1、2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1（5分）（2015北京）复数i（2i）=（）A1+2iB12iC1+2iD12i2（5分）（2015北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A0B1CD23（5分）（2015北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A（2，2）B（4，0）C（4，4）D（0，8）4（5分）（2015北京）设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m“是“”的（）21世纪教育网版权所有A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分不要条件D既不充分也不必要条件5（5分）（2015北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A
2、2+B4+C2+2D56（5分）（2015北京）设an是等差数列，下列结论中正确的是（）A若a1+a20，则a2+a30B若a1+a30，则若a1+a20，C若若0a1a2，则a2D若a10，则（a2a1）（a2a3）07（5分）（2015北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）21教育网Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x28（5分）（2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路
3、程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（每小题5分，共30分）9（5分）（2015北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）10（5分）（2015北京）已知双曲线y2=1（a0）的一条渐近线为x+y=0，则a=21世纪*教育网11（5分）（2015北京）在极坐标系中，点（2，）到直线（cos+sin）=6的距离为www-2-1-cnjy-com12（5分）（2015北京）在ABC中，a=4，b=5，c=6，则=13（5分）（2015北京）在ABC中
4、，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=2-1-c-n-j-y14（5分）（2015北京）设函数f（x）=，若a=1，则f（x）的最小值为；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是三、解答题（共6小题，共80分）15（13分）（2015北京）已知函数f（x）=sincossin（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间，0上的最小值16（13分）（2015北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：21*cnjy*comA组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，
5、从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙（）求甲的康复时间不少于14天的概率；（）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17（14分）（2015北京）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60，O为EF的中点（）求证：AOBE（）求二面角FAEB的余弦值；（）若BE平面AOC，求a的值18（13分）（2015北京）已知函数f（x）=ln，（）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求证，当x（
6、0，1）时，f（x）；（）设实数k使得f（x）对x（0，1）恒成立，求k的最大值19（14分）（2015北京）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M（）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得OQM=ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由20（13分）（2015北京）已知数列an满足：a1N*，a136，且an+1=（n=1，2，），记集合M=an|nN*（）若a1=6，写出集合M的所有元素；（）如集合M存在一个元
7、素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（）求集合M的元素个数的最大值2015年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1（5分）（2015北京）复数i（2i）=（）A1+2iB12iC1+2iD12i考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则解答解答：解：原式=2ii2=2i（1）=1+2i；故选：A点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则注意i2=12（5分）（2015北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A0B1CD2考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，
8、再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部阴影部分，由解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值z最大值=故选：C点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题3（5分）（2015北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A（2，2）B（4，0）C（4，4）D（0，8）考点：程序框图专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，
9、y，k的值，当k=3时满足条件k3，退出循环，输出（4，0）解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=1，k=0s=0，i=2x=0，y=2，k=1不满足条件k3，s=2，i=2，x=2，y=2，k=2不满足条件k3，s=4，i=0，x=4，y=0，k=3满足条件k3，退出循环，输出（4，0），故选：B点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x，y，k的值是解题的关键，属于基础题4（5分）（2015北京）设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m“是“”的（）21cnjyA充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分不要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要
10、条件的判断专题：简易逻辑分析：m并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且m，显然能得到m，这样即可找出正确选项解答：解：m，m得不到，因为，可能相交，只要m和，的交线平行即可得到m；，m，m和没有公共点，m，即能得到m；“m”是“”的必要不充分条件故选B点评：考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念5（5分）（2015北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+B4+C2+2D5考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：根据三视图可判断直观图为：A面A
11、BC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积解答：解：根据三视图可判断直观图为：OA面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，可得AEBC，BCOA，运用直线平面的垂直得出：BC面AEO，AC=，OE=SABC=22=2，SOAC=SOAB=1=SBCO=2=故该三棱锥的表面积是2，故选：C点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质6（5分）（2015北京）设an是等差数列，下列结论中正确的是（）A若a1+a2
