1、公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 2020 年高考金榜冲刺卷（四）数学（文）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（）2,1,0,1,2A|Bx yxAB ABCD
2、 1,20,1,22,12,1,0【答案】D【解析】因为,，所以.故选 D.2,1,0,1,2A 0Bx x2,1,0AB 2已知，则复数在复平面上所对应的点位于（）11ziii zA实轴上 B虚轴上 C第一象限 D第二象限【答案】B【解析】由，则，所以复数在复平面上所对应的点位于虚轴上，11ziii(1)(1)22iiziiiz故选 B公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞3若为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的（）lm，l/mmlA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由且能推出，充分性成立；若且，则或者，必要l/mmllml/mm性不
3、成立，因此“”是“”的充分不必要条件，故选 A./mml4如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（）ABCD14124112【答案】A【解析】由题意,正方形的面积为 22=4.圆锥的底面面积为.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是 1-.故选 A.45下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是（）lnyx1x ABCDln(1)yxln(2)yxln(1)yxln(2)yx【答案】B【解析】函数过定点（1，0），（1，0）关
4、于 x=1 对称的点还是（1，0），只有过此ylnxyln 2x公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞点.故选项 B 正确.6已知向量，则在方向上的投影为（）4,7,3,4ab2abbABCD222 52 5【答案】B【解析】,，4,7,3,4ab22,1ab 22215ab,设与的夹角为，则.22 3 1410abb 2abrrb2102 5cos5552abbab b 所求的在方向上的投影为=,故选 B 项.2abrrb2cosab2 5525 7执行如图的程序框图，已知输出的。若输入的，则实数的最大值为（）0,4s,tm nnmA1 B2 C3 D4【答案】D【解析】由程序框图有，当
5、 时，所以；当时，由23,14,1=t tt ttS1t 30,4St01t 1t 有，综上有，所以 的最大值为.故选 D.240,4Stt14t 04t nm4公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞8已知满足，的最大值为，则直线过定点（,x y202080 xyxy0zaxby ab210axby+-=）ABCD3,11,31,33,1【答案】A【解析】由满足，作出可行域如图：,x y202080 xyxy由图可知，为目标函数取得最大值的最优解，联立，解得，C280yxy6,2C，即，所以，代入，得，即622ab31ab1 3ba 10axby+-=310axyay，由，解得，直线过定点
6、，故选 A.310a xyy 3010 xyy 31xy10axby+-=3,19已知函数，则下列判断错误的是（）22cos23sin 463f xxxA为偶函数B的图像关于直线对称 f x f x4x公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞C的值域为 D的图像关于点对称 f x1,3 f x,08【答案】D【解析】f（x）1+cos（4x）sin（4x）1+2sin（4x）1+2cos4x，33336f（x）为偶函数，A 正确；4x得,当 k=1 时，B 正确；因为 2cos4x的值域为 k,kx4 2 2f x，C 正确；故 D 错误故选 D1,310已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为
7、，直线与椭圆2222:1(0)xyCababFP:430lxy相交于、两点.若，点到直线 的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为（AB|6AFBFPl65）ABCD9(0,53(0,25(0,313(,32【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为，为短轴的上端点，连接，如下图所示：FP,AF BF由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则，又，四边形为平行四边形，,A BOAOBOFOF AFBF，又，解得：，AFBF26AFBFBFBFa3a 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞点到直线 距离：，解得：，即，Pl3655bd2b 22292acc，.故选 C.05c 50,3cea 11已知三棱锥
8、的外接球的表面积为，则三棱锥DABC1284,4 2ABBCAC体积的最大值为（）DABCABCD2732108 63166332 216 63【答案】D【解析】设外接球的球心为，半径为，则，故.OR24128R4 2R 设球心在底面上的投影为，因为，故为的外心.OEOAOCOBEABC因为，所以，故为直角三角形，4ABBC4 2AC 222ACABBCABC故为的中点，所以，设到底面的距离为，则EAC222 6OEOAAEDABCh，所以三棱锥的体积的最大值为2 64 2hOERDABC公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞.故选 D.1132 216 64 42 64 2323 12定
