1、公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 2020 年高考金榜冲刺卷（三）数学（文）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合那么集合为（）(,)2,(,)4,Mx y xyNx
2、y xyMNABCD3,1xy 3,131，-3,1【答案】D【解析】由得所以，选 D.2,4xyxy3,1xy 3,1MN2 是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为()i12aiiaABCD221212【答案】A公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】,复数为纯虚数,1(1)(2)2(2)(2)aiaiiiii2(21)4aai2(21)42aai12aii，故选 A.20,2210aaa 3.已知，则等于()5sin()45sin2ABCD454535-35【答案】C【解析】,coscos444sinsinsin25sincos2510sincos5两边平方得,，故选 C.21 si
3、n253sin25 4根据中国生态环境部公布的 2017 年、2018 年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图：则下列说法错误的是（）A2018 年的水质情况好于 2017 年的水质情况B2018 年与 2017 年相比较，、类水质的占比明显增加C2018 年与 2017 年相比较，占比减小幅度最大的是类水质公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞D2018 年、类水质的占比超过60%【答案】C【解析】2018 年、类水质的占比明显超过 2017 年、类水质的占比，故 A 正确；2018 年、类水质的占比达到 60.4%，而 2017 年、类水质的占比为 46.4%，故 B 正确；2018
4、 年与 2017 年相比较，占比减小幅度最大的是 III 类水质，故 C 错误；2018 年、类水质的占比达到 60.4%，超过，故60%D 正确.故选 C5函数的图像大致是（）1()cos1xxef xxeABCD【答案】A【解析】函数，可得，1cos1xxef xxe 11coscos11xxxxeefxxxf xee 函数是奇函数，排除 B，时，排除 D，时，对应2x02f6x66130621efe点在第四象限，排除 C.故选 A.6设双曲线 C:的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为 1，则双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A2BCD422
5、 2【答案】B公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】双曲线的两条渐近线互相垂直，渐近线方程为，2222:10,0 xyCababyx 顶点到一条渐近线的距离为 1，双曲线的方程为ab212a 2abC，焦点坐标为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为故22122xy 2,0,2,0222d 选 B.7中国古代数学名著九章算术中,将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为（）ABCD18 618 318 22722【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱，底面直角三角形斜边的高为，该“堑堵”的6 33 2左视
6、图的面积为，故选 C.3 2618 28王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：4 100甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（）A甲B乙C丙D丁【答案】C【解析】由题乙，丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙，丙
7、中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这是丁第一棒，甲第四棒，符合题意.故跑第三棒的人是丙.选 C.9执行如图的程序框图，如果输入的分别为，输出的，那么判断框中应填入的条件,a b k1,2,3158M 为（）ABCDnknk1nk1nk【答案】C【解析】依次执行程序框图中的程序，可得：，满足条件，继续运行；1331,2,2222Mabn，满足条件，继续运行；28382,33323Mabn公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，不满足条件，停止运行，输出故判断框内应填3315815,428838Mabn158n4，即 nk+1故选 C10函数在上满足，则曲线在点处的切线方 f xR 2
8、2288f xfxxx yf x 1,1f程是（）ABCDyx32yx23yx 21yx【答案】D【解析】，.2()2(2)88f xfxxx2(2)2()(2)8(2)8fxf xxx.将代入，2(2)2()44 1688fxf xxxx(2)fx2()2(2)88f xfxxx得，在处的切22()4()28888f xf xxxxx 2()f xx()2fxx()yf x(1,(1)f线斜率为，函数在处的切线方程为，2y()yf x(1,(1)f12(1)yx 即.所以答案为 D.21yx11已知平面图形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线ABCD的同侧）
9、，且，则四边形面积的最大值为（）2,4,5,3ABBCCDDAABCDA B C D2 302 312 332 34【答案】A【解析】设，在中，由余弦定理可得，.ACxABC222242 2 4cos20 16cosxBB 在中，由余弦定理可得，即有，ACD222352 3 5cos3430cosxDD 15cos8cos7DB又四边形面积，即有，又ABCD112 4sin3 5sin22SBD 8sin15sin2BDS，两式两边平方可得.化简可得，15sin8sin7DB264225240 sin sincos cos494BDBDs公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，由于，即有，
