1、页 1 第 B A C xyOxyOxyOxyOD 黄山市黄山市 20202020 届高中毕业班第一次质量检测届高中毕业班第一次质量检测 数学（理科）试题数学（理科）试题 本试卷分第卷（选择题 60 分）和第卷（非选择题 90 分）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：1答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号
2、.3答第卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：参考公式：球的表面积公式24SR 球的体积公式343VR 第卷第卷（选择题 满分 60 分）一、一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题.）1.已知复数z满足izi3)1(,则|z|A
3、.5 B.3 C.5 D.3 2.设UR，A|042 xxx，B|1xx，则()UAC BI A40 xx B41 xx C40 xx D41 xx 3.已知0.32a，20.3b，0.3log2c，则 Abca Bbac Ccab Dcba 4.函数cossin2xxy 的大致图象为 5.裴波那契数列（Fibonacci sequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列na满足：121 aa，12nnnaaa，现从该数列的前 40 项中随机抽取一项，则能被 3 整除的概率是 A.41 B.3
4、1 C.21 D.32 6将向量(1,1)OA uuu r绕原点 O 顺时针方向旋转 75 得到OBuuu r，则OBuuu r 页 2 第 A2226,B2622,C2226,D2622,7.已知数列 na满足2*1222.2()nnaaan nN，数列2211loglognnaa的前n 项和为nS，则2019S=A20202019 B20191 C20201 D20192018 8.已知函数()f x在R上满足 xxxfxf52242，则曲线()yf x在点(2,(2)f处的切线方程是 Ayx B4yx C38yx D512yx 9.函数06sinxy在22,内单调递增，且图象关于直线x对
5、称，则的值为 A.14 B.35 C.32 D.31 10.如图，半径为 6 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆 锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值 为 A2 B4 C6 D8 11.已知函数3()ln2f xxa x有 4 个零点，则实数a的取值范围是 A20 e,B2e,C210 e,D,21e 12.如图，1(,0)Fc,2(,0)F c分别为双曲线2222:1(,0)xya bab的左、右焦点，过点1F作 直线l，使直线l与圆222()xcyr相切于点P,设直线l交双曲线的左右两支分别于 A、B 两点（A、B 位于线段1F P 上），若1|:|:|2:2:1
6、F AABBP,则双曲线的离心率为 A.5 B.2655 C.2 62 3 D.2 63 第卷第卷（非选择题 满分 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请在答题卷的相应区域答题.）13.已知函数 0,ln20,1212xxxxxfx则1ff .14.已知实数yx,满足约束条件1040yyxyx，则yxz22的最大值为 .页 3 第 MDCC1ABA1B1D115.函数112xy 与函数)2(xky的图象有两个不同 的公共点,则实数k的取值范围是 .16.如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点M是 AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（
7、不包括边界），若1/B P平面1ABM，则1C P长度的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卷的相应区域答题.）17.（本小题满分 12 分）已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cabABACsinsinsinsin,（1）求角C的大小;（2）若3c,求ba 的取值范围.18.（本小题满分 12 分）田忌赛马是史记中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等。于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,
8、用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注。假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛，田忌获胜的概率如下表所示:上等马 中等马 下等马 上等马 0.5 0.8 1 中等马 0.2 0.5 0.9 下等马 0 0.05 0.4 比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.（1）如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;（2）如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注 1000 金,即胜利者赢得对方 1000 金,每月比赛一
9、次,求田忌一年赛马获利的数学期望.公 子 的 马 获 胜 的 概 率 田忌的马 页 4 第 19（本小题满分 12 分）已知C是以AB为直径的圆周上一点，3ABC，PA平面ABC（1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若异面直线PB与AC所成的为3，求二面角APBC的余弦值。页 5 第 20（本小题满分 12 分）已知椭圆:C)0(12222babyax的焦距为2，过点)22,1(。（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F，定点P)0,2(，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，以线段AP为直径的圆与直线2x的另一个交点为Q，证明：直线BQ恒过一定点，并求出该定点的坐标。2
10、1（本小题满分 12 分）函数xxaaxxfln)1(21)(2，（1）求)(xf的单调区间；（2）在函数)(xf的图象上取),(11yxA，),(22yxB两个不同的点，令直线AB的斜率 为k，则在函数的图象上是否存在点),(00yxP，且2210 xxx，使得)(0 xfk？若存 在，求A，B两点的坐标，若不存在，说明理由。页 6 第 考生注意：请在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用 2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑 22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，l是过定点)1,1(P且倾斜角为的
11、直线。以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos4。（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若曲线C与直线l相交于M，N两点，求PNPM 的取值范围.23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数212)(xxxf（1）解不等式5)(xf;（2）若233)(2aaxf恒成立,求a的取值范围.页 7 第 黄山市黄山市 20202020 届高中毕业班第一次质量检测届高中毕业班第一次质量检测 高三数学（理科）参考答案及评分标准高三数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1.C
