1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学一、选择题1已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，则MN等于()Ax|4x3 Bx|4x2Cx|2x2 Dx|2x3答案C解析Nx|2x3，Mx|4x2，MNx|2x2，故选C.2设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21答案C解析z在复平面内对应的点为(x，y)，zxyi(x，yR)|zi|1，|x(y1)i|1，x2(y1)21.故选C.3已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()Aabc BacbCcab Dbca答案B
2、解析alog20.21，c0.20.3(0,1)，ac0，排除C；f(1)，且sin 1cos 1，f(1)1，排除B，故选D.6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. B. C. D.答案A解析由6个爻组成的重卦种数为2664，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P.故选A.7已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案B解析设a与
3、b的夹角为，(ab)b，(ab)b0，abb2，|a|b|cos |b|2，又|a|2|b|，cos ，0，故选B.8如图是求的程序框图，图中空白框中应填入()AA BA2CA DA1答案A解析A，k1,12成立，执行循环体；A，k2,22成立，执行循环体；A，k3,32不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A.故选A.9记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n答案A解析设等差数列an的公差为d，解得ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故选A.10已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,
4、0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1答案B解析由题意设椭圆的方程为1(ab0)，连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点令OAF2(O为坐标原点)，则sin .在等腰三角形ABF1中，cos 2，因为cos 212sin2，所以122，得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆C的方程为1，故选B.11关于函数f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间上单
5、调递增；f(x)在，上有4个零点；f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A B C D答案C解析f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确；当x0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_答案2解析因为0，所以F1BF2B，如图因为，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OABF2，所以F1BOA，所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tanBOF2，tanBF1O.因为tanB
6、OF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以双曲线的离心率e2.三、解答题17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若ab2c，求sin C.解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc，由余弦定理得cos A，因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sinC，可得cos(C60).由于0C0，得t0，g0；当x时，g
7、(x)0.所以g(x)在(1，)上单调递增，在上单调递减，故g(x)在上存在唯一极大值点，即f(x)在上存在唯一极大值点(2)f(x)的定义域为(1，)当x(1,0时，由(1)知，f(x)在(1,0)上单调递增而f(0)0，所以当x(1,0)时，f(x)0，故f(x)在(1,0)上单调递减又f(0)0，从而x0是f(x)在(1,0上的唯一零点；当x时，由(1)知，f(x)在(0，)上单调递增，在上单调递减，而f(0)0，f0；当x时，f(x)0，所以当x时，f(x)0.从而，f(x)在上没有零点；当x时，f(x)0，f()1，所以f(x)0，从而f(x)在(，)上没有零点综上，f(x)有且仅有
8、2个零点21为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布
9、列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设0.5，0.8.()证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；()求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性(1)解X的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)所以X的分布列为 (2)()证明由(1)得a0.4，b0.5，c0.1.因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(p
10、ipi1)，即pi1pi4(pipi1)又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2，7)为公比为4，首项为p1的等比数列()解由()可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)p1.由于p81，故p1，所以p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)p1.p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p40.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理22选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数)以坐标原点O
11、为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值解(1)因为11，且x2221，所以C的直角坐标方程为x21(x1)l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)可设C的参数方程为 (为参数，)C上的点到l的距离为.当时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.23选修45：不等式选讲已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，且abc1，故有a2b2c2abbcca.所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3(2)(2)(2)24.所以(ab)3(bc)3(ca)324.