10、当即1cos1BD 2 30S cos1BD 时，解得.故的最大值为,故选 A.BD24240240S 2 30S S2 3012已知函数，若存在，使得关于的不等式恒成立，则的()eexf xaxa1,1a x()0f xkk取值范围为ABCD,1,1,0,0【答案】A【解析】解法 1：（1）当时，所以；=1x 110fkk 1k （2）当时，令，1x eeeexxm aaxaax因为存在，使得，等价于，1,1a 0m ak 1eexkmx 所以，存在，使得关于的不等式恒成立，等价于恒成立.令1,1a x minkf xeexxk（），则，所以单调递增，eexg xx 1x e10 xgx g
11、 x所以，即；11g xgk 1k （3）当时，因为，所以，1x 1,1a eeeeeexxxaxaaxx所以要存在，使得关于的不等式恒成立，等价于恒成立.1,1a x minkf xeexxk令（），则单调递减，所以，即.综上，得.eexh xx1x h x 1h xk 1k 1k 解法 2：，（1）当时，所以单调递减，且当趋向于时，e1xfxa1,0a 0fx f xx趋向于，与不等式恒成立矛盾，舍去；（2）当时，令，f x0,1a 0fx 1ln,xa公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞所以在区间单调递增；令，所以在区间 f x1ln,a 0fx 1,lnxa f x单调递减；所以
12、存在，使得成立.1,lna0,1a min1lnlne 1fxfaaka 令，所以：当时，单调递增；lne 1g aaa 1egaa10,ea 0ga g a当时，单调递减.所以，即.1,1ea 0ga g a max11egagk 1k 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知向量，若，则_1,3a,2bmaabm【答案】4【解析】由题意得，)，故答(11)abm，()aab1 30aabm 4m 案为414设变量满足约束条件，则的最大值是_.,x y2040440 xyxyxy21yx【答案】52【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示公众号：卷洞洞公众号：卷
13、洞洞公众号：卷洞洞表示可行域内的点与点连线的斜率结合图形得，可行域内的点 A 与点连线的21yx(,)x y(1,2)(1,2)斜率最大由，解得所以点 A 的坐标为答案：4020 xyxy13xy(1,3)max2325()11 12yx.5215已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点是抛物线上一点，则的最小值24yxFxKP|PFPK为_【答案】22【解析】作垂直于准线交准线于点，PAA则，则，当直线与抛物线相切时，取得最小值，设此|PFPA|sin|PFPAAKPPKPKKP|PFPK公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞时的直线方程为，与联立，得，即，KP1xmy24yx2440y
14、my216160m 1m 则，则的最小值为.故答案为.2sin2AKP|PFPK222216已知球的直径，是该球面上的两点，则三棱锥的4DC AB6ADCBDC ABCD体积最大值是_.【答案】2【解析】因为球的直径，且，所以，4DC 6ADCBDC 2ACBC2 3ADBD（其中为点到底面的距离），故当最大时，的体积最大，即当面13A BCDBCDVShhABCDhA BCDV面时，最大且满足，即，此时.ADC BDCh42 2 3h 3h 112 2 33232A BCDV 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(12 分）近年来，昆明加大了特
15、色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分.昆明斗南毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国 10 支鲜花 7 支产自斗南”之说，享有“金斗南”的美誉.为进一步了解鲜花品种的销售情况，现随机抽取甲、乙两户斗南花农，对其连续 5 日的玫瑰花日销售情况进行跟踪调查，将日销售量作为样本绘制成茎叶图如下，单位：扎（20 支扎）.（1）求甲、乙两户花农连续 5 日的日均销售量，并比较两户花农连续 5 日销售量的稳定性；（2）从两户花农连续 5 日的销售量中各随机抽取一个，求甲的销售量比乙的销售量高的概率【解析】（1）记甲、乙连续 5 日的日平均销售量分别为,x甲x乙公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞则,
16、1825273040285x甲2528303136305x乙由茎叶图可知乙的数据比较集中,说明乙的销售量比甲稳定.（2）从两户花农连续 5 日的销售量中各随机抽取一个,总的基本事件为:,18,25,18,28,18,30,18,31,18,3625,25,25,28,25,30,25,31,25,36,27,25,27,28,27,30,27,31,27,3630,25,30,28,30,30,共 25 个基本事件,30,31,30,36,40,25,40,28,40,30,40,31,40,36其中甲高于乙的有:,共 8 个基本事27,25,30,25,30,28,40,25,40,28,4
17、0,30,40,31,40,36件.根据古典概率计算公式,甲的销售量比乙的销售量高的概率为.825P 18(12 分）若数列满足.na111,21(,2)nnaaanNn(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；1na na(2)设，若数列的前项和为，求证：.2log(1)nnba11()nnnNbbnnT1nT【解析】（1）证明：,，又，121nnaa1121nnaa 1120a 数列是首项为，公比为 2 的等比数列，1na 211222nnna 12nna （2）由（1）知，22log1log 2nnnban1111111nnb bn nnn.11111111122311nTnnn
