1、高三数学(理科)试题 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷页,第卷页,共 分,测试时间 分钟注意事项:选择题为四选一题目,每小题选出答案后,用 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在测试卷上第卷(共 分)一、选择题:本大题共 小题,每小题分,共 分把正确答案涂在答题卡上设全集为R,集合Ax|x,Bx|x,则A(RB)Ax|xBx|xCx|xDx|x下面是关于复数zi的四个命题:p:|z|;p:zi;p:z的虚部为;p:z的共轭复数为i其中真命题为Ap,pBp,pCp,pDp,p已知某产品连续个月的广告费xi(千元)与销售额yi(
2、万元)(i,)满足ixi,iyi 若广告费用x和销售额y之间具有线性相关关系,且回归直线方程为yb xa,b,那么广告费用为千元时,可预测的销售额为万元A B C D 已知数列an 为等差数列,且a,a成等比数列,则an 前项的和为A B C D 已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x)f(x),当x时,f(x)x,则f()A B C D 设a,bR,且a b,则“a b”是“ab”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件设a(,),b(,),cak b若bc,则a与c的夹角为ABC D 第 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的,会标是
3、四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如果小正方形的面积为a,大正方形的面积 a,直角三角形中较小的锐角为,则t a n()A B C D 高三数学(理科)试题第页(共页)如图所示,正方形的四个顶点A(,),B(,),C(,),D(,)及抛物线y(x)和y(x),若将一个质点随机投入正方形A B C D中,则质点落在图中阴影区域的概率是ABCD 如果P,P,P,是抛物线C:yx上的点,它们的横坐标依次为x,x,x,F是抛物线C的焦点,若xxx ,则|PF|PF|P F|A B C D 已知函数f(x)|x|e,x l nx,x,记g(x)f(x)e xa,若g(x)存在个零点,
4、则实数a的取值范围是Ae,eB(e,e)Ce,eDe,e 设F,F是双曲线C:xayb(a,b)的左,右焦点,O是坐标原点过F的一条直线与双曲线C和y轴分别交于A、B两点若|O A|O F|,|O B|O A|,则双曲线C的离心率为ABCD第卷(共 分)二、填空题:本大题共小题,每小题分,共 分把答案填在答题卡的相应位置 若x,y满足约束条件xyxyxy,则zxy的最大值为 设(x)xaa(x)a(x)a(x),则aaa 的值为 在平面直角坐标系x O y中,已知过点M(,)的直线l与圆(x)(y)相切,且与直线a xy垂直,则实数a高三数学(理科)试题第页(共页)已知函数f(x)exa,过点
5、A(a,)(a)作与y轴平行的直线交函数f(x)的图象于点P,过点P作f(x)图象的切线交x轴于点B,则A P B面积的最小值为三、解答题:本大题共小题,共 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本小题满分 分)已知函数f(x)s i n xc o s x c o s x()的最小正周期为,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度,得到函数yg(x)的图象()求函数f(x)的单调递增区间;()在锐角A B C中,角A,B,C的对边分别为a,b,c若gA,a,求A B C面积的最大值(本小题满分 分)设an 是等差数列,前n项和为Sn(nN),bn 是等比数列已知a,S,
6、ba,bb(b)()求数列an 和数列bn 的通项公式;()设cnanbn,记Tnccccn,求Tn(本小题满分 分)已知椭圆C:xayb(ab),点M(,)在椭圆C上,椭圆C的离心率是()求椭圆C的标准方程;()设点A为椭圆长轴的左端点,P、Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点,记直线A P、A Q斜率分别为k、k,若kk,请判断直线P Q是否过定点?若过定点,求该定点坐标,若不过定点,请说明理由(本小题满分 分)在创建“全国文明卫生城”过程中,某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)通过随机抽样,得到参加问卷调查的 人的得分统计结果如
7、表所示:组别,),),),),),),频数 高三数学(理科)试题第页(共页)()由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分ZN(,),近似为这 人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),利用该正态分布,求P(Z );()在()的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:得分不低于的可以获赠次随机话费,得分低于的可以获赠次随机话费;每次获赠的随机话费和对应的概率为:赠送话费的金额(单位:元)概率现有市民甲参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列与数学期望附:参考数据与公式:若XN(,),则P(X),P(X),P(X)(本小
