1、-1-荆门市 2020 年高三年级元月调考试卷 数学（文科）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。1已知集合|01Axx，13|xxB，则 A|0ABx xI BAB RU C.|1ABx xU DAB I 2设i是虚数单位，则i2i
2、1等于 A0 B2 C2 D4 3下列各式中错误的是 A330.80.7 Blg1.6lg1.4 C6.0log4.0log5.05.0 D0.10.10.750.75 4设双曲线2222:10,0 xyCabab的右焦点与抛物线28yx的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方程为30 xy，则双曲线C的方程为 A2213xy B2213yx C221412xy D221124xy 5已知函数 sinf xAx（0A，0，2）的部分图象如图所示，则 A6 B4 C3 D23 6已知1tan4,tan则sin2 A15 B14 C12 D34 7设nS是等差数列na的前 n 项和,若36S1S3,则6
3、12SS A310 B13 C18 D19 第 5 题图 -2-8太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为 2222224,11110 xyx y xyxyx 或，设点(,)x yA，则2zxy的取值范围是 A15,2 5 B2 5,2 5 C2 5,15 D4,15 9灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型 的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传
4、统性和地方特色。春节期 间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是 A甲 B乙 C丙 D丁 10函数ln1()xf xex的大致图象为 11已知二面角l 为060,点 P、Q 分别在、内且,PQlP 到的距离为3,Q 到的距离为32,则 PQ 两点之间的距离为 A.3 B1 C2 D2 12已知1F，2F是椭圆和双曲线的公共焦
5、点，P是它们的一个公共点，且321PFF，椭圆的离心率 -3-第 15 题图 为1e，双曲线的离心率2e，则222131ee A1 B2 C2 D4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学生，将每一学生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列（下表为随机数表的前2行）的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为 .14已知向量,a br r满足3,2 3,abrr且0aabrrr，则,a br r的夹角为 .15如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方
6、形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有 1023 个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为 .16 已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为100，PA平面ABC，8PA,060BAC,则三棱锥体积的最大值为 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 12 分）已知在等比数列 na中，12a，且1a，2a，32a 成等差数列（）求数列 na的通项公式；（）若数列 nb满足：212lognnnbaa，求数列 nb的前n项和nS 18.（本小题满分 12 分）如图所示，在四棱锥ABCDE中，
7、平面BCDE平面ABC，BEEC，6,4 3BCAB，30ABC（）求证：ACBE；7816 6514 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 -4-（）若二面角BACE为45，求直线AB与平面 ACE所成的角的正弦值 19.（本小题满分 12 分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 40
8、位居民某年的月均用水量(单位：吨)，按照分组0,0.5,0.51,3,3.5L，制作了频率分布直方图，（）用该样本估计总体：（1）估计该市居民月均用水量的平均数；（2）如果希望 86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？（）在该样本中月均用水量少于 1 吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于 0.5 吨的概率是多少？20.（本小题满分 12 分）已知椭圆E：22221(0)xyabab的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线20 xy相切（）求椭圆E的标准方程；（）,ABC为椭圆E上不同的三点，O为坐标原点，若0O AO BO
9、 C u u u r u u u r u u u r r，试问：A B CV的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由 21.（本小题满分 12 分）已知函数 2lnfxxxaxaR在定义域内有两个不同的极值点.（）求实数a的取值范围；-5-（）记两个极值点为12,x x，且12xx，求证：121xx.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（10 分）【选修选修 4 4-4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为:1cossinxy（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的
10、极坐标方程为:4R（）求直线l与曲线1C公共点的极坐标；（）设过点0,1P的直线m交曲线1C于A，B两点，求PAPB的值 23.（10 分）【选修选修 4 4-5 5：不等式选讲：不等式选讲】设不等式211x的解集是M，a，bM（）试比较1ab与ab的大小；（）设max A表示数集A中的最大数2211max,44abhaabb，求h的最小值 -6-荆门市 2020 年高三年级元月调考试卷 数学（文科）参考答案与评分标准 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分.15 DBDBC 6-10 CACAC 11-12 AD 二、填空题：每小题 5 分，共 20 分.13.43 14.56 15.13