18、公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞19(12 分）如图,四棱锥中,底面是菱形,平面,是PABCDABCDPA ABCD3ABCM上一动点.PC（1）求证:平面平面;PAC MBD（2）若,三棱锥的体积为,求四棱锥的侧面积.PBPDPABD624PABCD【解析】（1）平面,平面,.底面是菱形,PA ABCDBD ABCDPABDABCD.BDAC又,平面,平面,平面.PAACAQIPAPACAC PACBDPAC又平面,平面平面.BD MBDPAC MBD（2）设菱形的边长为,.ABCDx3ABCQ23BAD在中,.ABD22222212cos22()32BDADABAD ABBADx
19、xx 3BDx又 PA 平面ABCD,ABAD,PBPD,62PBPDx,故22PAx.又221123sinsin2234ABDSAB ADBADxx,2-11326=334224ABDP ABDVSPAxx三棱锥,解得:1x,26,22PAPBPD,3ABC1ACAB公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞又PA 平面ABCD,62PCPB,四棱锥PABCD的侧面积为:21216152222(1()1)222242PABPBCSS.20(12 分）已知椭圆的左、右焦点分别为，.椭圆的长轴与焦距比为2222:1(0)xyCabab1F2FC，过的直线 与交于、两点.2:12(3 0)F,lC
20、AB（1）当 的斜率为 时，求的面积；l11F AB（2）当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时，求直线 的方程.AByl【解析】（1）依题意，因，又，得，2221ac3c 3 2a 29b 所以椭圆的方程为，设、，当时，直线：,将直线与C221189xy11,A x y22,B xy1k l3yx椭圆方程联立，消去得，解得，2211893xyyxx2230yy13y 21y 124yy所以.1121212F ABSFFyy16 4122（2）设直线 的斜率为，由题意可知，由，消去得lk0k 2211893xyyk xy，恒成立，222212121810kxk xk0 21221212kxxk设
21、线段的中点，设线段的中点，则，AB00,H xy212026212xykxk0023312kyk xk公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞设线段的垂直平分线与轴的交点为，则，得.ABy0,Dm1DHABkk 222312612kmkkk，整理得：，等号成立时.1k 2213mkk2331212kmkkk3 24 22k 故当截距最小为时，此时直线 的方程为.m3 2422k l230 xy21(12 分）已知函数2()(2)ln)f xxa xax aR（1）讨论的单调性；()f x（2）当时，求的最大整数值1x()0f x【解析】（1）函数的定义域为 f x0,，22afxxax222
22、xa xax12xxax当时，在上单调递增，0a 0fx f x0,当时，令，得，令，得，0a 0fx2ax 0fx02ax在上单调递减，在上单调递增.f x0,2a,2a（2）由（1）知，当时在上单调递增，又，所以当时，0a f x0,130fa1x，满足题意.由（1）知，10f xf当时，在上单调递减，在上单调递增.0a f x0,2a,2a公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞若，即，在上单调递增，所以当时，满012a02a f x1,1x 130f xfa足题意.若，即，在上单调递减，在上单调递增.12a2a f x1,2a,2a,即 22min2lnln242242aaaaaaf
23、 xfaaaa 0f x min0f x,2ln042aaaa1ln042aa 令，1lnln1ln2(2)424aaag aaa ，在上单调递减，又，1104gaa g a2,1202g 133ln042g在上存在唯一零点，,g a2,30 x02ax 0(23)x综上所述，的取值范围为，故的最大整数值为.a0,xa2(二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22【极坐标与参数方程】（10 分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为xOyx1Ccos4（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求
24、点的轨迹的直角坐标M1CPOM16OMOPP2C方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值A2,3B2CABO【解析】（1）设 P 的极坐标为（）（0），M 的极坐标为（）由题设知|OP|=，,1,10公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞=.OM14cos由|OP|=16 得的极坐标方程OM 2C4cos0（）因此的直角坐标方程为.2C22x2y40 x（）（2）设点 B 的极坐标为（）.由题设知|OA|=2，于是OAB 面积,B0B4cosB13SAOB4cos|sin|2|sin2|232332BOAsin当时，S 取得最大值.所以OAB 面积的最大值为.12 232323【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）已知关于的不等式对恒成立x|2|3|xxmxR（1）求实数的最小值；m（2）若，为正实数，为实数的最小值，且，求证：abckm11123kabc239abc【解析】（1）由，对恒成立，|1|2|(1)(2)|1xxxx|1|2|xxmxR，最大值为 11m m（2）由（1）知，即，1k 111123abc11123(23)()23abcabcabc223332332aabbccbcacab当且仅当时等号成立，2323322292332abacbcbacacb23abc239abc公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