1、页 1 第 2019-2020 学年度高三年级第一次质量检测 数学数学理科理科卷 一、一、填空题：本大题共填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1.已知集合|02Axx，|11Bxx，则AB U_.答案：12xx 2.已知复数z满足24z ，且z的虚部小于 0，则z _.答案：2i 3.若一组数据7,6,8,8x的平均数为 7，则该组数据的方差是_.答案：45 4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_.答案：20 5.函数2()log2f xx的定义域为_.答案：4,+)6.某学校高三年
2、级有,A B两个自习教室，甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为_.答案：12 7.若关于x的不等式230 xmx 的解集是(1,3)，则实数m的值为_.答案：4 8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线2213xy的右准线与渐近线的交点在抛物线22ypx上，则实数p的值为_.9.已知等差数列na的前n项和为nS，298aa，55S ，则15S的值为_.答案：135 10.已知函数3sin2yx的图象与函数cos2yx的图象相邻的三个交点分别是,A B C，则ABC的面积为_.答案：32 11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆22:48120M
3、xyxy，圆N与圆M外切与点(0,)m，页 2 第 且过点(0,2)，则圆N的标准方程为_.答案：22(2)8xy 12.已知函数()f x是定义在R上的奇函数，其图象关于直线1x 对称，当(0,1x时，()axf xe（其中e是自然对数的底数），若(2020ln2)8f，则实数a的值为_.答案：3 13.如图，在ABC中，,D E是BC上的两个三等分点，2AB ADAC AEuuu r uuu ruuu r uuu r，则cos ADE的最小值为_.答案：47 14.设函数3()|f xxaxb，1,1x，其中,a bR.若()f xM恒成立，则当M取得最小值时，ab的值为_.答案：34 二
4、、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答内作答解答时应写出文字说明、证明解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤过程或演算步骤 15.（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥PABC中，APAB，,M N分别为棱,PB PC的中点，平面PAB 平面PBC.（1）求证：BC平面AMN；（2）求证：平面AMN 平面PBC.页 3 第 解：（1）在PBC中，因为 M，N 分别为棱 PB，PC 的中点，所以 MN/BC 3 分 又 MN平面 AMN，BC平面 AMN，所以 BC/平面 AMN6 分（2）在PAB中，因为APAB
5、，M 为棱 PB 的中点，所以AMPB8 分 又因为平面 PAB平面 PBC，平面 PABI平面 PBCPB，AM 平面 PAB，所以AM 平面 PBC12 分 又AM 平面 AMN，所以平面 AMN平面 PBC 14 分 16.（本小题满分 14 分）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且5cos5A.（1）若5a，2 5c，求b的值；（2）若4B，求tan2C的值.解：（1）在ABC中，由余弦定理2222cosbcbcAa得，25202 2 5255bb，即2450bb，4 分 解得5b或1b（舍），所以5b 6 分（2）由5cos5A及0A得，2252 5sin1 cos
6、1()55AA，8 分 所以210coscos()cos()(cossin)4210CABAAA ，又因为0C，所以22103 10sin1cos1()1010CC，从而3 10sin10tan3cos1010CCC，12 分 所以222tan2 33tan21tan1 34CCC 14 分 17.（本小题满分 14 分）如图，在圆锥SO中，底面半径R为 3，母线长l为 5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为1O，半径为r，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥1OO，记圆锥1OO的体积为V.（1）将V表示成r的函数；（2）求V得最大值.页 4 第 解：（1）在
7、SAO中，2222534SOSAAO，2 分 由1SNOSAO可知，1SOrSOR，所以143SOr，4 分 所以1443OOr，所以223144()(4)(3),03339V rrrrrr7 分（2）由（1）得234()(3),039V rrrr，所以24()(63)9V rrr，令()0V r，得2r，9 分 当(0,2)r时，()0V r，所以()V r在(0,2)上单调递增；当(2,3)r时，()0V r，所以()V r在(2,3)上单调递减 所以当2r 时，()V r取得最大值16(2)9V 答：小圆锥的体积V的最大值为16914 分 18.（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系x
