1、公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 2020 年高考金榜冲刺卷（五）数学（文）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合，且，则集合可能是（）|0Bx xABAAABCD 1,
2、2|1x x 1,0,1R【答案】A【解析】,集合,选项 A 满足要求,故选 A.ABAAB|0Bx x2在等差数列中，已知，则（）na51012aa793aaA12 B18 C24 D30【答案】C【解析】因,故应选 C.24)132(22643,1213211971105dadaaadaaa公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞3设复数，定义.若，则（）zabi(,)a bRzbai12ziiiz ABCD1355i1355i3155i3155i【答案】B【解析】解：因为，所以，12ziii(1)2(1)(1)(2)31222555iiiiiiiziiii 则.故选：B.1355zi4
3、已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点到焦点的距离为 4，则的值为（(2)P m，m）A4B2C4 或4D12 或2【答案】C【解析】抛物线上的点到焦点的距离与到抛物线的准线的距离相等，所以，解(2)P m，2py 242p得，所以抛物线方程为，将代入方程得.4p 28xy(2)P m，28xy 4m 5设，满足约束条件，则的最大值为（）xy2003xyxyx22(1)zxyA5B41C25D1【答案】B【解析】公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞由题得不等式组对应的可行域如图所示，表示区域内的动点(x,y)到点 P(-1,0)的最大距离的平方，221zxy联立得点 A(
4、3,5),所以 z 的最大值为.故选：B.320 xxy223+1+5=41（）6为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115,x，则图中空白框应填入（）23416,18,20 xxx56722,24,25,xxxAB C D67SiS,6,7SiS67iSS,6,7iSS公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【答案】A【解析】由题可知，该组数据共有七项，为使数据全部可以输入流程图中，则，排除 B、D 选项；由6i 方差公式可知，所有项之和要乘以项数的倒数，即，排除 C,故选：A.7SS 7我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末
5、广八尺，无深，袤七尺问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为 1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（）A40B43C46D47【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面平面，ABCD ABEF，底面梯形是等腰梯形，高为 3,梯形的高为 4,等腰梯形的高为2,6,4CDABEFABCDFEDC，三个梯形的面积之和为,故选 C.9 16526462443546222 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞8函数的图象大致是（）ln xyx A B C D【答案】D【解析】函数的定
6、义域为，ln xyx|0 x x lnlnxxfxf xxxx （）（），排除 B，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，0 x 2lnln1-ln,xxxyyxxx0,e,e 故排除 A,C，故选 D9某校早上 6：30 开始跑操，假设该校学生小张与小王在早上 6：006：30 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张与小王至少相差 5 分钟到校的概率为（）A B C D253611362530530【答案】A【解析】公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞设小张与小王的到校时间分别为 6：00 后第分钟，第分钟，可以看成平面中的点试验的全部结xy,x y果所构成的区域为
7、是一个正方形区域，,030,030 x yxy 对应的面积，则小张与小王至少相差 5 分钟到校事件(如阴影部30 30900S,5Ax yxy分)则符合题意的区域，由几何概型可知小张与小王至少相差 5 分钟到校的概率为25 25625AS.故选：A.6252590036P 10中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，若鳖PA ABCEABCD2AD 1ED 牖的体积为 l，则阳马的外接球的表面积等于（）PADEP
8、ABCDABCD20191817【答案】D【解析】由题意，因为平面，四边形为正方形，PA ABCEABCD2AD 1ED 又由鳖牖的体积为，所以，PADE11112 11332p AEDAEDVPA SPA 解得，而阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线，所3PAPABCD,AD AB AP以，即，球的表面积为故选 D2222244917RADABAP（）2417R 2417R公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞11已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，则函数()f x(0,)x2()log3ff xx的零点所在的区间为（）()()7g xf xxABCD(1,2)(2
9、,3)(3,4)(4,5)【答案】C【解析】根据题意，对任意的，都有，又由是定义在上的(0,)x2()log3ff xx f x0+，单调函数，则为定值，设，则，又由，2()logf xx2()logtf xx 2logf xxt 3f t，所以，所以，所以，因为 2log3f ttt 2t 2log2f xx 2log5g xxx，所以零点所在的区间为（3，4）.1020304050ggggg，12已知双曲线的离心率为 2，分别是双曲线的左、右焦点，点，22221(0,0)xyabab1F2F(,0)Ma，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，(0,)NbPMN12PF P
