1、2020 学年度高三年级 12 月份月考 应届理科数学试卷 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意)1i1 i=1 ii（）A11i22 B11i22 C31i22 D13i22 内单调递减，则下面结论正确的是（）3、已知两个等差数列 nnba 和的前n项和分别为nnTS 和，且nnTnSn)237()1（，则使得nnba为整数的正整数n的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5），则这个几何体的体积为（）第 4 题图 第 5 题图 3 B243 C316cm D 5已知函数()2sin()(0,|)f xx 的部分图象如图所示，且(,1),(
2、,1)2AB，则的值为（）A56 B6 C6 D56 6.的内角的对边分别为若成等比数列，且，则()A B C D 7不等式2334aaxbx（其中0,1b）对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A,14,B1,4 C1,2 D,12,8已知函数 24312311xaxxf xa xx在xR内单调递减，则 的取值范围是().A10,2 B1 2,2 3 C2,13 D1,9已知0 x，0y，lg2lg8lg2xy，则113xy的最小值是（）A2 B2 2 C3 D4 10平面内有三个向量，其中与夹角为 120，与的夹角为 30，且，若，（，R）则（）A=4，=2 B C D 11中国古代
3、数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD，1ED，若鳖臑PADE的外接球的体积为7 143，则阳马PABCD的外接球的表面积等于 第 10 题图 第 11 题图 第 12 题图 A18 B17 C.16 D.15 12.如图，在 RtABC 中，AC=1，BC=x，D 是斜边 AB 的中点，将BCD 沿直线 CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 CBAD，则 x 的取值范围是（）A（0，
4、B（，2 C（，2 D（2，4 二、填空题 13已知函数()2 sin()0,0,2f xaxa，直线ya与()f x的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：该函数在2,4上的值域是,2 aa；在2,4上，当且仅当3x 时函数取最大值；该函数的最小正周期可以是83；()f x的图象可能过原点 其中的真命题有_（写出所有真命题的序号）14记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.求Sn_ 15数列 na中，11a，以后各项由公式2123.na aaan给出，则35aa等于_.16已知2:2310pxx，2:(21)(1)0q xaxa a若p是q的必要不充分条件，则实
5、数a的取值范围是_ 三、解答题 17已知函数2()3sincoscos1f xxxxb （1）若函数()f x的图象关于直线6x对称，且0,3，求函数()f x的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当70,12x时，函数()f x有且只有一个零点，求实数b的取值范围 18如图，在直角梯形CD中，/CD，D，且1DCD12现以D为一边向梯形外作矩形D F，然后沿边D将矩形D F 翻折，使平面D F 与平面CD垂直 （1）求证：C平面D；（2）若点D到平面C的距离为63，求三棱锥FD 的体积 19 已知x0，y0，且 2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值 20在直角梯形 P
6、BCD 中，,4,2,2PDCDBCCDA 为 PD 的中点，如图将PAB沿 AB 折到SAB 的位置，使 SBBC，点 E 在 SD 上，且SDSE31，如图 （）求证：SA平面 ABCD；（）求二面角 EACD 的正切值 21已知以1a为首项的数列 na满足：11nnaa（*nN）.（1）当113a 时，且10na，写出2a、3a；（2）若数列na（110n，*nN）是公差为1的等差数列，求1a的取值范围；22 已知函数f(x)ln xe-x(R)(1)若函数f(x)是单调函数，求 的取值范围；(2)求证：当0 x10，y0，则 18x2y28x2y8xy，得 xy64，当且仅当 x4y，
7、即 x16，y4 时等号成立.6 分 (2)解法一：由 2x8yxy0，得 x8yy2，因为 x0，所以 y2，则 xyy8yy2(y2)16y21018，当且仅当 y216y2，即 y6，x12 时等号成立.12 分 解法二：由 2x8yxy0，得8x2y1，则 xy8x2y(xy)102xy8yx1022xy8yx18，当且仅当 y6，x12 时等号成立.12 分 20.（）证明见解析（）【解析】试题分析：（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中 SAAB，易证 BCSA，由根据直线与平面垂直的判定定理可得 SA平面 ABCD；.4 分（2）（三垂线法）由考虑在 AD 上取一点 O，使得，从
8、而可得 EOSA，所以 EO平面 ABCD，过 O 作 OHAC 交 AC 于 H，连接 EH，EHO 为二面角 EACD 的平面角，在 RtAHO中求解即可（法二：空间向量法）（1）同法一（2）以 A 为原点建立直角坐标系，易知平面 ACD 的法向为，求平面 EAC 的法向量，代入公式求解即可 解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BAPD，ABCD 为正方形，所以在翻折后的图中，SAAB，SA=2，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，因为 SBBC，ABBC，SBAB=B 所以 BC平面 SAB，又 SA 平面 SAB，所以 BCSA，又 SAAB，BCAB=B 所以 SA
9、平面 ABCD，（2）在 AD 上取一点 O，使，连接 EO 因为，所以 EOSA 因为 SA平面 ABCD，所以 EO平面 ABCD，过 O 作 OHAC 交 AC 于 H，连接 EH，则 AC平面 EOH，所以 ACEH 所以EHO 为二面角 EACD 的平面角，在 RtAHO 中，即二面角 EACD 的正切值为.12 分 解法二解法二：（1）同方法一（2）解：如图，以 A 为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）平面 ACD 的法向为.6 分 设平面 EAC 的法向量为=（x，y，z），由00n ACn A
10、E，所以，可取 所以=（2，2，1）.9 分 所以 所以 即二面角 EACD 的正切值为.12 分 21.（1）223a ，313a ；（2）19a 【解析】(1)因为以1a为首项的数列 na满足：11nnaa，113a ，10na，所以21213aa，所以223a ；由32113aa得313a ；.4 分(2)因为数列na（110n，*nN）是公差为1的等差数列，所以111nnnaaa，所以2211nnaa，.6 分 所以22nnaa，所以0na，所以nnaa，.8 分 故11naan，所以110naan，因为110n，.10 分 所以由题意只需：10190aa，故19a .12 分 22.
11、解(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln xe-x，f(x)xexxexx，函数 f(x)是单调函数，f(x)0 或 f(x)0 在(0，)上恒成立，.2 分 当函数 f(x)是单调递减函数时，f(x)0，xexx0，即 xex0，xexxex，令(x)xex，则(x)x1ex，当 0 x1 时，(x)1 时，(x)0，则(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，当 x0 时，(x)min(1)1e，1e；.4 分 当函数 f(x)是单调递增函数时，f(x)0，xexx0，即 xex0，xexxex，由得(x)xex在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，又(0)0，x时，(x)0，0.综上，1e或 0.6 分(2)证明：由(1)可知，当1e时，f(x)1eln xex在(0，)上单调递减，0 x1f(x2)，即1eln x1e-x11eln x2e-x2，e-x2e-x1ln x1ln x2.要证 e1-x2e1-x11x2x1.只需证 ln x1ln x21x2x1，即证 ln x1x21x2x1，令 tx1x2，t(0,1)，则只需证 ln t11t，.10 分 令 h(t)ln t1t1，则当 0t1 时，h(t)t1t20，即 ln t11t，得证.12 分