8、Oy中，已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的右顶点为A,过点A作直线l与圆222:O xyb相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q.设直线l的斜率为k.（1）用k表示椭圆C的离心率；（2）若0OP OQuuu r uuu r,求椭圆C的离心率.页 5 第 （1）直线 l 的方程为)(axky，即0akykx，因为直线 l 与圆222byxO：相切，所以bkak12，故2222babk 所以椭圆C的离心率222111beak4 分（2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为2axc，由caxaxky2)(得cacakacaky22)(，所以)(,(22cacakcaQ，6 分 由)(1
9、2222axkybyax得02)(2224232222bakaxkaxkab，解得222223kababkaxp，则22222222232)(kabkabakababkakyp，所以)2-2222222223kabkabkababkaP，（，10 分 因为0OQOP，所以02)(222222222232kabkabcacakkababkaca，即)(2)(22222cakbbkaa，12 分 由（1）知，2222babk，所以22422222)(2)(bacabbbabaa，所以caa22，即ca2，所以21ac，故椭圆C的离心率为2116 分 19.（本小题满分 16 分）已知函数1()()
10、lnf xaxx()aR.（1）若曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为10 xy，求a的值；（2）若()f x的导函数()fx存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；（3）当2a 时，是否存在整数，使得关于x的不等式()f x恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.解：（1）211 1()lnfxxax xx，页 6 第 因为曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为10 xy，所以(1)11fa，得0a 2 分（2）因为21ln()axxfxx 存在两个不相等的零点 所以()1 lng xaxx 存在两个不相等的零点，则1()g xax 当0a时，()0g x，
11、所以()g x单调递增，至多有一个零点4 分 当0a 时，因为当1(0)xa，时，()0g x，()g x单调递增，当1(+)xa，时，()0g x，()g x单调递减，所以1xa 时，max11()()ln()2g xgaa 6 分 因为()g x存在两个零点，所以1ln()20a，解得2e0a7 分 因为2e0a，所以21e1a 因为(1)10ga，所以()g x在1(0)a，上存在一个零点 8 分 因为2e0a，所以211()aa 因为22111()ln()1gaaa，设1ta，则22ln1(e)yttt，因为20tyt，所以22ln1(e)yttt 单调递减，所以 2222ln ee1
12、3e0y ，所以22111()ln()10gaaa，所以()g x在1()a，上存在一个零点 综上可知，实数a的取值范围为2(e,0)10 分（3）当2a 时，1()(2)lnf xxx，2211 121ln()ln2xxfxxx xxx，设()21 lng xxx，则1()20g xx所以()g x单调递增，且11()ln022g，(1)10g，所以存在01(1)2x，使得0()0g x，12 分 因为当0(0)xx，时，()0g x，即()0fx，所以()f x单调递减；当0(+)xx，时，()0g x，即()0fx，所以()f x单调递增，所以0 xx时，()f x取得极小值，也是最小值
13、，此时0000000111()(2)ln(2)12(4)4f xxxxxxx，14 分 因为01(1)2x，所以0()(1 0)f x ，因为()f x，且为整数，所以1，即的最大值为116 分 20.（本小题满分 16 分）已知数列na的首项13a，对任意的*nN,都有11nnaka(0)k，数列1na 是公比不为 1的等比数列.（1）求实数k的值；（2）设4,1,nnn nban为奇数为偶数，数列 nb的前n项和为nS，求所有正整数m的值，使得221mmSS恰好页 7 第 为数列 nb中的项.解：（1）由11nnaka，13a 可知，231ak，2331akk，因为1na 为等比数列，所以
14、2213(1)(1)(1)aaa，即22(32)2(32)kkk，即231080kk，解得2k 或43k，2 分 当43k 时，143(3)3nnaa，所以3na，则12na ，所以数列1na 的公比为 1，不符合题意；当2k 时，112(1)nnaa，所以数列1na 的公比1121nnaqa，所以实数k的值为2 4 分（2）由（1）知12nna ，所以4nnnnbn 为奇数,为偶数,则22(4 1)4(43)44(21)4mmSmL 2(4 1)(43)4(21)444mmLL 144(4)3mmm，6 分 则212244(4)3mmmmSSbmm，因为22+1324mmmbbm，又222+
15、322+1()()3 420mmmmmbbbb，且2350bb，130b，所以210mS，则20mS，设2210,mtmSbtS*N，8 分 则1,3t 或t为偶数，因为31b 不可能，所以1t 或t为偶数，当2121=mmSbS时，144(4)3344(4)3mmmmmm，化简得2624844mmm，即242mm 0，所以m可取值为 1，2，3，验证624135787,3,323SSSSSS得，当2m时，413SbS成立12 分 当t为偶数时，1222144(4)331443124(4)134mmmmmmmSSmmmm，设231244mmmmc，则211942214mmmmmcc，由知3m，