9、义在上的偶函数满足，且当时，函数是定R()f x(1)(1)f xf x 1,0 x 2()f xx()g x义在上的奇函数，当时，则函数的零点的的个数是（）R0 x()lgg xx()()()h xf xg xA9B10C11D12【答案】C【解析】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，由11f xf x yf x2 yf x，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数 0h x f xg x yf x yg x与函数的图象如下图所示，yf x yg x由图象可知，当时，则函数与函数在 01f x10 x lg1g xx yf x yg x上没有交点，结合图像可知，函数与函数图象
10、共有 11 个交点，故选 C.10,yf x yg x二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13设函数，则的值为 .22,03,0 xxxf xf xx 5f【答案】12【解析】函数，f（5）f（2）f（1）（1）221 2xx2x0f xf x3x0，12故答案为12公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞14已知数列中，且，则的值为 .na11a 22a 21nnnaaanN2019a【答案】2【解析】因为，由，得；由，得；由*21nnnaaanN11a 22a 32a 22a 32a 41a，得；由，得；由，得；由，32a 41a 512a 41a 512a 612
11、a 512a 612a 71a 612a，得,由此推理可得数列是一个周期为 6 的周期数列，所以，故答案为71a 82a na201932aa2.15已知双曲线 C：（，）的右焦点为，点 A、B 分别在直线和22221xyab0a 0b,0F c2axc 双曲线 C 的右支上，若四边形（其中 O 为坐标原点）为菱形且其面积为，则 .OABF3 15a【答案】3【解析】如图：设点，因为，则，又，则2,aAtc0t OFABc2,aBc tcOBAF，化简得，,221ttaacccc 2222(1)atbc222,1aaBc bcc公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，又，由得2222222
12、(1)1aacbccab2213 15122ac bc 222cab.3,3,2 3abc16在锐角中，则中线长的取值范围是 .ABC2BC sinsin2sinBCAAD【答案】133 2，【解析】设，对运用正弦定理，得到,ABc ACb2BCasinsin2sinBCA，解得，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组24bca4cb，解得，故，结合二次函数性质，得到22222222224444444bcbbcbbbcb3522b244bcbbbb，运用向量得到，1544bc12ADABAC 所以2222221142cos2222bcADABACAB ACbcbcbc ，结合 bc 的范围，代
13、入，得到的范围为.221122428422bcbcAD133,2三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12 分）某高校在 2019 的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在，随机抽取 200 名考生成160,185绩作为样本研究，按照笔试成绩分成 5 组，第 1 组成绩为，第 2 组成绩为，第 3 组成160 165,165 170,绩为，第 4 组成绩为，第 5 组成绩为，样本频率分布直方图如下：170 175,175,180180,185公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（1）估计全体考生成绩的中位数；（2）为了能选拨出最优秀的学生，该校
14、决定在笔试成绩高的第 3，4，5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，从这 6 名学生中随机抽取 2 名学生进行外语交流面试，求这 2 名学生均来自同一组的概率【解析】（1）样本中位数为，从频率分布直方图可知，0 x0170,175x 从而有，解得,故全体考生成绩的中位数约为 172.50 00.050.351700.040.5x0172.50 x（2）记 A 为事件“这两名学生均来自同一组”，用分层抽样第 3 组抽取 2 人，第 4 组抽取 3 人，第 5 组抽取 1 人，记第 3 组学生为，第 4 组学生为，第 5 组学生为；12,a a123,b b bc从这 6 人中抽取 2
15、 人有 15 种方法，分别为：1211121312122232121312323,a aa ba ba ba ca ba ba ba cb bb bb cb bb cb c其中事件 A 共有 4 种，为 12121323,a ab bb bb b由古典概型公式得,故这两名学生均来自同一组的概率为 415P A 41518（12 分）已知数列是等比数列，是和的等差中项.na24a 32a 2a4a（1）求数列的通项公式；na公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（2）设，求数列的前项和.22log1nnbanna bnnT【解析】（1）设数列的公比为，因为，所以，na24a 34aq244a
16、q因为是和的等差中项，所以即，化简得32a 2a4a32422aaa22 4244qq220qq因为公比，所以所以（）0q 2q=2224 22nnnnaa q*nN（2）因为，所以2nna 22log121nnban 21 2nnna bn则，2311 23 25 223 221 2nnnTnn .234121 23 25 223 221 2nnnTnn 得，231222222221 2nnnTn，所以1114 1 22221 2623 21 2nnnnn 1623 2nnTn19（12 分）如图，平面平面，四边形是菱形，ACEF ABCDABCD60ABC/AFCE，.AFAC21ABAF
