1、书书书最优控制问题中 方程解的一致收敛性薛亮，李伟伟（安徽工业职业技术学院基础部，安徽 铜陵 ；山东省聊城市第三中学，山东 聊城 ）摘要：讨论了在 空间中无限时区线性时变系统状态方程组中最优控制问题的背景下，微分方程组解的一致收敛性给出了 微分方程解一致收敛的一些充分条件 微分方程解的一致收敛性，对于随机演化系统自适应控制问题的应用具有重要意义关键词：空间；微分方程；最优控制问题；一致收敛性中图分类号：文献标识码：文章编号：（）引言近年来，针对线性控制系统的一致能控性和能观性问题以及 问题，学者们做出了大量研究，这些性质对控制系统具有重要意义其中对于 空间中的无限时间线性二次最优控制问题，方程
2、的解在最优控制和最优成本的计算中起着重要作用 本文的主要目的是研究在线性时变系统状态方程组中最优控制问题的背景下，微分方程组解的一致收敛性在 空间上定义抽象线性方程，设和表示两个实可分 空间设为实值参数，且和.假设（）是中的线性算子，（）：是控制算子，（）是上的有界线性算子.考虑以下二次最优控制问题：（）（）（）（）（），（）（）（，）（）（）（）（）其中表示范数通过（）和（）式，结合以下 微分方程：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）适当的条件下，存在唯一的解（）式（）的（），其中（）表示 空间上从到的所有有界线性算子.本文讨论的问题是：（）、（）和（）在上述的条件下，可以得到一致收敛，
3、当，（）（）（）（）式（）中（）（），（），（），（）（）.本文将证明一类时变系统的二次型最优控制问题中，微分方程解的一致收敛性预备工作设是实可分 空间，为内积，为范数（）表示 空间上从到的所有有界线性算子，表示（）的伴随算子.如果是自伴的，并且，则称为非负算第 卷第期 菏泽学院学报 年月 收稿日期：基金项目：年安徽省职业教育提质培优行动计划项目（）作者简介：薛亮（），男，安徽铜陵人，副教授，硕士，研究方向：数学研究与教学DOI:10.16393/ki.37-1436/z.2023.02.025子（）.设（）（）：.：（）是线性算子，（）表示的预解集，（，），（）表示的预解算子，其中（）代表的
4、域，在区间，），（，）.（）表示算子（）：，）（）的集合，是强连续的，即对于任意，（）在）连续.使（，），（）（，），（）：（），）.如果是 另 一 个 实 可 分 空 间，（，）表 示 从到的 所 有 有 界 线 性 算 子 的 集 合，（，），（，）表示从，）到（，）的所有强连续算子的集合，表示相同的算子.假设对于每个，（）满足以下条件：（）对于，），（）：（）是线性算子，（）在中是稠密的.存在强连续算子（，）（），使得（，）也是强连续的，且有（，）（）（，），（），（，）（，）（，），（，），式中（，）称为（）生成的演化算子.，（，）（，），在（，）：的有界集合上，其中，（，）是由（）逼
5、近生成的演化算子，（）（，（）.假设（），（，）被称为相对于（）的演化算子.如果存在正数，使得时，（，）（）成立，则（，）称指数稳定.考虑初始值问题（）（）（）（），（），（）式中，（，）（中平方可积函数的集合）.式（）的适度解定义如下：（）（，）（，）（）（）（）在）连续.假设（，）是指数稳定的.那么对于每个（，），）（中有界可测函数的集合），是有界的.考虑二次控制问题式（）、式（）和 方程（），（）满足条件（）（）对于每个，（，），（，）（，），（，），（），（）.）（）最小化容许控制集（，），当，相应的适度解（），（，）表示中所有平方可积函数的集合.在区间）上如果（），并且满足积分方程：
6、（）（，）（）（，）（，）（）（）（）（）（）（）（，）式中且，则（）为方程（）的适度解.若 ，）（），称为方程（）的有界解.设（，），）表示从，）至所有有界连续函数的空间.对于每个，方程（）有界解存在的基本假设如下：（）对于任何，存在（，），），使得（）（）（），式中（）是式（）的适度解.年 菏泽学院学报 第期对于每个，以下为方程（）有界非负解唯一的充分条件：（）存在（，），（）有界，使得（，）（）（），式中和是常数.假设（）是能观性条件，（）（）对每个适用 方程（）具有唯一的有界非负解（），式（）和式（）的最优控制由以下公式给出：?，（）（）?（）?，（）（）最优成本：（?，?）?（），（