10、F 12PFF1S，则（）2S21SSA4B8CD2 34 3【答案】A【解析】由，得，故线段所在直线的方程为，又点在线2cea2,3ca baMN3()yxaP段上，可设，其中，由于，即，MN(,33)P mmama 01(,0)Fc2(,0)F c1(2,0)Fa，2(2,0)Fa公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞得，12(2,33),(2,33)PFammaPFamma 所以由于，222212313464()44PF PFmmaamaa ma 0可知当时，取得最小值，此时，34ma 12PF PF 34Pya当时，取得最大值，此时，则，故选 A0m 12PF PF 3Pya213
11、434SaSa二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知函数的图象关于直线对称，则的值为 .2sin 222yx6x【答案】6【解析】,的对称轴为：22xkkZ422kxkZ2sin 2yx,又为对称轴,，即,422kxkZ6x2122kkZ6kkZ又,，即.故答案为.220k6614圆 C：上的点到直线的最短距离为_.2266100 xyxy0 xy【答案】2【解析】由题意可得圆 C 的标准方程为，22338xy圆心为 C（3，3），半径 r2，圆心 C 到直线的距离为 d20 xy22333 211公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞因此，圆上的点到直线 x+
12、y0 的最短距离为 d故答案22338xy3 22 22为215在中，为上一点，是的中点，若，则 .ABCDBCEADBDDC 13CEABAC 【答案】13【解析】，因为是1111133333CECBCAACCBCACDCA E的中点，所以，解得，.故答案为.AD1132113215,26 13 1316在数列中，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：na11a 0na 3yx3,nna a1,0na；数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是 .223a 313a 416527iia na【答案】【解析】，曲线在点处的切线方程为，23yx3yx3,nna a323nnnyaaxa则.，则是首
13、项为 1，公比为的等比数列，从而，3213nnnnaaaa0na 123nnaa na23223a，.故所有正确结论的编号是.349a 4412165322713iia三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12 分）如图，在四棱锥中，底面，PABCDPA ABCDADAB/ABDC，点为棱的中点2ADDCAP1AB EPC公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（1）证明:平面；/BEPAD（2）平面将四棱锥分成多面体和多面体两部分，求上述两个多面BDEPABCDPEABDEBCD体的体积比:PE ABDE BCDVV【解析】（1）取中点，连接
14、、，依题意，PDFEFAF1/2EFCDAB四边形是平行四边形，所以.又面，面，ABEFBEAFAF PADBE PAD面.BEPAD（2）因为,111223E BCDP BCDBCDVVPA S111222 22323 ,所以,.1112(12)22332P ABCDABCDVPA S 43PE ABDV43:2:123PE ABDE BCDVV公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞18（12 分）如图，在中，的角平分线与交于点ABC01203ABBCABCAB，ABCAC，.D1BD（1）求；sin A（2）求的面积BCD【解析】（1）在中，由余弦定理得ABD，22212cos9 12
15、 3 172ADABBDABBDABD 所以，由正弦定理得，所以.7AD sinsinBDADAABDsin321sin142 7BDABDAAD（2）由（1）可知.25cos1 sin2 7AA在中，.ABC0sinsin 120CA3513212272 72 7在中，由正弦定理得，所以.BCDsinsinABBCCAsin3sin2ABABCC所以的面积.BCD11333 3sin122228SBDBCCBD 19（12 分）某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年x销售量（单位：千万件）的影响，统计了近年投入的年研发费用与年销售量的y10ix1,2,
16、10iy i 数据，得到散点图如图所示：公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（1）利用散点图判断，和（其中，为大于的常数）哪一个更适合作为年研发费yabxdyc x cd0用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；xy（2）对数据作出如下处理：令，得到相关统计量的值如下表：lniuxlniy根据（1）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；yx（3）已知企业年利润（单位：千万元）与，的关系为（其中），根据zxy27zyxe2.71828e（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分
17、别为 1122,nnuuuu，.1122211nniiiiiinniiiiuuunuuuunuu【解析】（1）由散点图知，选择回归类型更适合dyc x（2）对两边取对数，得，即,dyc x lnlnlnycdxlnvcdu公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞由表中数据得：，1.5uv1122221130.5 10 1.5 1.5146.5 10 1.53nniiiiiinniiiiuuvvu vnuvduuunu，年研发费用与年销售量的回归方程为.1ln1.51.51,3cvduce xy13 ye x（3）由（2）知，令，得，13()27z xxx23()91z xx23()910z