12、2.D 3.D 4.A 5.A 6.C 7.A 8.B 9.C 10.C 11.C 12.B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13.2 14.5.0 15.1,34(16.)2,530 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分 12 分）解:（1）由cabABACsinsinsinsin则cababac abcba222 3 分 所以2122cos222abababcbaC 而),0(C 故3C 6 分（2）由abcba222 且3c ababba92)(2 22)2(339)(baabba 36)
13、(2ba 所以6ba 10 分 又3cba 所以ba 的取值范围是6,3(12 分 18.（本小题满分 12 分）解：（1）记事件A：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，对于事件A，三场比赛中，由于有一场比赛田忌必输，另两场都胜，故72.09.08.0)(AP 4 分（2）设田忌在每次比赛中所得的奖金为随机变量（金），则的取值为1000-和1000。若在某月的比赛中田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜，负胜胜，胜负胜，胜胜负 6 分 设在该月的比赛中田忌获胜的概率为P，则 45.04.05.05.04.05.05.06.05.05.04.05.05.0P 8 分 10010001100
14、0-ppE）（）（10 分 因此田忌一年赛马获利的数学期望为120012100（金）12 分 19.（本小题满分 12 分）（1）证明：因为AB为圆的直径，所以BCAC，又PA平面ABC，而BC平面ABC，所以BCPA，又APAAC,所以BC平面PAC，页 8 第 AOyxzBPC而BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC 5 分（2）解法 1：建系如图所示，令tAB2，而3ABC，则6BAC,tAC3，则)0,0,0(A，），（0,20 tB,）（0,23,23ttC，令),0,0(hP)0(h 所以),2,0(htBP，)0,23,23(ttAC，因为异面直线PB与AC所成的角为3，故21
15、3433cos222thttACBPACBP，解得th22 令平面PBC的一个法向量为),1(zyn，而)0,2,23(ttBC，）（ttBP22,2,0 由0BCn,0223ytt,所以3y 由0BPn，02232-tzt所以26z，即)26,3,1(n 而平面PAB的一个法向量为)0,0,1(m 所以1122112233111cosmnmn 解法 2：过B作AC的平行线BM交圆于M，连接PM，AM，所以直线PB与AC所成的角即为PB与BM所成的角，因为AB为圆的直径，所以BMAM，又PA平面ABC，而BM平面ABC，所以BMPA 又APAAM,所以BM平面PAM 而PM平面PAM，所以PM
16、BM，则3PBM 令tAB2，且3ABC所以tBMAC3，tBCAM ttPM33tan3，tttPA22322）（，tttPB32)2()22(22,tttPC11)3()22(22 过A作PCAN 交PC于N，过A作PBAQ 交PB于Q,连接QN，由三垂线定理知PBQN，所以AQN即为二面角APBC的平面角 8 分 36232222tttPBABPAAQ，1166211322tttPCACPAAN 2 6633 11sin11112 6ANAQNAQ，1122cosAQN 页 9 第 即为二面角APBC的余弦值为1122 12 分 20.（本小题满分 12 分）解：（1）由题知121112
17、2bac 解得22a，12b，所以椭圆C的方程为1222 yx 4 分（2）设),(11yxA，),(22yxB因为直线l的斜率不为零，令l的方程为：1 myx 由12122yxmyx 得012)2(22myym 则22221mmyy，21221myy，6 分 因为以AP为直径的圆与直线2x的另一个交点为Q,所以PQAQ，则),2(1yQ 则2212xyykBQ，故BQ的方程为：)2(22121xxyyyy 8 分 由椭圆的对称性，则定点必在x轴上，所以令0y，则 22)1(2)2(1212112211221yyyymyyymyyyyxyx 而22221mmyy，21221myy，22121y
18、yymy 所以232212212121yyyyyx 故直线BQ恒过定点，且定点为)0,23(12 分 21.（本小题满分 12 分）解：（1）由题知定义域为），（0，xxaxxxaaxxaaxxf)1)(1(1)1(11)(2 1 分 当1a时，110a，令0)(xf，解得)1,1(ax，0)(xf，解得),1()1,0(ax 即函数)(xf在)1,1(a上单调递增，在)1,0(a及),1(上单调递减；当1a时，11a，在),0(上0)1()1)(1()(2xxxxxxf，即函数)(xf在),0(上单调递减；当01a时，11a 令0)(xf，解得)1,1(ax，0)(xf，解得),1()1,0
19、(ax 页 10 第 即函数)(xf在)1,1(a上单调递增，在)1,0(及),1(a上单调递减；当0a时，令0)(xf，解得),1(x，0)(xf，解得)1,0(x 即函数)(xf在),1(上单调递增，在)1,0(上单调递减；5 分 综上所述：当1a时，增区间为)1,1(a，减区间为)1,0(a及),1(；当1a时，减区间为),0(；当01a时，增区间为)1,1(a，减区间为)1,0(及),1(a；当0a时，减区间为)1,0(，增区间为),1(；6 分（2）假设存在，即满足)(0 xfkAB 因为已知),(11yxA，),(22yxB不妨令210 xx 则121212121212121212
20、lnln)()(1()(21xxxxxxxxaxxxxxxaxxyykAB 121212lnln12)(xxxxaaxx 而2121000212)(11)(xxaaxxxaaxxf由)(0 xfkAB 得2112122lnlnxxxxxx存在，也就是证0)(2lnln211212xxxxxx存在 9 分 只要证01)1(2ln121212xxxxxx存在，令112 txx，故转化为)1(01)1(2lntttt存在 即需要证明)1(214lnttt令)1(14ln)(ttttg 则有0)1()1()1(41)(222ttttttg故)(tg在1t上单调递增，所以2)1()(gtg，故不存在。1
21、2 分 22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解：（1）l的参数方程：sin1cos1tytx（t为参数）2 分 曲线C的直角坐标方程：4)2(22yx 5 分（2）将l的参数方程代入曲线C的方程得 02)cos2sin2(2tt 由于08)cos2sin2(2恒成立，所以方程有两个不等实根21tt、，由于0221t t，所以21tt、异号 则4,222sin4124)(212212121t tttttttPNPM 10 分 23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 页 11 第 解：（1）当21x，则5212xx 2134x 当221x时，则5212xx 122x 当2x时，则5212xx，此时无解 故解集为 234|xx 5 分（2）由（1）知)2(13)221(3)21(13xxxxxxy，所以当12x 时，y的最小值为25，则252332 aa 0432 aa所以 1,4a 10 分