12、0，则a2+a30B若a1+a30，则若a1+a20，C若若0a1a2，则a2D若a10，则（a2a1）（a2a3）0考点：等差数列的性质专题：计算题；等差数列与等比数列分析：对选项分别进行判断，即可得出结论解答：解：若a1+a20，则2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0时，结论成立，即A不正确；若a1+a20，则2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0时，结论成立，即B不正确；an是等差数列，0a1a2，2a2=a1+a32，a2，即C正确；若a10，则（a2a1）（a2a3）=d20，即D不正确故选：C点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础7（5分）
13、（2015北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2考点：指、对数不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集解答：解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）log2（x+1）的x范围是1x1；所以不等式f（x）log2（x+1）的解集是x|1x1；故选C点评：本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移8（5分）（2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油
14、行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考点：函数的图象与图象变化专题：创新题型；函数的性质及应用分析：根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可解答：解：对于选项A，消耗1升汽油，乙车行驶的距离比5小的很多，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错
15、误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确点评：本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题二、填空题（每小题5分，共30分）9（5分）（2015北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为40（用数字作答）考点：二项式定理的应用专题：二项式定理分析：写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值解答：解：（2+x）5的展开式的通项公式为：Tr+1=25rxr，所求x3的系数为：=40故答案为：40点评：本题考查
16、二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力10（5分）（2015北京）已知双曲线y2=1（a0）的一条渐近线为x+y=0，则a=21cnjycom考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：运用双曲线的渐近线方程为y=，结合条件可得=，即可得到a的值解答：解：双曲线y2=1的渐近线方程为y=，由题意可得=，解得a=故答案为：点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题11（5分）（2015北京）在极坐标系中，点（2，）到直线（cos+sin）=6的距离为1【来源：21cnj*y.co*m】考点：简单曲线的极坐标方程专题：坐标系和参数方程分
17、析：化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出解答：解：点P（2，）化为P直线（cos+sin）=6化为点P到直线的距离d=1故答案为：1点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）（2015北京）在ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1考点：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理专题：计算题；解三角形分析：利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论解答：解：ABC中，a=4，b=5，c=6，cosC=，cosA=sinC=，sinA=，=1故答案为：1点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础13（5分）
18、（2015北京）在ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=www.21-cn-考点：平面向量的基本定理及其意义专题：平面向量及应用分析：首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值解答：解：由已知得到=；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案为：点评：本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（x，y）使，向量等式成立14（5分）（2015北京）设函数f（x）=，若a=1，则f（x）的最小值为1；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是a1或a2考点：函数的零点；分段函数的应用专题：创新题型；函数的性质
19、及应用分析：分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；分别设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围解答：解：当a=1时，f（x）=，当x1时，f（x）=2x1为增函数，f（x）1，当x1时，f（x）=4（x1）（x2）=4（x23x+2）=4（x）21，当1x时，函数单调递减，当x时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=1，设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a）若在x1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a0，并且当x=1时，h（1）=2a0，所以0a2，而函数g（x）=4（xa）（x2a）有一个交点，所以2a1，且
20、a1，所以a1，若函数h（x）=2xa在x1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（xa）（x2a）有两个交点，当a0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2a时，即a2时，g（x）的两个交点为x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是a1，或a2点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题三、解答题（共6小题，共80分）15（13分）（2015北京）已知函数f（x）=sincossin（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间，0上的最小值考点：两角和与差的正弦函数；
21、三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦喊话说的周期，即可得到所求；（）由x的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值解答：解：（）f（x）=sincossin=sinx（1cosx）=sinxcos+cosxsin=sin（x+），则f（x）的最小正周期为2；（）由x0，可得x+，即有1，则当x=时，sin（x+）取得最小值1，则有f（x）在区间，0上的最小值为1点评：本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中