17、CE（1）求四棱锥的体积；BACEF公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（2）在上有一点，使得，求的值.BFP/APDEBPPF【解析】（1）四边形是菱形，ABCDBDAC又平面平面,平面平面,平面ACEF ABCDACEF ABCDACBD ABCD平面，在中,设,计算得，BD ACEFABC60,2ABCABBDACO2,3ACBO在梯形中,ACEF/,2,1AFCE AFAC ACAFCE梯形的面积，四棱锥的体积为ACEF112232S BACEF.1133333VSBO（2）在平面内作,且,连接交于，则点满足,证明如下：ABF/BMAF1BM AMBFPP/APDE,且,/,1A
18、FCE CE/BMCEBMCE四边形是平行四边形.,BMEC/,BCME BCME又菱形中,.,ABCD/,BCAD BCAD/,MEAD MEAD四边形是平行四边形,即.ADEM/AMDE/APDE,又,./BMAFBPMFPA 1BM 12BPBMPFAF公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞20（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线：，直线与交于，两点，xOyC22(0)xpy pyxCOT.|4 2OT（1）求的方程；C（2）斜率为（）的直线 过线段的中点，与交于两点，直线分别交直线k102klOTC,A B,OA OB于两点，求的最大值.2yx,M N|MN【解析】（1）由方程组
19、得，解得，22yxxpy220 xpx120,2xxp所以，则，又，所以，故的方程为0,0,2,2OTpp2 2OTp2 24 2OTp2p p.24xy（2）由（1），则线段的中点坐标，0,0,4,4OTOT2,2故直线 的方程为，由方程组得，设l22yk x224ykxkxy24880 xkxk，则，221212,44xxA xB x12124,88xxk x xk直线的方程，代入，解得，所以，同理得OA14xyx2yx184xx11128,44xMxx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，所以22228,44xNxx212121212121212848882224444164xxx
20、 xxxMNxxxxxxx x.因为，所以，当时，228 16321124 2 116 16811kkkkk102k84 10MN12k 取得最大值.MN4 1021（12 分）已知函数.()2ln()af xaxx aRx（1）若是定义域上的增函数，求的取值范围；()f xa（2）设，分别为的极大值和极小值，若，求的取值范围.35a,m n()f xSmnS【解析】（1）的定义域为，f x0,22222aaxxafxaxxx在定义域内单调递增，即对恒成立.f x 0fx220axxa0 x 则恒成立.，.所以，的取值范围是.221xax2max21xax2211xx1a a1,（2）将表示为
21、关于的函数，由且，得S1x2440a 35a 315a设方程，即得两根为，且.0fx220axxa1x2x120 xx则，,1mf x 2nf x121x x122xxa11121023xxa1113x1122122ln2lnaaSmnaxxaxxxx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞1111111112ln2ln22lnaaaaxxaxxaxxxxx,代入得,21120axxa12121xax222111122111114ln4ln112xxSxxxx令，则，得，则,21xt119t 11ln12tg ttt119t 4Sg t,而且上递减，从而,221021tg tt t g t1
22、,19 119gg tg即,.40ln35g t1604ln35S(二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22【极坐标与参数方程】（10 分）在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为(t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴xOy2221121txttyt，为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为lcos3 sin4 0（1）求 C 的普通方程和 的直角坐标方程；l（2）求 C 上的点到 距离的最大值l【解析】（1）由（t 为参数），因为，且，所2221121txttyt221111tt 22222222()14111ttxy
23、tt以 C 的普通方程为221(1)xyx 由 cossin+40，得 xy+40即直线 l 的直角坐标方程为得 xy+40；333公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（2）由(1)可设 C 的参数方程为(为参数，)cos,sinxy则 P 到直线得 xy+40 的距离为：C 上的点到 的距离3l为2cos4|cos3sin4|322当时，取得最大值 6，故 C 上的点到 距离的最大值为 332cos43l23【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）已知，为一个三角形的三边长.证明：abc（1）；3bcaabc（2）.22abcabc【解析】（1）证明:由三项基本不等式可知，不等式得证.333bcab c aabca b c（2）证明:由于,为一个三角形的三边长,则有：,即,abc22bcbcbca bca所以,同理,abacabcaabbcbacbcc相加得：,左右两边同加得：222acbcababcabc22abcabc所以，不等式得证.22abcabc公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