16、当4m时，545304cc；当4m时，10mmcc，所以456cccL，所以mc的最小值为5191024c，所以22130151911024mmSS，令22214mmSbS，则2314312414mmm，即231240mm，无整数解 综上，正整数 m 的值216 分 页 8 第 2019-2020 学年度高三年级第一次质量检测 数学（附加题）21【选做题】【选做题】本题本题包含包含 A、B、C 小题小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则若多做，则按作答的前两题评分，按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
17、骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分 10 分）已知矩阵2Mt 31的一个特征值为 4，求矩阵M的逆矩阵1M.解：矩阵M的特征多项式为23()(2)(1)31ftt2 分 因为矩阵M的一个特征值为 4，所以(4)630ft，所以2t 5 分 所以2321M，所以113132 13 22 13 24422112 13 22 13 222 M10 分 B选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cossin)12
18、，曲线C的参数方程为2 3cos2sinxy（为参数，R）.在曲线C上点M,使点M到l的距离最小，并求出最小值.解：由:cossin120l，及cosx，siny，所以l的直角坐标方程为120 xy 2 分 在曲线C上取点2 3cos2sinM，则点M到l的距离 4sin12124sin2 3cos2sin1233222d，6 分 当6时，d取最小值4 2，8 分 此时点M的坐标为3,110 分 C选修选修 45：不等式选讲不等式选讲（本小题满分 10 分）已知正数,x y z满足1xyz，求111+222xyyzzx的最小值.解：因为xyz，都为正数，且1xyz，所以由柯西不等式得，1113
19、()222xyyzzx 111()(2)(2)(2)222xyyzzxxyyzzx5 分 2111(222)9222xyyzzxxyyzzx，当且仅当13xyz时等号成立，页 9 第（第 22 题）B A C x y z B1 A1 C1 所以111222xyyzzx的最小值为 310 分 第第 22 题题、第、第 23 题题，每题，每题 10 分，共计分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答，分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤 22.（本小题满分 10 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11AAB B为正方
20、形，侧面11BBC C为菱形，1160BBCo，平面11AAB B 平面11BBC C.（1）求直线1AC与平面11AAB B所成角的正弦值；（2）求二面角1BACC的余弦值.解：（1）因为四边形11AAB B为正方形，所以1ABBB，因为平面11AAB B 平面11BBC C，平面11AAB BI平面111BBC CBB，AB 平面11AAB B，所以AB 平面11BBC C.2 分 以点B为坐标原点，分别以BA,1BB所在的直线 为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.不妨设正方形11AAB B的边长为 2，则2 0 0A，10 2 0B，在菱形11BBC C中，因为1160BB
21、C，所以1(0 1 3)C，所以1(2 1 3)AC uuuu r，因为平面11AAB B的法向量为0 0 1，n，设直线1AC与平面11AAB B所成角为，则1|3|6sin|cos,|42 2 1AC uuuu rn，即直线1AC与平面11AAB B所成角的正弦值为646 分（2）由（1）可知，0 1 3C，所以10 2 0CC uuuu r，设平面1ACC的一个法向量为1111 xyz，n，因为11110,0,ACCCuuuu ruuuu rnn 即 111111 2 1 30 0 2 00 xyzxyz，取132x，10y，11z，即13 0 12，n 设平面1ABC的一个法向量为22
22、22 xyz，n，页 10 第 因为2 0 0BAuu u r，10 1 3BC uuuu r，所以 222222 2 0 00 0 1 30 xyzxyz，取20 3 1，n8 分 设二面角1BACC的平面角为，则121212 71coscos 7313 14 ，nnnnnn，所以二面角1BACC的余弦值为7710 分 23.（本小题满分 10 分）已知n为给定的正整数，设20122()3nnnxaa xa xa xL，xR.（1）若4n，求0a，1a的值；（2）若13x，求0()nkkknk a x的值.解：（1）因为4n，所以0404216C()=381a，1314232C()=327a 2 分（2）当13x 时，21C()()33kkn kkkna x，又因为11!(1)!CC!()!(1)!()!kknnnnkknnk nkknk，4 分 当1n时，011022()C()33nkkknk a x；5 分 当2n时，0021()()C()()33nnkkn kkknkknk a xnk 012121C()()C()()3333nnkn kkkn kknnkknk1112121()C()()3333nnkn kknknn 1111121C()()333nkn kknknn1121()333nnn23n，当1n时，也符合 所以0()nkkknk a x的值为23n10 分