22、档题16（13分）（2015北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：【来源：21世纪教育网】A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙（）求甲的康复时间不少于14天的概率；（）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为
23、“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，7（）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；（）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；（）由方差的公式可得解答：解：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，7（）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”甲的康复时间不少于14天的概率P（A5A6A7）=P（A5）+
24、P（A6）+P（A7）=；（）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6，P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题17（14分）（2015北京）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EF
25、CB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60，O为EF的中点（）求证：AOBE（）求二面角FAEB的余弦值；（）若BE平面AOC，求a的值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）根据线面垂直的性质定理即可证明AOBE（）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角FAEB的余弦值；（）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值解答：证明：（）AEF为等边三角形，O为EF的中点，AOEF，平面AEF平面EFCB，AO平面AEF，AO平面EFCBAOBE（）取BC的中点G，连接OG，EFCB是等腰梯形，OGEF，由（）
26、知AO平面EFCB，OG平面EFCB，OAOG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，BH=2a，EH=BHtan60=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，0），=（a，0，a），=（a2，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=1，即=（，1，1），平面AEF的法向量为，则cos=即二面角FAEB的余弦值为；（）若BE平面AOC，则BEOC，即=0，=（a2，0），=（2，0），=2（a2）3（a2）2=0，解得a=点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法18（13分
27、）（2015北京）已知函数f（x）=ln，（）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求证，当x（0，1）时，f（x）；（）设实数k使得f（x）对x（0，1）恒成立，求k的最大值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：导数的综合应用分析：（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围解答：解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）ln（1x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=2x（2）证明：令g（x）=
28、f（x）2（x+），则g（x）=f（x）2（1+x2）=，因为g（x）0（0x1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增所以g（x）g（0）=0，x（0，1），即当x（0，1）时，f（x）2（x+）（3）由（2）知，当k2时，f（x）对x（0，1）恒成立当k2时，令h（x）=f（x），则h（x）=f（x）k（1+x2）=，所以当时，h（x）0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减当时，h（x）h（0）=0，即f（x）所以当k2时，f（x）并非对x（0，1）恒成立综上所知，k的最大值为2点评：本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明在高考中属常考题型，难度适中19（14分）（201
29、5北京）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M（）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得OQM=ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（I）根据椭圆的几何性质得出求解即可（II）求解得出M（，0），N（，0），运用图形得出tanOQM=tanONQ，=，求解即可得出即yQ2=xMxN，+n2，
30、根据m，m的关系整体求解解答：解：（）由题意得出解得：a=，b=1，c=1+y2=1，P（0，1）和点A（m，n），1n1PA的方程为：y1=x，y=0时，xM=M（，0）（II）点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m0）点B（m，n）（m0）直线PB交x轴于点N，N（，0），存在点Q，使得OQM=ONQ，Q（0，yQ），tanOQM=tanONQ，=，即yQ2=xMxN，+n2=1yQ2=2，yQ=，故y轴上存在点Q，使得OQM=ONQ，Q（0，）或Q（0，）点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题20（13分）（
31、2015北京）已知数列an满足：a1N*，a136，且an+1=（n=1，2，），记集合M=an|nN*（）若a1=6，写出集合M的所有元素；（）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（）求集合M的元素个数的最大值考点：数列递推式专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法分析：（）a1=6，利用an+1=可求得集合M的所有元素为6，12，24；（）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=（n=1，2，），可归纳证明对任意nk，an是3的倍数；（）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值解答：解：（）若a1
32、=6，由于an+1=（n=1，2，），M=an|nN*故集合M的所有元素为6，12，24；（）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=（n=1，2，），可归纳证明对任意nk，an是3的倍数如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；如果k1，因为ak=2ak1，或ak=2ak136，所以2ak1是3的倍数；于是ak1是3的倍数；类似可得，ak2，a1都是3的倍数；从而对任意n1，an是3的倍数；综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数（）对a136，an=（n=1，2，），可归纳证明对任意nk，an36（n=2，3，）因为a1是正整数，a2=，所以a2是2的倍数从而当n3时，an是2的倍数如果a1是3的倍数，由（）知，对所有正整数n，an是3的倍数因此当n3时，an12，24，36，这时M的元素个数不超过5如果a1不是3的倍数，由（）知，对所有正整数n，an不是3的倍数因此当n3时，an4，8，16，20，28，32，这时M的元素个数不超过8当a1=1时，M=1，2，4，8，16，20，28，32，有8个元素综上可知，集合M的元素个数的最大值为8点评：本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题