11、2 16.18 3 三、解答题：17.17.解解：（1）设等比数列 na的公比为q，1a，2a，32a 成等差数列，213332222aaaaa，3 分*3222nnaqanaN 6 分（2）221112log2log 2222nnnnnnbana，8 分 23111124622222nnSn 23111124622222nn 10 分 2*111221121(1)12nnn nnnn N 12 分 18.18.解解：（）证明：在ACB中，2222cos3ACABBCAB BCABC,所以222ACBCAB,所以ACBC 2 分 因为平面BCDE 平面ABC,平面BCDEI平面ABCBC,BC
12、AC,所以AC 平面BCDE 4 分 又因为BE 平面BCDE，所以ACBE 6 分（）解：因为AC 平面BCDE，CE 平面BCDE，所以ACCE 又BCAC,平面ACE 平面ABCAC,-7-所以BCE是平面EAC与平面BAC所成的二面角的平面角，即45BCEo 8 分 因为,BEEC ACBE ECACCI,所以BE 平面ACE 所以BAE是直线AB与平面ACE所成的角10 分 因为在Rt BCE中，3 2sin452BEBCo，所以在Rt BAE中，6sin4BEBAEAB 12 分 1919解：解：（）（1）月均用水量 0.25 0.050.75 0.1 1.25 0.15 1.75
13、 0.22.25 0.3x 2.75 0.153.25 0.051.875 3 分（2）由直方图易知：2.5,3,3-0.30.5 0.1 1 86%2.7aaa 由吨 故月均用水量a的标准定为 2.7 吨.6 分（）由直方图可知：月均用水量在0,0.5的人数为：40 0.1 0.5=2人，记为:a,b，月均用水量在0.51，的人数为：40 0.2 0.5=4人，记为：,B,C,D 8 分 从此 6 人中随机抽取两人所有可能的情况有：ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,AB,AC,AD,BC,BD,CD 共 15 种，其中月均用水量都 在0.51，的情况有：AB,AC,AD,
14、BC,BD,CD,共 6 种，10 分 故两人月均用水量都不低于 0.5 吨的概率:15562P=12 分 20.解：解：（）由题意知，2 分 解得 则椭圆 的方程是：4 分（）当 AB 斜率不存在时，2323(2,0),(,)(,)2222CAB不妨设，13 23 63224S 5 分 -8-设:,AB ykxm由22222(12)42(1)022ykxmkxmkxmxy 设112233(,)(,)(,)A x yB xyC x y，则 121222242(1),1 21 2xxxmkxmkk 7 分 31222312=-0,22=-xxxOAOBOCxyyyyuuu ruuu ruuu r
15、r由代入有：222222442224211 21 2mkmkmmkkkk 9 分 原点 O 到 AB 的距离2,1mdk 2222222222168(1)(21)(21)12 212121m kmkkmABkkkk 11 分 故2222222(21)1333 632 213 22221441mkmmSABdkkmk 综上：A B CV的面积为定值3 64.12 分 21.21.解：解：（）由题意，方程0)(xf在,0有两个不同根,即方程1 ln20 xax有两个不同根；解法解法 1 1：转化为函数()lng xx与函数21yax的图象在0,上有两个不同交点，令00011()22g xaxxa,
16、1 分 故()g x在11(,ln()22aa处的切线方程为：111ln()()222yxaaa3 分 代入点0,1有：111111 ln()(0)ln()012122222aaaaaa 由图象可得：120,10,2aa 5 分 解 法解 法2 2：转 化 为 函 数1l n()xg xx与 函 数2ya的 图 象 在0,上 有 两 个 不 同 交 点 1 分 -9-2ln()(0)xg xxx，故0,1x时，()0;g x 1,x时，()0;g x ()0,11+g x故在单增，在，上单减，max()(1)1g xg3 分 又111()0,(0,)()0;(,)()0;gxg xxg xee
17、e故时，时，由图象可得：120,10,2aa5 分 解法解法 3 3：12(0)fxa xx 1 分 2000+afxfx时，故在，上单增，=0+fx故0在，最多只有一个实根，不合题意；2 分 112000;0,;22afxxfxxaa时，令，令 110,;22fxaa故在，上单增，在上单减 故 max11 ln(2)1ln(2)020,12fxfaaaa 1120,120,limxafafxee 当时，=00+fx故在，上有两个不等的实根；故10,2a 5 分（）由（）知：12,1 ln20 x xxax是的两个根，12112212lnln1ln201ln202=xxxaxxaxaxx故，7
18、 分 1212121lnln02-1+2-10 xxxxaxax要证：，只需证：即证：12121212lnln222xxa xxxxxx即证：即证：又1122112121222120,ln()1xxxxxxxxxxxx故上式即为：9 分 -10-21222211140,1,()ln,()0111ttxth tth txtttt t令 11 分 故()0,1()(1)0,().h th th在上单增，故故式成立，即证 12 分 22.（1）曲线1C的普通方程为2211xy，直线l的普通方程为yx，2 分 联立方程2211xyyx，解得00 xy或11xy，4 分 所以，直线l与曲线1C公共点的极
19、坐标为0,0，2,45 分（2）依题意，设直线m的参数方程为cos1sinxtyt （为倾斜角，t为参数），代入2211xy，整理得2-2 sin+cos10tt 7 分 设,A B对应的参数分别为12,t t则1 21PAPBt t 10 分 另解：另解：设PT为1C的一条切线，由切割线定理：222111PAPBPTPC 23.由211x得121 1x ，解得01x，01Mxx2 分（1）由a，bM，得01a，01b，1110ababab，故1abab 5 分（2）由2211max,44abhaabb，得14ha，22abhab，14hb，7 分 2222311211616844abababhababaabb，故12h 9 分 当且仅当221111.2444ababaabb即时等号成立10 分