8、题满分 分)已知函数f(x)x ex,g(x)a(l nxx),aR()已知T(x,y)为函数f(x),g(x)的公共点,且函数f(x),g(x)在点T处的切线相同,求a的值;()若f(x)g(x)在,)上恒成立,求a的取值范围请考生在第 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分(本小题满分 分)【选修:坐标系与参数方程】在平面直角坐标系x O y中,直线l的参数方程为x t,y a t,(t为参数,aR),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是 s i n()()求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;()已知直线l与曲线C交于A、B两点,且|A B
9、|,求实数a的值(本小题满分 分)【选修:不等式选讲】已知函数f(x)|a x|()若不等式f(x)的解集为(,),求a的值;()当a时,求f(x)f(x)的解集高三数学(理科)试题第页(共页)高三数学(理科)试题参考答案 一、选择题:本大题共 小题,每小题分,共 分把正确答案涂在答题卡上 B A D C D D A D B B C D二、填空题:本大题共小题,每小题分,共 分把答案填在答题卡的相应位置 e三、解答题:本大题共小题,共 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解:()由题得,函数f(x)s i n xc o s x c o s xs i n x(c o s x)s i n x
10、c o s x分 s i n x()分由它的最小正周期为,得,f(x)s i nx分由kxk,得k xk kZ,故函数f(x)的单调递增区间是k ,k,kZ分()将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度,得到函数yg(x)f x s i n x的图象,分在锐角A B C中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若gA,可得s i nA,A分因为a,由余弦定理,得bcb cc o s,bcb cb cb cb c,b c,当且仅当bc时取得等号 分A B C面积SA B Cb cs i nA,故A B C面积的最大值为 分高三数学(理科)试题答案第页(共页)解:()设数列an
11、的公差为d,等比数列bn 的公比为q由已知得:Sad,即ad,分又a,所以d,分所以ann分由于ba,分bb(b),所以(q)(q),即q(q不符合题意,舍去)分所以bnnn,所以,an 和bn 的通项公式分别为ann,bnn分()由()知,cnnn,所以,TnnnTnnnnn分上述两式相减,得Tnnnn分nnnnnnnn 分得Tnnn 分 解:()由点M(,)在椭圆C上,且椭圆C的离心率是,可得abca,分可解得:abc,分故椭圆C的标准方程为:xy分高三数学(理科)试题答案第页(共页)()设点P、Q的坐标分别为(x,y),(x,y),()当直线P Q斜率不存在时,由题意知,直线方程和曲线方
12、程联立得P(,),Q(,)分()当直线P Q的斜率存在时,设直线P Q的方程为yk xm,联立xyyk xm,消去y得:(k)xk m x(m),分由 km(k)(m)(km),有km,由韦达定理得:xxk mk,xxm k,分故kkyy(x)(x),可得yy(x)(x),分可得(k xm)(k xm)(x)(x),整理为:(k)xx(k m)(xx)m,故有:(k)m k(k m)k mkm,化简整理得:mk mk,解得:mk或mk,分当mk时直线P Q的方程为yk xk,即yk(x),过定点(,)不合题意,当mk时直线P Q的方程为yk xk,即yk(x),过定点(,)综上,由()()知,
13、直线P Q过定点(,)分 解:()由题意得 分 ,P(Z )P(Z ),P(Z )P(Z )分P(Z )P(Z )P(Z )分综上P(Z )P(Z )P(Z )分()由题意知P(Z)P(Z),获赠话费X的可能取值为,分P(X);P(X);P(X);P(X)高三数学(理科)试题答案第页(共页)P(X );分X的分布列为:X P 分EX 分 解:()由题意f(x)(x)ex,g(x)a(x),分点T(x,y)为函数f(x),g(x)的公共点,且函数f(x),g(x)在点T处的切线相同,故xexa(l nxx),(x)exa(x),且x,分由得,xexa,xxex从而a l nxx l na分代入得
14、:aal na l na,ae分()令h(x)f(x)g(x)h(x)(x)(x exa)x(x)分当a时,h(x),h(x)在,)单调递增,h(x)h()ea,满足题意;分当ae时,x,x exe,x exa,h(x),h(x)在,)单调递增,需h(x)m i nh()ea解得ae,ae分当ae时,x(,)使xexa当x(,x)时,h(x),h(x)单调递减;当x(x,)时,h(x),h(x)单调递增;h(x)m i nh(x)aa(x l nx)a(l na)ae l nah(x)m i nh(x),不恒成立 分综上,实数a的取值范围是ae 分高三数学(理科)试题答案第页(共页)解:()由
15、直线l的参数方程为xt,ya t,所以普通方程为a xya分由曲线C的极坐标方程是 s i n(),所以 s i n()s i nc o s,曲线C的直角坐标方程是xyxy分()设A B的中点为M,圆心C到直线A B的距离为d,则|MA|,圆C:(x)(y),则r,C(,)分d|MC|r|MA|分由点到直线距离公式,d|aa|a|a|a分解得a,所以实数a的值为 分 解析:()由a x得,a x分当a时,axa分由aa得a;分当a时,axa分由aa,无解所以,a分()f(x)f(x)|x|x|当x时,原不等式化为:x,所以x;分当x时,原不等式化为:x,所以x(舍);分当x时,原不等式化为:x分所以,不等式的解集为(,)分高三数学(理科)试题答案第页(共页)