1、 第1页 共 5 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年年 3 月测试月测试 理科理科数学数学（一卷）答案（一卷）答案 一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B B C B C D A A A B D 二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.65 14.12=nna
2、15.1,31m 16.335 三、解答题三、解答题：共共 70 分 解答应写出文字说明分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：（一）必考题：60 分分 17.（12 分）分）（1）由)sin(3)sin(5CACB+=+得BAsin3sin5=1 分 由正弦定理得 ba35=2 分 53=ba，3 分 由余弦弦定理得36cos2222=+=Cabbac 5 分 6=c 6 分（2）由余弦定理求出95
3、cos=B 7 分 再求出9142sin=B 8 分（或者由正弦定理先求sinB，再求cosB）3sincos3cossin)3sin(BBB=10 分 1835142=12 分 18（1）补充完整的 22 列联表如下：第2页 共 5 页 2 分 ()828.1046.12131624545652552540209022=K 4 分 故在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为成绩与班级有关 6 分（2）甲班 45 人，按照分层抽样的方法随机抽取 9 人，其中优秀 4 人，不优秀 5 人 7 分 故X的所有可能取值为 0,1,2 185)0(292504=CCCXP，95)1(29151
4、4=CCCXP，61)2(290524=CCCXP 故X的分布列为：X 0 1 2 10 分 P 185 95 61 数学期望 986129511850)(=+=XE 12 分 19（1）取 CD 的中点 M，连接 FM、OM，OE EFABCD平面，EFBCFE平面，ABCDEFCBBC=平面平面 BCEF,21BCEF=1 分 O、M 分别为 BD、CD 的中点，BCOMBCOM21=，2 分 EFOMEFOM=，四边形 OMFE 为平行四边形，OEFM 3 分 ABCDOE平面ABCDFM平面 CFDFM平面CFDABCD平面平面 4 分（2）过 O 做 ONCD 于 N，CFDABCD
5、平面平面，=ABCDCFD CDONABCD平面平面，平面 ONCFD平面 OEFM，CFDFMCFDOE平面平面,，CFDOE平面，E 到平面 CFD 的距离等于 O 到平面 CFD 的距离 6 分 aaONCON4360sin21=中，aOEOAE23=中，3316181aaVVVCDFEACDEAEFDC+=+=3163a=8 分 优秀 不优秀 合计 甲班 20 25 45 乙班 5 40 45 合计 25 65 90 第3页 共 5 页 （3）建系如图（建系过程简略，阅卷老师规定分值）所示：)0,21,0(aA、)0,0,23(aB、)0,21,0(aC、)23,0,0(aE 9 分)
6、23,21,0(aaCE=,)0,21,23(aaBC=平面 ACE 的法向量为)0,0,23(aOB=，10 分 设平面 BCE 法向量为(,)nx y z=则 ,0,0=BCnCEn令2y=，2 32 3(,2,)33n=11 分 15cos,53444233n OB=+，二面角55ACEB 的余弦值为 12 分 20解：（1）2214xy+=；4 分（2）2222(2,0),(2,0),(,)(0),11422444APBPABP x y xyxyyykkxxxx=+令设 6 分 O。A M B D C E F N x y 第4页 共 5 页 1,04APBPkk kkk=令（）:(2)
7、,(6,4)APlyk xMk=+12:(2),(6,)4BPlyxNkk=1(6,2)Qkk+8 分 2221132(2)42832AQ BQkkkk=+=+212,22kk=当且仅当时等号成立 10 分 此时)0,6(Q 12 分 21222212(22)11()(0),(22)10(1)(1)axa xfxxxa xxxx x+=+=+解（）令)2(44)2-22=aaa（则 1 分 020()0()(0,)afxf x+当时，恒成立，所以，在单调递增3 分 0()0()(0,)afxf x+当时，所以在单调递增 4 分)2(101)22(212=+aaaxxaxa两根为时，当)2(12
8、+=aaax，12120()0;()0 xxxxfxxxxfx若或时，若时，则()f x在0,1-(2)aa a（）和1(2)aa a+（，）单调递增(1-(2),1(2)aa aaa a+在单调递减 6 分 2()(0,)af x+综上：当时，在单调递增 2()0,1-(2)1(2),af xaa aaa a+当时，在（）和（）单调递增 1-(2),1(2)aa aaa a+在（）单调递减 7 分(2)12()(0,)af x+由（）知当时，在单调递增，1,()(1)0 xf xf=符合题意 9 分 21-(2)1,1(2)1,aaa aaa a+当时，()1,1(2)f xaa a+所以在
9、（）单调递减 第5页 共 5 页 ()(1)0f xf=此时，不符合题意 11 分 2a 综上为所求 12 分（二）选考题：共 10 分 22选修 44，坐标系与参数方程（10 分）（1）(sincoscos sin)306631sincos3022:360 5 l xy+=+=解：直线分 （2）(2cos,sin)P方法一：设 min2cos3sin67cos()63,tan22267 102Pldd+=点 到 的距离其中 为锐角，且分 方法二：（分析：作直线 l 的平行直线与椭圆相切，两条平行线的距离就是所求。注意，一个是最小距离，一个是最大距离）22221212:3072 340.1228(4)0.7,7676767,221 36-7 102mlm xykxykykkkkkdd+=+=+=+假设直线 平行于直线，则，消去 得，所以最小距离是分23选修 45：不等式选讲（10 分）3,21()21,12,3,-1.xf xxxx=，解：（）5 分 (,1)x (,1)不等式的解集为 min(2)()22,()g xf xxmg x=+设（则=3 10 分