18、xx27x 且当时，,单调递增；当时，,单调递减(0,27)x()0z x()z x(27,)x()0z x()z x所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.27x z(27)54z答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入 27 千万元.20（12 分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上22221(0)xyabab2(1,0)F（1）求椭圆的方程；（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，求M222xybMM222xyb证：的周长是定值【解析】（1）由已知得，椭圆的左右焦点分别是,12(1,0),(1,0),1FFc在椭圆上，,椭圆的方程是；(3,0)H122426aH
19、FHF3,2 2ab22198xy+=公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（2）方法 1：设，则，1122,(,)P x yQ xy2211198xy，22222112111118(1)(3)93xxPFxyx，在圆中，是切点，103x1233xPF M，222222111111|88(1)893xPMOPOMxyxx，同理，211113333PFPMxx23QFQM，因此的周长是定值22336F PF QPQ2PF Q6方法 2：设的方程为PQ(0,0),ykxm km1122(,),(,),P x yQ xy由得,则,22,198ykxmxy222(89)189720kxkmxm21
20、2122218972,8989kmmxxx xkk22212121211()4PQkxxkxxx x,22222189721()48989kmmkkk 222224 9 8(98)1(89)kmkk 与圆相切,即,PQ228xy22 2,1mk22 2 1,mk2689kmPQk，22222112111118(1)(3)93xxPFxyx103x1233xPF 同理，2221(9)333xQFx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，12222226666663898989xxkmkmkmF PF QPQkkk因此的周长是定值2PF Q621（12 分）已知函数在定义域内有两个不同的极值点
21、.2lnfxxxaxaR（1）求实数的取值范围；a（2）记两个极值点为，且，求证：.12,x x12xx121xx【解析】（1）由题意，方程在有两个不同根,即方程有两个不同根；()0fx 0,1ln20 xax解法 1：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，()lng xx21yax0,令,故在处的切线方程为：,00011()22g xaxxa()g x11(,ln()22aa111ln()()222yxaaa代入点有：,0,1111111 ln()(0)ln()012122222aaaaaa 可得：;120,10,2aa解法 2：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点1ln()xg x
22、x2ya0,，故时，时，2ln()(0)xg xxx0,1x()0;g x 1,x()0;g x 故在上单增，在上单减，,()g x0,1()1+，max()(1)1g xg又，故时，时，可得：;1()0ge1(0,)xe()0;g x 1(,)xe()0;g x 120,10,2aa公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞解法 3：,时，故在上单增，12(0)fxa xx20a 0fx ，f x0+，故在最多只有一个实根，不合题意；=fx00+，时，令 令20a 100;2fxxa，10,;2fxxa故在上单增，在上单减；fx102a，1,2a故,max11 ln(2)1ln(2)020,
23、12fxfaaaa 当时，20,1a 1120,limxfafxee ，故在上有两个不相等的实根，故;fx0+，10,2a（2）由（1）知：是的两个根，12,x x1ln20 xax故,12112212lnln1 ln201 ln202=xxxaxxaxaxx，要证：，只需证：，即证：121xx，12lnln0 xx 122-1+2-10axax即证：，即证：,1222a xx121212lnln2xxxxxx又故上式为：,120,xx1122112122212ln()1xxxxxxxxxx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞令,21222211140,1,()ln,()0111ttxt
24、h tth txtttt t故在上单增，故 故式成立，即证.h t0,1()(1)0,h th()(二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22【极坐标与参数方程】（10 分）在新中国成立周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数70学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为Ox（），为该曲线上的任意一点.1 sin 1 sin,0p M（1）当时，求点的极坐标；32OM M
25、（2）将射线绕原点逆时针旋转与该曲线相交于点，求的最大值.OMO2NMN【解析】（1）设点在极坐标系中的坐标，由，得，M3,21 sin 31 sin2 1sin2，或，所以点的极坐标为或.0276116M3 7,263 11,26公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（2）由题意可设，.由，得，1,M 2,2N1 sin 11 sin.21 sin1 cos2 2212MN221 sin1 cos,故时，的最大值为.32 sincos32 2sin454MN2123【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）已知.()|2|4|f xxx（1）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；x2()3f xaaa（2）若，且，求的取值范围.()()4f mf nmnmn【解析】（1），所以，24242426(24)2422xxxf xxxxxxxx min2fx 恒成立，则，解得.23f xaa 2min32aafx 12a（2）由（1）知，max2fx 2,2f mf n则，又，所以，于是，4f mf n 4f mf n 2f mf n4nm故.8mn公众号：卷洞洞