7、）最优闭环系统是指数稳定的，其中?（，）表示初始条件为的最优轨迹?为了获得主要结果，还需要以下假设：（）（，）（）（），（，）（）（）对于一些独立于的正常数，和，（，）（，）（）.（）当，（，）（，）（）.（）（）（，），常数独立于.（），（）（，）（）（，）（，）（），其中当，（）方程解的一致收敛性 主要结果定理如果（）（）为真，则当，（）?（，）?（，）（，），）（）?（，）?（，）（，），）（）定理如果（）（）为真，当，?（）?（）（），（）定理的证明为了证明定理，由（）（）（，）（）（），（）引入算子：（，），）（，），）.根据假设（），边界从（，），）到（，），）（，），），.其中（
8、，），）表示从，）到的所有连续函数的空间.通过式（）、（）和（），得到拉格朗日函数（，）（）（），（）（）（），（）（），（）（，）（）（）.通过优化理论中的标准参数，得到?，?（）（）（）?（）.（）通过式（）和式（），得到?（，）?，（）从式（）和?（，）?得到?（）（，）以及?（）（，）（）年薛亮，等：最优控制问题中 方程解的一致收敛性第期通过（）式和（）式得到?（）（，）（）（）?（，）（）为证明定理，需先证明以下结果：命题（，）（，）（，（，），）（，）（，）（，（，），）（，），），（，），）（，），），（，），）对于和，只需证明（）即可 已知（，）（，）（，）（，）（，）（，）（
9、）根据假设（）、（）和 控制定理，对于，当，（，）（，）.当足够大，使，（，）（，），且满足（，）（，），即可得出了命题的结果（）对于和，只需证明（）即可利用，证明，有以下推论：当，（）（，），）（）（，）（）（，）（）（）（，）（）（，）（）（）（）（，）（）（，）（）（，），）.命题假设（）（）为真那么下列算子在中一致有界，（）（，），）（）（）（，），），（，），）（）（）（，），），（，），）（）证明由于 是正自伴的，可以得到式（）对于式（）和（），只需证明式（），因为式（）可以由式（）的对偶证明 设（），那么，（，），）（，），）（，），），且（）（，），），（，），）（，），）（，
10、），）（，），）（，），）（，），），（，），）（，），）（，），）.因此式（）是正确的 年 菏泽学院学报 第期证明定理，通过式（）有：（?（，）?（，）（）（，）（，）（）（）（）（，）（）通过式（）和命题的（），得到 （）（，）（，）（，（，），）（）（）（）（）（，）（）（）（）（，）（）（）（）（，）（）通过式（）、式（）、命题的（）和（），得到 （，（，），）.（）对于，通过式（）、式（）、命题的（）和（），得到 （，（，），）（）根据式（）（），得到 （）（）（）（，）（，（，），）（）通过式（）、式（）和式（），可以得到式（）由式（）得到：?（，）?（，）?（，）?（，）（）通过
11、式（）、式（）、和命题的（），得到式（）为真 定理的证明由式（）得出：?（）?（）（，）（，）（）（）?（，）（，）（）（）?（，）?（，）通过式（）、命题的（）、（）、（）和（），得到当，（）（，）（，）（）（，（，），），当，（）（，）（）（）（）?（，）?（，）（）（，）（）（）?（，）?（，）（，），）证毕结语在 空间中研究了一类时变线性系统二次最优控制问题的 方程一致收敛性得出了 微分方程解一致收敛的充分条件 这些结果对于确定一类时变线性系统最优控制问题中 算子的一致收敛性有非常重要的意义参考文献：侯琳几类分数阶微分系统的能控性研究南宁：广西民族大学，李文娟，张亮一类非线性趋化方程的
12、能控性及时间最优控制应用数学，（）：冯再勇，叶玲华，向峥嵘，等 含脉冲分数阶广义线性系统的能控能观性 南昌大学学报（理科版），（）：年薛亮，等：最优控制问题中 方程解的一致收敛性第期 ，（）：付晓玉 分布参数系统能控能观性问题的统一处理及应用 中国科学：数学，（）：，（）：，（）：张娓娓，陈乐瑞，赵志远 基于 的直线一阶单倒立摆最优控制器的设计 自动化应用，（）：虞俊豪一阶并联旋转双倒立摆系统的 双模态控制 大连：大连理工大学，陈丽沙变指标 方程初值问题解的适定性研究海口：海南师范大学，张大永一类均衡 方程解的存在唯一性及其应用 贵阳：贵州大学，（）：，（）：，（，；，）：，：；（责任编辑：王晓知）年 菏泽学院学报 第期