1、科目：数学（理科）（试题卷）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。3.本试题卷共 7 页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交.姓 名 准考证号 理科理科数学试卷数学试卷 第第 1 页（共页（共 7 页）页）绝密启用前 长沙市长沙市 2019 届高三年级统一模拟考试届高三年级统一模拟考试 理科数学理科数学 长沙市教科院组织名优教师联合命制 本试题卷
2、共 7 页，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.1设集合41,Mx xnnZ，21,Nx xnnZ，则 AM N BN M CMN DNM 2在复平面内表示复数iimm的点位于第一象限，则实数m的取值范围是 A(,1)B(,0)C(0,)D(1,)3在等比数列na中，“1a，3a是方程2310 xx 的两根”是“21a ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件
3、D既不充分也不必要条件 4下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是 A.sinf xxx B.ln1ln1f xxx C.ee2xxf x D.e1e1xxf x 5已知一种元件的使用寿命超过 1 年的概率为 0.8，超过 2 年的概率为 0.6，若一个这种元件使用到 1 年时还未失效，则这个元件使用寿命超过 2 年的概率为 A0.75 B0.6 C0.52 D0.48 6已知12,F F是双曲线22:1C yx的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以12FF为直径的圆经过点P，则12PFF的面积为 A.22 B1 C2 D2 7在ABC中，10AB，6BC，8CA，且O是AB
4、C的外心，则CA AOuur uuu r A16 B32 C16 D32 高考湘军高考湘军 理科理科数学试卷数学试卷 第第 2 页（共页（共 7 页）页）8我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为.A843 B8 C823 D42 9 已知(1,2)P是函数()sin()(0,0)f xAxA图象的一个最高点，,B C是与P相邻的两个最低点设BPC，若3tan
5、24，则()f x的图象对称中心可以是来 A0,0 B1,0 C3,02 D5,02 10已知()11xf xe，若函数2()()(2)()2g xf xaf xa有三个零点，则实数a的取值范围是 A(2,1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)11 已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，点(,)(0)4pAa a在C上，3AF.若直线AF与C交于另一点B，则AB的值是 A12 B10 C9 D4.5 12设正方体1111ABCDA BC D的棱长为1，E 为1DD的中点，M 为直线1BD上一点，N为平面 AEC 内一点，则 M，N 两点间距离的最小值为 A63 B66 C34 D3
6、6 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把各题答案的最简形式写在题把各题答案的最简形式写在题中的横线上中的横线上.13设等差数列an的前 n 项的和为 Sn，且 S13=52，则 a4+a8+a9 =_.14为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设 A,B,C,D,E,F 六门选修课程，学校规定每个学生必须从这 6 门课程中选 3 门，且 A,B 两门课程至少要选 1 门，则学生甲共有_种不同的选法 理科理科数学试卷数学试卷 第第 3 页（共页（共 7 页）页）15在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边与x轴的非
7、负半轴重合，终边过点13(,)22，则cos 23_.16已知二次函数2()f xaxbxc，且49ca，若不等式()0f x 恒成立，则(1)(0)(1)fff的取值范围是 .三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 个小题个小题,共共 70 分分，解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根题为选考题，考生根据要求作答据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.17.（本小题满分 12 分）已知ABC的内角A，B，C的
8、对边分别为a，b，c 且sin()sin2BCaABc.（I）求A；（）若ABC的面积为3，周长为8，求a.理科理科数学试卷数学试卷 第第 4 页（共页（共 7 页）页）18（本小题满分 12 分）已知三棱锥PABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于2的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形，在三棱锥PABC中：（I）证明：平面PAC平面ABC；（）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角PBCM的余弦值 图一 图二 19.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为13，左、右焦点分别为1F、2F，A为椭圆C
9、上一点，1AF与y轴相交于B，2ABF B，43OB （）求椭圆C的方程；（）设椭圆C的左、右顶点为1A、2A，过1A、2A分别作x轴的垂线1l、2l，椭圆C的一条切线:(0)l ykxm k与1l、2l交于M、N两点，求证：12=MFNMF N 理科理科数学试卷数学试卷 第第 5 页（共页（共 7 页）页）20（本小题满分 12 分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近 6 个月广告投入量x（单位：万元）和收益y（单位：万元）的数据如下表：月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量 2 4 6 8 10 12 收益 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83
10、44.67 他们分别用两种模型abxy，bxaey 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：x y iiiyx61 612iix 7 30 1464.24 364 （）根据残差图，比较模型，的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（）残差绝对值大于 2 的数据被认为是异常数据，需要剔除：（）剔除异常数据后求出（）中所选模型的回归方程；（）若广告投入量18x时，该模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据),(),(),(nn2211yxyxyx，其回归直线=y bxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为：niiniiiniiiniixnxyxnyxxxy
11、yxxb1221121)()()(，=a ybx 理科理科数学试卷数学试卷 第第 6 页（共页（共 7 页）页）21（本小题满分 12 分）已知函数()(1ln)xf xeax，其中0a，设()fx为()f x导函数 （）设()()xg xefx，若()2g x 恒成立，求a的范围；（）设函数()f x的零点为0 x，函数()fx的极小值点为1x，当2a 时，求证：01xx 理科理科数学试卷数学试卷 第第 7 页（共页（共 7 页）页）（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选题中任选一题作答，如果多做，则按所做一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分的第一题计分.22（本小题满分 10 分）选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M的参数方程为1cos1sinxy （为参数），过原点O且倾斜角为的直线l交M于A、B两点.（）求l和M的极坐标方程；（）当0,4时，求OAOB的取值范围.23（本小题满分 10 分）选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 已知函数Raaxxxf,)(.（）当1)1()1(ff，求a的取值范围；（）若0a，对,x ya，都有不等式5()4f xyya恒成立，求a的取值范围.