上的最小值为g（a）=点评：本题考查导数知识的运用，考查导数
31、的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题22（14分）（2013浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（）求抛物线C的方程；（） 过F作直线交抛物线于A、B两点若直线OA、OB分别交直线l：y=x2于M、N两点，求|MN|的最小值考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程756122 专题：综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+
32、1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值解答：解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1由消去y，整理得x24kx4=0所以x1+x2=4k，x1x2=4，从而有|x1x2|=4由解得点M的横坐标为xM=，同理可得点N的横坐标为xN=所以|MN|=|xMxN|=|=8|=令4k3=t，t不为0，则k=当t0时，|MN|=22当t0时，|MN|=2=2综上所述，当t=时，|MN|的最小值是点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用